§4-1不定积分

§4－1　不定积分的概念与性质

一、原函数

问题1  已知真空中的自由落体的瞬时速度v(t)=gt．其中常量g是重力加速度，又知t=0时路程s=0，求自由落体的运动规律s=s(t)．

解　s(t)=v(t)=gt，                                                        (1)

容易验证s(t)= gt2+C，(C为任意常数)满足(1)；

又因为t=0时s=0，代入上式得C=0．

所以所求的运动规律为s=gt2．

问题2  设曲线y=f(x)经过原点，曲线上任一点处存在切线，且切线斜率都等于切点处横坐标的两倍，求该曲线方程．

解　y=2x .                                         　　　　　　　　　　 (2)

容易验证y=x2+C， (C为任意常数)满足(2)；

又因为原点在曲线上，故 x=0时y=0，代入上式得C=0．

因此所求曲线的方程为y=x2．

两个问题本质：已知某函数的导数F'(x)=f(x)，求函数F(x)．

定义1　设在某区间I上，F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，则I上的函数F(x)称为f(x)的一个原函数．

例如：因为(sinx)=cosx或d(sinx)=cosxdx，所以sinx是cosx的一个原函数；

因为(gt2)=gt，所以gt2是gt的一个原函数；

因为(x2)=2x，所以x2是2x的一个原函数．

二、不定积分

例如：对任意常数C， gt2+C都满足(1)，x2+C都满(2)，所以gt2+C都是gt的原函数；x2+C都是2x的原函数．

又如：对任意常数C，都有(sinx+C)=cosx，所以sinx+C也都是cosx的原函数．

    由此可见，一个函数的原函数并不唯一，而是有无限个．如果F(x)是f(x)的一个原函数，即F(x)=f(x)，那么与F(x)相差一个常数的函数G(x)=F(x)+C，仍有G(x)=f(x)，所以G(x)也是f(x)的原函数．反过来，设G(x)是f(x)的任意一个原函数，那么

F(x)=G(x)=f(x)，F(x)-G(x)0，F(x)-G(x)=C，(C为常数)，即G(x)=F(x)+C．

即G(x)与F(x)不过差一个常数．总结正反两个方面可得两个结论：

    (1)若f(x)存在原函数，则有无限个原函数；

    (2)若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的全部原函数构成的集合为{F(x)+C|C为常数}.

    1. 不定积分的定义

定义2　设F(x)是函数f(x)的一个原函数，则f(x)的全部原函数称为f(x)的不定积分，记作，即    ={F(x)+C|C为常数}．

习惯写法：省却等号右边的花括号，直接简写成F(x)+C，即

                         =F(x)+C．

其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为积分表达式，x称为积分变量，符号“  ”称为积分号，C为积分常数．

注意　积分号“  ”是一种运算符号，它表示对已知函数求其全部原函数．所以在不定积分的结果中不能漏写C． 

例1　由导数的基本公式，写出下列函数的不定积分：

(1)；                  (2)．

解 (1)因为(sinx)=cosx，所以sinx是cosx的一个原函数，所以

                       =sinx+C．

(2)因为(ex)=ex，所以ex是ex的一个原函数，所以

                       =ex+C．

例2  根据不定积分的定义验证：

=ln(1+x2)+C．

解 由于[ln(1+x2)]=，所以=ln(1+x2)+C．

不定积分简称积分，求不定积分的方法和运算简称积分法和积分运算．

由于积分和求导互为逆运算，所以它们有如下关系：

(1)[]=[F(x)+C]=f(x) 或 d[]=d[F(x)+C]=f(x)dx；

(2) = =F(x)+C 或==F(x)+C．

例3  写出下列各式的结果：

(1)[]；(2)；(3)d[]．

解 (1) []=exsin(lnx)；

(2) =+C；

(3) d[]=(arctanx)2dx．

2.不定积分的几何意义

在直角坐标系中，f(x)的任意一个原函数F(x)的图形是

一条曲线y=F(x)，这条曲线上任意点(x，F(x))处的切线的斜

率F(x)恰为函数值f(x)，称这条曲线为f(x)的一条积分曲线．

f(x)的不定积分F(x)+C则是一个曲线族， 称为积分曲线族．

平行与y轴的直线与族中每一条曲线的交点处的切线斜率都

等于f(x)，因此积分曲线族可以由一条积分曲线通过平移得到．

三、不定积分的基本公式

(1) =x+C；           (2) x+1+C，(-1)；   (3) =ln|x|+C；                    (4) =ex+C；

(5) +C；                    (6) =sinx+C；

(7) =－cosx+C；                 (8) =－cotx+C；

(9) =tanx+C； 　　　(10) =secx+C；

(11) =－cscx+C；       　　(12) =arctanx+C；

(13) =arcsinx+C．

四、不定积分的性质

因为  []=[k]=kf(x)，所以

性质1　被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号之外，即

　　， (k0)．

又因为

    {}=[]

    =[][]=f1(x)f2(x)，

所以

性质2　两个函数的代数和的不定积分等于每个函数的不定积分的代数和，

即　　

性质2可推广至有限个函数的和差．

例4　求．

解 原式==2ex-3sinx+C．

注意  得到的ex和cosx的两个不定积分，各含有任意常数．因为任意常数的和仍然是任意常数，故可以合成最后结果中的一个C．今后再有同样情况不再重复说明了．

例5　求．

解    

     =-+-=x2-3x+3ln|x|++C．

直接利用基本积分和性质来求积分的方法称为直接积分法． 

例6  求不定积分．

解 原式==3ex+x+C．

例7　求不定积分．

解 原式=

     =x3-x+arctanx+C．

例8  求不定积分．

解  原式=+arctanx+C.

例9　求．

解 原式==tanx-x+C．

例10　求不定积分．

解 原式==tanx-cotx+C．

例11  求不定积分．

解 原式= (x-sinx)+C．

*例12  某工厂生产一种产品，已知其边际成本MC=160，其中的x(件)为该产品产量．若当产量x=512时，成本C(512)=17240元，求成本函数C(x)．

解　据边际成本的含义，有C(x)= 160．所以

    C(x)= +C．

已知C(512)=17240，代入后得

        C=17240-240()=1880．

    所以这种产品的成本函数为C(x)=240+1880．

练习4-1

1．什么叫f(x)的原函数？什么叫f(x)的不定积分？f(x)的不定积分的几何意义是什么？并举例说明之．

2．判断下列函数F(x)是否是f(x)的原函数，为什么？

  (1)F(x)=-，f(x)=， (    )；   

(2)F(x)=2x，f(x)=x2 ， (    )；

  (3)F(x)= e2x+，f(x)=e2x， (    )； 

(4)F(x)=sin5x，f(x)=cos5x， (    )．

3． =sin2x+C=-cos2x+C是否矛盾，为什么？

4．写出下列各式结果．

  (1)；                   (2)；

(3)；                (4)[]．