苏科版九年级上册数学期末试卷及答案

一、单选题

1．数据：-2，1，1，2，4，6的中位数是（ ）

A．1 ．2 ．1.5 ．1或2

2．方程x2﹣4x+5＝0根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 ．有两个相等的实数根

C．有一个实数根 ．没有实数根

3．小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，英语题9个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是（      ）

A． ． ． ．

4．若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为(　　)

A．m＞1 ．m＞0 ．m＞－1 ．－1＜m＜0

5．已知圆锥的底面半径为6，母线长为8，圆锥的侧面积为（   ）

A．60 ．48 ．60π ．48π

6．抛物线y=a+（a-3）x-a-1经过原点，那么a的值等于（   ）

A．0 ．1 ．–1 ．3

7．抛物线y=3(x－2)2+1图象上平移2个单位，再向左平移2个单位所得的解析式为 （ ）

A．y=3x2+3 ．y=3x2－1 ．y=3(x－4)2+3 ．y=3(x－4)2－1

8．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（　　）

A．40° ．45° ．50° ．55°

二、填空题

9．一组数据2，3，3，5，7的众数是_________．

10．数据-1，0，1的方差为_______．

11．若a是方程3x2-4x-3=0的一个根，则代数式值为_________．

12．要利用一面很长的围墙和100米长的隔离栏建三个如图所示的矩形羊圈，若计划建成的三个羊圈总面积为400平方米，则羊圈的边长AB为多少米?设AB=x米，根据题意可列出方程的为_________．

13．如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=_______°.

14．如果二次函数y=-2x2-2（k-4）x+4图像的对称轴为直线x=2，那么字母k的值为_______．

15．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F．若弧EF的长为，则图中阴影部分的面积为_____．

16．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是_____．

三、解答题

17．解方程：

(1)2x（x-2）=5（2-x）

(2)x2-5x+3=0

18．在一次“”演讲比赛中，将甲、乙两组选手（每组10人）的成绩分别按得分（10分制）进行统计，根据统计数据绘制了如下还不完整的统计图表．

(1)a=_______，b=_______，c=________；

(2)乙组“10分”所在扇形的圆心角等于_______°．并请你补全条形统计图．

19．已知关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0．

(1)求证：k取任何实数值，方程总有实数根；

(2)若等腰△ABC的一腰长为4，另两边长m，n恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

20．箱子里有4瓶果汁，其中有一瓶是苹果汁，其余三瓶都是橙汁，它们除口味不同外，其他完全相同．现从这4瓶果汁中一次性取出2瓶．

(1)请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；

(2)求抽出的2瓶果汁中恰好抽到苹果汁的概率．

21．电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据某市品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月销售216辆．

（1）求该品牌电动车销售量的月平均增长率；

（2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价2800元，则该经销商1月至3月共盈利多少元．

22．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．

（1）画出△A1OB1；

（2）在旋转过程中点B所经过的路径长为______；

（3）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．

23．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？

24．如图，二次函数的图像与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像过点B、D．

(1)求点D的坐标；

(2)求二次函数的表达式；

(3)根据图像直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

25．如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．

（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．

（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．

26．（1）【学习心得】

小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．

例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC=　   　°．

（2）【问题解决】

如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC的度数．

小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．

（3）【问题拓展】

如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=4，CD=2，求AD的长．

27．如图，直线与x，y轴分别交于点B，A，顶点为P的抛物线过点A．

(1)求出点A，B的坐标及c的值；

(2)若函数在时有最大值为，求a的值；

(3)若，连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M．设△BMP的面积为S．

①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；

②结合S与a的函数图象，直接写出时a的取值范围．

参

1．C

【分析】根据中位数的定义即可得．

【详解】解：将这组数据从小到大排序得-2，1，1，2，4，6，其中最中间的两个数为1，2，

这组数据的中位数为 ，

故选：C．

【点睛】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，熟记中位数的定义是解题的关键．

2．D

【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．

【详解】解：∵，

∵＝﹣4＜0，

∴方程没有实数根．

故选：D．

【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程（a≠0）的根与如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根，熟练掌握判别式的意义是解题的关键．

3．A

【分析】先求出总的题数，然后用数学题的提数除以总题数即可.

【详解】解：抽中数学题的概率是：.

故选A.

【点睛】本题考查概率的定义.属于比价基础的题型.

4．B

【分析】利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组．

【详解】顶点坐标（m，m+1）在第一象限，则有

解得：m>0，

故选：B．

5．D

【分析】圆锥的侧面积是一个扇形，扇形的面积就是圆锥的侧面积，根据计算公式计算即可.

【详解】解：圆锥的侧面积=•2π•6×8=48π．故选D．

【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

6．C

【分析】把(0，0)代入函数解析式，求解关于a的一元一次方程即可．

【详解】∵抛物线y=a+（a-3）x-a-1经过原点，

∴-a-1=0，

解得a=-1，

故选C．

【点睛】本题考查了抛物线与点的关系，熟练掌握图像过点，点的坐标满足函数的解析式是解题的关键．

7．A

【分析】抛物线的平移，实际上就是顶点的平移，先求出原抛物线对顶点坐标，根据平移规律求新抛物线的顶点坐标，确定新抛物线的解析式．

【详解】∵y=3(x－2)2+1的顶点坐标为（2，1），

∴把抛物线向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得新抛物线顶点坐标为（0，3），

∵平移不改变抛物线的二次项系数，

∴平移后的抛物线的解析式是y=3（x-0）2+3，即y=3x2+3．

故选A．

【点睛】根据平移规律求新抛物线的顶点坐标，确定新抛物线的解析式．考察抛物线的平移关系．

8．D

【详解】解：如图，

连接OC，

∵AO∥DC，

∴∠ODC=∠AOD=70°，

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD=70°，

∴∠COD=40°，

∴∠AOC=110°，

∴∠B=∠AOC=55°．

故选D．

9．3

【详解】解：∵数据2，3，3，5，7中出现次数最多是3

∴众数是3

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查了众数的定义，在一组数据中出现次数最多的数据成为这组数据的众数，熟练地掌握众数的概念是解决本题的关键.

10．

【分析】先求出3个数的平均数，再根据方差公式计算．

【详解】解：数据-1，0，1的平均数：，

方差，

故答案为：．

【点睛】本题考查方差的计算，方差，熟记方差公式是解题的关键．

11．7

【分析】由a是方程3x2-4x-3=0的一个根，得，利用整体代入，即可求出答案.

【详解】解：∵a是方程3x2-4x-3=0的一个根

∴

∴

故答案为：7.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，再利用整体代入的方法求代数式的值，找到题目中的倍分关系是解题的关键.

12．x（100-4x）=400

【分析】由题意，得BC的长为（100-4x）米，根据矩形面积列方程即可.

【详解】解：设AB为x米，则BC的长为（100-4x）米

由题意，得x（100-4x）=400

故答案为：x（100-4x）=400.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际问题，解决问题的关键是通过图形找到对应关系量，根据等量关系式列方程.

13．60

【详解】∵四边形OABC为平行四边形，

∴∠AOC=∠B，∠OAB=∠OCB，∠OAB+∠B=180°．

∵四边形ABCD是圆的内接四边形，

∴∠D+∠B=180°．

又∠D＝∠AOC，

∴3∠D=180°，

解得∠D=60°．

∴∠OAB=∠OCB=180°-∠B=60°．

∴∠OAD+∠OCD=360°-（∠D+∠B+∠OAB+∠OCB）=360°-（60°+120°+60°+60°）=60°．

故答案为：60°．

【点睛】考点：①平行四边形的性质；②圆内接四边形的性质．

14．0

【分析】根据y=ax2+bx+c的对称轴为x=-，直接代入求k即可.

【详解】解：∵对称轴为x=-=2

∴-=2

解得k=0

故答案为：0.

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握y=ax2+bx+c的对称轴为x=-是解题的关键.

15．2-

【分析】由切线的性质和平行四边形的性质得到BA⊥AC，∠ACB＝∠B＝45°，∠DAC＝∠ACB＝45°＝∠FAE，根据弧长公式求出弧长，得到半径，即可求得结果．

【详解】如图所示，连接AC，

∵CD与⊙A相切，

∴CD⊥AC，

在平行四边形ABCD中，

∵AB＝DC，AB∥CD，AD∥BC，

∴BA⊥AC，

∵AB＝AC

∴∠ACB＝∠B＝45°，

∵，AD∥BC

∴∠FAE＝∠B＝45°，∠DAC＝∠ACB＝45°＝∠FAE，

∴，

∴的长度＝，解得R＝2，

∴S阴影＝S△ACD−S扇形＝×22−＝2−．

故答案为：2−．

【点睛】本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，弧长的求法，扇形面积的求法，知道S阴影＝S△ACD−S扇形是解题的关键．

16．

【分析】根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．

【详解】解：点M，N分别是AB，BC的中点，

，

当AC取得最大值时，MN就取得最大值，

当AC时直径时，最大，

如图，

，，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是利用中位线性质将MN的值最大问题转化为AC的最大值问题，难度不大．

17．(1)

(2)

【分析】（1）用因式分解法解方程即可；

（2）先计算根的判别式大于零，再利用公式法解方程即可．

(1)

或

解得 

(2)

由题意得

【点睛】本题考查了因式分解法和公式法解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．

18．(1)2；2；0.2；

(2)，补图见解析．

【分析】（1）用总人数乘0.2即可得出a的值， 进而得出b、c的值；

（2）用360°乘“10分”所占比例即可得出“10分”所在扇形的圆心角度数，用10减去其它人数得出“8分”的人数，再补全条形统计图即可．

(1)

解：（1）由题意得： ，， ，

故答案为：2，2，0.2；

(2)

解：乙组“10分”所在扇形的圆心角等于： ，

乙组“8分”的人数为：10-1-3-4=2 (人)，

补全条形统计图如下：

故答案为： 144．

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．

19．(1)证明见解析；

(2)△ABC的周长为10．

【分析】（1）计算其判别式，得出判别式不为负数即可；

（2）当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个根为4，代入可求得k的值，则可求得方程的另一根，可求得周长；当边长为4的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得k的值，再解方程即可．

(1)

证明：∵△＝（k＋2）2－8k＝k2＋4k＋4－8k＝（k－2）2≥0，

∴无论k取何值，方程总有实数根；

(2)

解：当腰长为4时，则可知方程有一个实数根为4，

∴16－4（k＋2）＋2k＝0，解得k＝4，

∴方程为x2－6x＋8＝0，解得x＝4或x＝2，

∴a、b的值分别为2、4，

∴△ABC的周长为2+4+4=10；

【点睛】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．

20．(1)见解析，12种等可能性

(2)

【分析】(1)设A表示苹果汁，分别表示橙汁，根据画树状图的基本要求画出正确树状图即可．

(2)用确定事件的等可能性除以所有等可能性即可．

(1)

设A表示苹果汁，分别表示橙汁，画树状图如下：

，

故一共有12种等可能性．

(2)

根据前面知道，一共有12种等可能性，抽出的2瓶果汁中恰好抽到苹果汁的等可能性有6种，

故抽出的2瓶果汁中恰好抽到苹果汁的概率为：．

21．（1）20％；（2）273000．

【分析】（1）设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，2月份该品牌电动车销售量为150(1＋x)，则3月份该品牌电动车销售量为150(1＋x) (1＋x) ＝150(1＋x)2. 据此列出方程求解.

（2）根据（1）求出增长率后，再计算出二月份的销量，即可得到答案．

【详解】解：（1）设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，根据题意得

150（1+x）2=216，

解得x1=0.2，x2=-2.2（舍去）

答：该品牌电动车销售量的月平均增长率为20％．

（2）由（1）得该品牌电动车销售量的月平均增长率为20％，

∴2月份的销售量为150×（1+20％）=180

∴则1-3月份的销售总量为150+180+216=546（辆）

∴（元）

答：该经销商1月至3月共盈利273000元．

22．（1）画图见解析；（2）；（3）

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；

（2）利用勾股定理列式求OB，再利用弧长公式计算即可得解；

（3）利用勾股定理列式求出OA，再根据AB所扫过的面积=S扇形A1OA+S△A1B1O-S扇形B1OB-S△AOB=S扇形A1OA-S扇形B1OB求解，再求出BO扫过的面积=S扇形B1OB，然后计算即可得解．

【详解】解：（1）△A1OB1如图所示；

（2）由勾股定理得，BO=，

所以，点B所经过的路径长=，

故答案为：；

（3）由勾股定理得，OA=，

∵AB所扫过的面积=S扇形A1OA+S△A1B1O-S扇形B1OB-S△AOB=S扇形A1OA-S扇形B1OB

BO扫过的面积=S扇形B1OB，

∴线段AB、BO扫过的图形的面积之和=S扇形A1OA-S扇形B1OB+S扇形B1OB，

=S扇形A1OA，

=．

【点睛】考点：1.作图-旋转变换；2.勾股定理；3.弧长的计算；4.扇形面积的计算．

23．她购买了20件这种服装．

【分析】根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可．

【详解】解：设购买了件这种服装，根据题意得出：

，

解得：，，

当时，不合题意舍去；

答：她购买了20件这种服装．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据已知得出每件服装的单价．

24．(1)D（-2，3）；

(2)二次函数的解析式为y=−x2-2x+3；

(3)一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜-2或x＞1．

【分析】（1）根据抛物线的对称性来求点D的坐标；

（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；

（3）根据图象直接写出答案．

(1)

解：∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，

∴对称轴是．

又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，

∴D（-2，3）；

(2)

解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），

根据题意得， ，

解得 a＝-1，b＝-2，c＝3，

所以二次函数的解析式为y=−x2-2x+3；

(3)

解：  一次函数值与二次函数值相交于D（-2，3）、B（1，0），如图，

 一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜-2或x＞1．

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与不等式组，利用数形结合的数学思想是解题的关键．

25．（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切，理由见解析；（2）BE=6．

【分析】（1）连接OD，可知由直径所对的圆周角是直角可得∠DAB+∠DBA=90°，再由∠CDA=∠CBD可得∠CDA+∠ADO=90°，从而得∠CDO=90°，根据切线的判定即可得出；

（2）由已知利用勾股定理可求得DC的长，根据切线长定理有DE=EB，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．

【详解】（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切，

理由是：连接OD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAB+∠DBA=90°，

∵∠CDA=∠CBD，

∴∠DAB+∠CDA=90°，

∵OD=OA，

∴∠DAB=∠ADO，

∴∠CDA+∠ADO=90°，

即OD⊥CE，

∴直线CD是⊙O的切线，

即直线CD和⊙O的位置关系是相切；

（2）∵AC=2，⊙O的半径是3，

∴OC=2+3=5，OD=3，

在Rt△CDO中，

由勾股定理得：CD=4，

∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，

∴DE=EB，∠CBE=90°，

设DE=EB=x，

在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2，

则（4+x）2 =x2+（5+3）2，

解得：x=6，

即BE=6．

26．（1）45；（2）∠BAC=25°，（3）AD=+3．

【分析】（1）如图1，由已知易得点B，C，D在以点A为圆心，AD为半径的圆上，则由“圆周角定理”可得∠BDC=∠BAC=23°；

（2）如图2，由已知易得A、B、C、D在以BD的中点O为圆心，OB为半径的圆上，由此可由“圆周角定理”可得∠BAC=∠BDC=28°；

（3）如图3，由已知易得点A、C、D、F在以AC为直径的同一个圆上，由此可得∠EFC=∠DAC；同理可得：∠DFC=∠CBE；由已知易得∠DAC=∠EBC，这样即可得到∠EFC=∠DFC.

【详解】（1）如图1，∵AB=AC=AD，

∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上，

∴∠BDC=∠BAC=23°；

(2)证明：取BD中点O，连接AO、CO，

∵在Rt△BAO中，∠BAD=90°，

∴AO=BD=BO=DO，

同理：CO=BD，

∴AO=DO=CO=BO， 

∴点A、B、C、D在以O为圆心、OB为半径的同一个圆上，

∴∠BAC=∠BDC=28°

(3)∵CF⊥AB，AD⊥BC，

∴∠AFC=∠ADC=90°，

∴点A、C、D、F在以AC为直径的同一个圆上，

∴∠EFC=∠DAC， 

同理可得：∠DFC=∠CBE，

∵在△ADC中，∠DAC+∠ACD=90°，在△BEC中，∠EBC+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠EBC，

∴∠EFC=∠DFC.

27．(1)A（0，1），B（－2，0），

(2)

(3)①；②或

【分析】（1）先求出点 A(0,1) ，点 B(−2,0) ，将点A坐标代入解析式可求c的值；

（2）分a＞0，a＜0两种情况讨论，由二次函数的性质可求解；

（3）①分四种情况讨论，由“AAS”可证 △AOM≌△PNA ，可得OM＝AN，由三角形的面积公式可求解；②分三种情况讨论，解不等式可求解．

【详解】解：（1）∵直线与x，y轴分别交于点B，A，

∴点A（0，1），点B（－2，0），

∵抛物线过点A，

∴；

（2）∵，

∴对称轴为直线，

当，时，y随x的增大而增大

∴当时，y有最大值，

∴，

解得：；

当，时，y随x的增大而减小，

∴当时，y有最大值，

∴，

解得：（不合题意舍去），

综上所述：

（3）①当，时，即，

如图2，过点P作轴于N，

∴，，

同理可得，

∴，

∴，

∴；

当，时，即，

如图3，过点P作轴于N，

∴，，，

同理可得，

∴，

∴，

∴；

当时，点B与点M重合，不合题意，

当，时，即，

如图4，过点P作轴于N，

∴，，，

同理可得，

∴，

∴，

∴；

综上所述：

②当时，，

∴当时，不存在a的值使；

当时，开口向上，对称轴为直线，S随a的增大而减小

当时，解得

∴；

当时，开口向上，对称轴为直线，S随a的增大而增大，

∴，

综上所述：或