【2019年高考数学一轮精品资料】专题12 圆锥曲线 直线过定点问题

定点问题

一、考查内容： （１）直线方程；

（２）直线与曲线联立求解 二、例题解析

【典例1】已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左顶点为A (-2,0)，且过点),1(e ，（e 为椭圆的

离心率）；过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于,M N 两点。 （1）求点椭圆的方程；

（2）求证：直线MN 恒过x 轴上的一个定点。

【解析】 (1)将点),1(e 代入

22

214x y b +=，并结合422=+c b 可得椭圆方程为2

214

x y += （2）当直线AM 的斜率为1时，MN 过点为)0,56(-

，猜想定点为)0,5

6(- 1

:(2),:(2)AM y k x AN y x K

=+=-

+ 由22222

(2)4(2)444

y k x x k x x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩ 22

2

2

2

2

1

(14)1610,214M k k x k x k x k -+++-=∴-=+

222

22

22828414(,)1414414M M k x k k k M k k k y k ⎧-=⎪-⎪+∴⎨++⎪=

⎪+⎩

，同理222284(,)44k k N k k --++，

2222

22246

420514(,0)62865

161428(14)5145

PM

k k k k k P k k k k

k k k +-∴====----+++

+ ， 2222

242054286161445

PN

PM PN k

k k k k k k k k k k -

-+==∴=---++， M 、P 、N 三点共线，故MN 过定点。

【练习】（2015·江苏无锡市期末试卷·18）已知椭圆22

:142x y C +=的上顶点为A ，直线:l y kx m =+交椭圆于P Q 、两点，设直线AP AQ 、的斜率分别为12k k 、．

（1）若0m =时，求12k k ⋅的值；

（2）若121k k ⋅=-时，证明直线:l y kx m =+过定点．

【解析】（1）当0m =时，直线:l y kx m =+代入椭圆22

:142

x y C +=的方程， 得到2

2

2

24x k x +=，

解得,P Q ⎛⎫⎛⎫ ⎝

所以1k =

=，

2k ==．

所以()

221242121

4

2

k k k k -+⋅=

=-．（2）设()()1122

,,,P x y Q x y ，将直线:l y kx m =+代

入椭圆22

:142x y C +=的方程，并整理得到()222124240k x kmx m +++-=， 则0∆>且2121222

424

,1212km m x x x x k k -+=-⋅=++．

由121k k ⋅=-

知，

1212

1y y x x =-，

即)12121220y y y y x x +++=，

()(

))12121220kx m kx m kx m kx m x x +++++++=

(

)(

)221212121220k x x mk k k m x x x x ++++-++=， (

)(

22

2

222441201212m km k k m m k k -⎛⎫++-+-+= ⎪

++⎝⎭

， ()(

)((

)()

()2

22212442120k

m k m km m k +-+-+-++=

所以，2

320m --=

，所以m

m =， 所以直线l

过定点0,⎛ ⎝⎭

． 【典例2】（2015·江苏镇江市期末试卷·18）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点

)0,1(F ，离心率为2

2

，过F 作两条互相垂直的弦CD AB ,，设CD AB ,的中点分别为N M ,.

（1）求椭圆的方程；

（2）证明：直线MN 必过定点，并求出此定点坐标； （3）若弦CD AB ,的斜率均存在，求FMN ∆面积的最大值.

【解析】（1

）由题意：1,

2

c c a ==

，则1,1a b c ===，（每个1分） 椭圆的方程为2

212

x y +=

（2）,AB CD 斜率均存在，设直线AB 方程为：(1)y k x =-，

12121122(,),(,),(

,(1))22

x x x x

A x y

B x y M k ++-， 22

(1),

220,

y k x x y =-⎧⎨+-=⎩ 得2222(12)4220k x k x k +-+-=，

2122

2

1224122212k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=

⎪+⎩

，故2222(,)1212k k M k k -++， 将上式中的k 换成1k -，则同理可得：22

2(,)22k N k k ++，

如222

22

122k k k =

++，得1k =±，则直线MN 斜率不存在， 此时直线MN 过点2(,0)3，下证动直线MN 过定点2

(,0)3P .

（法一）若直线MN 斜率存在，则 22224222

(33)3122222221

122MN

k k

k k k k k k k k k k k ---+-++===⨯---

++， 直线MN 为222

32

()2212k k y x k k k --

=⨯-+-+， ……11分 令0y =，得222222212312

232323

k k x k k k -+-=+⨯=⨯=+++，

综上，直线MN 过定点2

(,0)3

.

（法二）动直线MN 最多过一个定点，由对称性可知，定点必在x 轴上，设2

3

x =

与x 轴交点为2(,0)3P ，下证动直线MN 过定点2

(,0)3P .

当1k ≠±时，PM

k =222

23122221123

k

k

k k k k -+=⨯

--

+， 同理将上式中的k 换成1

k

-，可得2

21()3312211PM

k

k k k k

-==⨯--，

则PM PN k k =，直线MN 过定点2

(,0)3

P .

（3）由第（2）问可知直线MN 过定点2

(,0)3

P ，

故S △FMN =S △FPM +S △FPN 221111||||2322312k k k k -=⨯+⨯++

2

222421||(33)1||(1)

6(2)(12)2252

k k k k k k k k ++==⨯++++

22

1(||)

1||

225k k k k +

=++，

令1||[2,)||t k k =+

∈+∞，S △FMN 21()22(2)5t f t t ==⨯-+21221t t =⨯+ 2

22

112'()02(21)t f t t -=<+，则()f t 在[2,)t ∈+∞单调递减，

当2t =时()f t 取得最大值，此时S △FMN 取得最大值

1

9

，此时1k =±. 【典例3】（2015·江苏泰州市期末试卷·18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，

离心率为

2

的椭圆:C 22

221(0)x y a b a b

+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与

椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ

PQ =

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．

【解析】（1

）设00(,

)2

P x x ， ∵直线PQ

斜率为

2

时，PQ =

2

200()32x x +=，∴202x =

∴22211a b +=

，∵2

c e a ===，∴224,2a b ==． ∴椭圆C 的标准方程为22

142

x y +=． （2）以MN

为直径的圆过定点(F ．

设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且22

00142

x y +=，即22

0024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =

++ ，∴0

02(0,)2

y M x + ， 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =

+- ，∴0

02(0,)2

y N x -， 以MN 为直径的圆为00

0022(0)(0)()()022

y y x x y y x x --+-

-=+- 即2

2

2

000220044044

x y y x y y x x +-+=--，

∵22

00

42x y -=-，∴22

220x x y y y ++-=， 令0y =，2220x y +-=

，解得x =

∴以MN

为直径的圆过定点(F ．

【练习】（2010年高考（江苏））在平面直角坐标系xoy 中,如图,已知椭圆

15

92

2=+y x 的左右顶点为A,B,右焦点为F,设过点T(m t ,)的直线TA,TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x ,),(22y x N ,其中m>0,0,021<>y y ①设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹

②设3

1

,221=

=x x ,求点T 的坐标 ③设9=t ,求证:直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)

【答案】(1)由题知(2,0),(3,0),(,)F A P x y 设,则

2222(2)(3)4

9

2

x y x y x -+---==

化简整理得 (2)把1212,3x x ==代入椭圆方程分别求出5120

(2,(,339M N

直线1

:(3)3AM y x =+ ①

直线5

:(3)6

BN y x =-- ②

①、②联立得910

(,77

T

(3)(9,)T m

直线:(3)12m TA y x =+,与椭圆联立得222

3(80)40

(,),8080m M m m --++ 直线:(3)6m TB y x =-,与椭圆联立得22

23(20)20

(,)2020

m N m m --++, 直线2222222

224020

203(20)8020:(203(80)3(20)20

8020

m m m MN y x m m m m m m +-+++=-+--+-

++,

化简得22

2220103(20)

()204020

m y x m m m -+=--+-+ 令0,1,y x MN x ==解得即直线过轴上定点(1,0).

【练习】（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）

如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆)0(1:2

22

2>>=+

b a b y a x E 的焦距为2,且

过点)2

6,

2(. (1) 若点A ,B 分别是椭圆E 的左、右顶点,直线l 经过点B 且垂直于x 轴,点P 是椭圆上异于A ,B 的任意一点,直线AP 交l 于点.M

(ⅰ)设直线OM 的斜率为,1k 直线BP 的斜率为2k ,求证:21k k 为定值; (ⅱ)设过点M 垂直于PB 的直线为m . 求证:直线m 过定点,并求出定点的坐标.

【答案】

⑵(ⅰ)设111(,)(0)P x y y ≠,0(2,)M y ,则0

12

y k =

,1212y k x =-,

因为,,A P B 三点共线,所以1

0142y y x =+, 所以,20111221142(2)2(4)y y y k k x x ==--,8分

因为11(,)P x y 在椭圆上,所以2

2

1

13(4)4y x =-,故21122

1

432(4)2y k k x ==--为定值 (ⅱ)直线BP 的斜率为1212y k x =

-,直线m 的斜率为1

12m x k y -=, 则直线m 的方程为1

01

2(2)x y y x y --=

-, 1111

01111222(2)4(2)2x x x y y x y x y y y x ---=-+=-++22111111

22(4)4(2)x x y x y x y --+=++

22111111

22(4)123(2)x x x x y x y --+-=+

+=111122x x x y y --+=1

12(1)x x y -+, 所以直线m 过定点(1,0)-

【练习】如图，椭圆1C ：22

221x y a b

+=（0a b >>）和圆2C ：222x y b +=，已知圆2C 将

椭圆1C 的长轴三等分，椭圆1C

右焦点到右准线的距离为

4

，椭圆1C 的下顶点为E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任意直线l 与圆2C 相交于点A 、B ．

（1）求椭圆1C 的方程；

（2）若直线EA 、EB 分别与椭圆1C 相交于另一个交点为点P 、M . ①求证：直线MP 经过一定点； ②试问：是否存在以(,0)m

为圆心，

5

为半径的圆G ，使得直线PM 和直线AB 都与圆G 相交？若存在，请求出所有m 的值；若不存在，请说明理由。

（1）依题意，1

223

b a =

⋅，则3

a b =， ∴

c ==，又22a b c c c -==

，∴1b =，则3a =， ∴椭圆方程为2

219

x y +=． ···················· 4分 （2）①由题意知直线,PE ME 的斜率存在且不为0，设直线PE 的斜率为k ，则PE ：

1y kx =-，

由2

2

1,1,9y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22218,9191,91k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩

或0,1,x y =⎧⎨=-⎩

∴22

211

(,)9191k k P k k -++， ····················· 6分 用1k -去代k ，得2

2

21(,)99

k k M k k --++， 方法1：22

222

2

29191919181810919

PM

k k k k k k k k k k k ----++==+++， ∴PM ：222

29118()9109k k k y x k k k ---=+++，即214

105

k y x k -=+， ∴直线PM 经过定点4

(0,)5

T ．

方法2：作直线l 关于y 轴的对称直线'l ，此时得到的点'P 、'M 关于y 轴对称，则PM 与''P M 相交于y 轴，可知定点在y 轴上，

当1k =时，94(,)55P ，94(,)55M -，此时直线PM 经过y 轴上的点4(0,)5

T ，

∵2222

9141591,181091PT

k k k k k k k ---+==+2222

94

159,18109

MT k k k k k k

k ---+==-+ ∴PT MT k k =，∴P 、M 、T 三点共线，即直线PM 经过点T ，

综上所述，直线PM 经过定点4

(0,)5

T ． ·············· 10分

②由221,1,y kx x y =-⎧⎨+=⎩得2

2

22,11,

1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩

或0,1,x y =⎧⎨=-⎩∴22221(,)11k k A k k -++， 则直线AB ：21

2k y x k

-=， 设21

10k t k

-=，则t R ∈，直线PM ：45y tx =+，直线AB ：5y tx =，

································ 13分 假设存在圆心为(,0)m

，半径为

5

的圆G ，使得直线PM 和直线AB 都与圆G 相交，

则

()

4

||

()

i

mt

ii

<

⎨

+

⎪

<

由（i）得22

1818

25()

2525

t m-<对t R

∈恒成立，则2

18

25

m≤，由（ii）得，22

1882

()0

25525

m t mt

-+-<对t R

∈恒成立，

当2

18

25

m=时，不合题意；当2

18

25

m<时，22

8182

()4()()0

52525

m m

∆=---<，得2

2

25

m<

，即m

<<

∴存在圆心为(,0)

m

，半径为

5

的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，

所有m

的取值集合为(

55

-．··················16分

解法二：圆22

18

:()

25

G x m y

-+=，由上知PM过定点

4

(0,)

5

，故22

418

()

525

m+<；又

直线AB过原点，故22

18

:0

25

G m+<

，从而得(

55

m∈-．

【练习】（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆

2

2

22

1(0)

y

x a b

a b

+=>>的右焦点为(1 0)

F，,离心率

.分别过O,F的两条弦AB,CD相交于点E(异于A,C两点),且OE EF

=.

(1)求椭圆的方程;(2)求证:直线AC,BD的斜率之和为定值.

【答案】(1)解:由题意,得1c =

,c e a ==,

故a 从而2221b a c =-=,

所以椭圆的方程为2

21x y +=.

① (2)证明:设直线AB 的方程为y kx =, ②

直线CD 的方程为(1)y k x =--, ③ 由①②得,点A ,B

的横坐标为由①③得,点C ,D

,

记11( )A x kx ，

,22( )B x kx ，,33( (1))C x k x -，,44( (1))D x k x -，, 则直线AC ,BD 的斜率之和为

13241324

(1)(1)

kx k x kx k x x x x x ----+

-- 132413241324(1)()()(1)

()()x x x x x x x x k x x x x +--+-+-=⋅--

1234123413242()()()

()()

x x x x x x x x k x x x x --+++=⋅

--

2222

213242(1)2420212121()()

k k k k k k x x x x -⎛⎫---+ ⎪+++⎝⎭=⋅

-- 0=