数的开方(平方根、立方根。。。)超经典教案

·单元要点分析·

1．本章的主要内容：平方根与立方根的概念，二次根式的概念及其运算，实数的概念（包括实数运算）。具体地本章首先引入实际问题，然后通过实际问题的解决，引入平方根和立方根的概念和开方运算，通过计算器的探索活动，引入无理数概念，并介绍估算方法，包括通过估算比较大小，检验结果合理性等。最后，给出实数的概念和分类，并引入实数的相关概念、运算律和运算法则等。

2．本章特点：

（1）注意创设问题情境（正方形的面积为25cm2，边长是多少？两个根式相除，怎样进行呢？等等），为学生提供了许多富有挑战性的问题（如：你能在数轴上找到表示的点吗？为什么说不是有理数？等等），为学生提供了探索问题的时间和空间，使学生能够经历问题探索的过程，进一步培养学生的抽象思维能力。

（2）实数概念的建立，要突出无理数概念的建立。对于无理数概念的引入，要采取从特殊到一般的方法，重点讲清为什么是无理数，让学生经历是无理数的探索过程，感知生活中确实存在不同于有理数的数。对于运算技能的培养，本章不但重视精确计算和估算，而且重视计算器的使用，计算器的使用贯穿本章始终，成为本章的一大亮点。

3．重点、难点：        

重点：本单元的教学重点是实数的概念，发展学生的数感和计算能力。

难点：本单元的教学难点是无理数的概念、有理数与无理数的区别。

4．教学目标

知识与技能：通过引入无理数，让学生理解随着实际的需求，数的范围不断在扩充，了解平方根、立方根、实数及其相关概念，会用根号来表示，并会求数的平方根、立方根、实数运算。

过程与方法：让学生经历数系扩张、探求实数性质及其运算规律的过程，从事借助计算器探索规律活动，发展学生抽象概括能力，并在此活动中进一步发展学生思考、合作交流的意识。

情感态度与价值观：能运用实数运算解决简单的实际问题，提高学生的应用能力，发展学生解决问题的能力，从中体会数的运用价值。

§12.1   平方根与立方根

1.平方根  

第一课时

教学目的

知识与技能：通过动手操作，使学生地一步感受到无理数在实际生活中的大量存在，形成认识，会根号表示平方根。

过程与方法：在活动中感知无理数产生的实际背景和学习的必要性，了解平方根的概念，能运用计算器求解无理数。

情感态度与价值观：提高学生的应用意识，发展学生的数感，体会无理数的应用价值。

重点、难点、关键

1．重点：平方根的概念及求某些数的平方根的方法；

2．难点：平方根的概念、算术平方根的概念；

3. 关键：从实际出发应用平方的思想进行逆向思考。

教学准备：

教师准备：投影片、剪刀、纸板

学生准备：剪刀、纸板

教学过程

一、回顾与交流

1.什么叫有理数？度举例说明。

师生活动：先让学生发言。举例（提问学生发言），然后教师再进行归纳。媒体使用：使用投影片显示有理数的从属关系。

2.创设问题情境

出示导图。

教师提出问题：随着人类的认识不断发展，人们发现，现实生活中确存在数不够用的现象，本章我们将学习平方根、立方根、无理数、实数的概念，学习利用计算器求一个无理数的近似值，并解决有关实际问题。

师生共同活动：

（1）问题：本章导图中提出问题，实际上就是已知正方形的面积为25平方米，求这个正方形的边长。

（2）学生活动：操作、手工剪纸，通过操作理解、领悟出要剪出一块面积为25CM的正方形纸片，纸片的边长应取5CM

教师归纳：本章导图提出的问题本质上是寻找一个数，使这个数的平方等于25。

继续探究：（1）若要剪出一块面积为16的正方形纸片，纸片的边长应是多少呢？

（3）若要剪出一块面积为7的正方形纸片边长又是怎样的呢？你发现了什么？

学生活动：小组合作，动手操作，讨论并发现问题。

发现一：问题（1）实际上和前面的导图类似的，纸片的边长应是4，而4是有理数。

发现二：问题（2），出采用解问题（1）的方法，但是，使得（？）2=7中，这个“？”所代表队的数肯定不是有理数，但不知是什么数？

教师引导：大家发现问题，很好。问题（2）实际上是大家要认识的新朋友——无理数，我们将讨论和学习的问题。

二、形成概念

平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。

媒体使用：投影显示书中概括。

教师解释：大家从上述活动中，清楚地感到，52=25，因此5是25的一个平方根，42=16，所以4是16的一个平方根。

教师提问：请同学们想一想是否存在其它的数，使它的平方也等于25，16呢？

学生活动：思考后回答，发现问题。

探索规律：25，16的平方根有两个，它们互为相反数。

教师再问：那么0的平方根是什么呢？负数呢？

学生活动：通过思考可以发现，因为02=0，所以0的平方根只有一个，页任何一个数的平方都不可能是负数，因此，负数没有平方根。

师生归纳：由平方根的意义可知，利用平方来检验寻找一个数的平方根，这是数学中的逆向思维法。

求平方根的方法：根据平方根的定义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根

三、范例学习

例1．求100的平方根。

提问：（1）你能仿照上述问题解决的方法，求出100的平方根吗？

让学生讨论、交流后回答。

（2）你能正确书写解题过程吗？

请一位同学口述，教师板书。

（3）10和-10用±10表示可以吗？

试一试

（1）144的平方根是什么？

（2）0的平方根是什么？

（3）的平方根是什么？

（4）0.81的平方根是什么？  

（5）-4有没有平方根？为什么？

请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答。

四、随堂练习

五、课堂小结

形式：提问、众议。

六、课后作业

七、课后反思

第二课时

教学目的

知识与技能：理解平方根的表示形式，会计算平方根；算术平方根，学会使用计算器求平方根

过程与方法：通过探索算术平方根的概念，理解开平方的意义，以及与平方的互逆关系。

情感态度与价值观：培养学生互逆运算思维，体会平方根、算术平方根的实际应用价值。

重点、难点、关键

1．重点：了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根和算术平方根，能求出某些非负数的算术平方根。

2．难点：对的理解，特别是a的取值的理解。

3. 关键：把握住平方的思想，以及上一节课学习平方根的概念，运用数学互逆思维来解题。

教学准备：

教师准备：投影片、投影仪、计算器

学生准备：复习上一节平方根的内容，预习本节内容，提出问题。准备计算器。

教学过程

一、回顾与交流

1、教师提问：（1）什么叫做平方根？

（2）一个正数的平方根有    个，零的平方根有    个，是   。一个负数的平方根有    个。

学生活动：学生通过思考，踊跃回答上述问题。

教学形式：师生互动。

2、课堂小测：投影显示。

求下列各数的平方根。

学生活动：作业，测后交流。

教师活动：请部分学生上讲台演示，然后组织交流，强调平方根的概念。“一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数。”

二、引入新知

教师讲述：1、我们将正数a的平方根表示成“±”，读作“正负根号a”，而其中正的平方根我们把它称为“算术平方根”，这是今后我们主要研究的，记作。

2、求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数，开平方运算与平方运算互为逆运算。

形成概念：算术平方根定义为如果一个正数的平方根等于a即x2=a，那么这下正数x就叫做a算术平方根。

教师提问：有了上述规定后，a是什么数呢？是什么数？

学生交流，回答之后，教师归纳： a是非负数；是非负数。也就是说，当式子有意义时，它一定表示一个非负数，即a≥0时它有意义。

教师提问：有意义吗？有意义吗？有意义吗？

学生思考后回答。

三、范例学习

例2．将下列各数开平方：

（1）49（2）1.69

 按照题（1）的方法解决题（2），让学生明确开方运算与平方运算是互为逆运算，能够利用这个互逆运算关系求出某些非负数的算术平方根，进而求出平方根。

问题：在例1，例2中，他们通过观察，利用开方与平方的关系来开平方的，如果被开方数比较复杂，如等，那么如何进行计算呢？

例3．用计算器求出下列各数的算术平方根：

1．529      2.1225       3.44.81

教学要点：（1）让学生动手操作，并交流计算结果，总结用计算器求一个非负数的算术平方根按键顺序。（2）阅读课本解题过程。

四、课堂练习

1．说出下列各数的平方根：

（1）           （2）0.25         （3）

五、课堂小结

1.什么叫平方根？一个正数如果有平方根，那么有几个，它们之间关系如何？0的平方根呢？负数有平方根吗？为什么？

2.什么叫叫算术平方根？算术平方根与平方根有什么联系和区别？

3．如何表示平方根、算术平方根?

1．用计算器求一个非负数的算术平方根，其按键顺序如何？

六、课后作业

1．习题12.1第1题。

2．选用《同步导学》。

2.立方根

教学目的

知识与技能：了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。

过程与方法：经历立方根的探索过程，领悟其概念，掌握用立方运算某些数的立方根，感受立方与立方根互为逆运算的思想。

情感态度与价值观：培养学生数感，体会数域扩充的实际意义，感受数的应用价值。

重点、难点、关键

1．重点：了解立方根的概念，能应用立方运算求某些数的立方根。

2．难点：明确平方根与立方根的区别，并熟练地求立方根。

3. 关键：把握立方的运算思想，以逆向思维解决求立方根的问题。

教学准备：

教师准备：投影仪、计算器

学生准备：计算器

教学过程

一、回顾与交流

教师提问：

1、什么叫做平方根？算术平方根？如何表示？

2、请你举出有关应用平方根，算术平方根的实际例子。

学生活动：小组合作，理清概念，相互启发，用事例来领会概念。

课堂测试：

1、求下列各数的平方根，算术平方根

2、已知有意义，求x的取值范围。

3、若=1，y的平方根为36，求x+y的值。

4、计算

学生活动：先完成，再交流，上台演示。

教师活动：操作投影仪，显示小测题，小测后，安排几个学生上台演示，然后结合概念进行复习。

二、创设问题情景，引入立方根概念

现有一只体积为216cm3的正方形纸盒，它的每一条棱长是多少？与“平方根”类似，让学生讨论和研究以下问题：

问题1 这个实际问题，在数学上提出怎样的一个计算问题？

（实质上就是找一个数，这个数的立方等于216）

问题2 你能找一个数，使这个数的立方等于216吗？

（63=216）

问题３从这里可以抽象出一个什么数学概念？

（如果一个数的立方等于ａ，那么这个数就叫做ａ的立方根）

（一）试一试

让学生讨论以下问题

1．２7的立方根是什么？

2．-27的立方根是什么？

3．０的立方根是什么？

让学生对以上问题逐一作答，教师作正确判断，并请同学自己也编三道求立方根的题目，并给出解答．

根据以上题目的答案，回答以下问题：

1.正数有几个立方根?

2.0有几个立方根?

3.负数有几个立方根?

4.从以上问题中你发现了什么?

(每一个数只有一个立方根)

（二）立方根的表示法

任何数（正数、负数或零）的立方根如果存在的话，必定只有一个。

数a的立方根，记作，读作“三次根号a”。a称为被开方数，3称为根指数。例如x3=6；则x是6的立方根，即x=；而23=8,则2是8的立方根，即=2。

数a的平方根和立方根相同吗？

学生讨论后回答，教师归纳为：0的平方根和立方根都是0，不为0的数的平方根和立方根不同。

求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

三、范例学习

例5求下列各数的立方根

（1）      （2）-125    （3）-0.008

教学要求:1.可以借助立方运算来求立方根;2.可以用立方运算来检验开立方是否正确.3.按照第一小题的方法,要求学生解决题(2)和题(3).

让学生讨论、研究以下问题：

1． 

2． 

例2．用计算器求下列各数的立方根：

（1）1331       （2）-343        （3）9.263(精确到0.01)

教学要点:(1)指出用计算器求一个有理数的立方根,只需要按书写顺序按键.若被开方数为负数,“-”号的输入可以按（-），也可以按—。（2）对于第二小题，可引导学生用减号代替负号，或将被开方数加上括号试一试，看看是否计算出相同的结果。

四、课堂练习   P7练习1.2

五、小结

1、什么叫立方根？如何用根号表示一个数的立方根？

2、什么叫开立方？如何求一个数的立方根？举例说明。

3、

4、正数、0、负数的立方根有何特点？

六、作业

1、习题12.1第2、3（2）、5题

选用《同步导学》。

12.2实数与数轴

第一课时 实数与数轴

教学目的

知识与技能：借助计算器探索无理数是无限不循环小数。掌握这一特征，了解实数的意义，认识实数与数轴之间的关系。

过程与方法：经历计算器探索无理数的过程，体会无限逼迫的思想方法，并弄清有理数与无理数的区别

情感态度与价值观：培养学生数感，体会数域扩充的实际意义，认识其实际价值。

重点、难点、关键

1．重点：理解无理数的概念，认识褛与数轴之间的内涵。

2．难点：在数轴上表示一个无理数。

3. 关键：明确无理数的特征，以及褛在数轴上的表示法，明确数轴上的点与实数一一对应的关系并能用数轴上的点表示无理数。

教学准备：

教师准备：投影仪、计算器、尺规

学生准备：计算器、尺规

教学过程

一、回顾与交流

1、提问：

（1）什么叫有理数？举例说明。

（2）有理数是如何分类的？

2、师生活动：回忆有理数概念，弄清它的分类。

归纳：有理数必是有限小数和无限循环小数。

二、操作感知，引入新课

问题1   用什么方法求?其结果如何?

(用计算器,求得=1.414213562)

问题2   你能利用平方关系验算所得结果吗?

(能.用计算器计算1.414213562的平方,结果是1.999999999)

问题3   验证的结果并不是2,而是接近于2,这说明了什么问题?

(这说明求得的的值只是一个近似值)

问题4   如果用计算机计算,结果如何呢?

让学生阅读P8页计算结果,并指出:在数字上已经证明,没有一个有理数的平方等于2,也就是说,不是有理数.有兴趣的同学可以看一看第11页的阅读材料.

问题5   那么,是怎样的数呢?

1.回顾有理数的概念.

(1)有理数包括      和       .

(2)请你随意写出三个分数,将它化成小数,看一看结果.

(3)由此你可以得到什么结论?

(任何一个分数写成小数的形式,必定是有限小数或者无限循环小数)

2.无理数的概念

与有理数进行比较,计算的结果是无限不循环小数,所以不是有理数.

提问:还有没有其它的数不是有理数?为什么?

无限不循环小数叫无理数.例如.都是无理数.

有理数与无理数统称为实数.

三、动手做一做

问题1 按照计算器显示的结果,你能想像出在数轴的位置吗?

问题2 你能在数轴上找到表示的点吗?

请同学们准备两个边长为1的正方形纸片,分别沿它的对角线剪开,得到四个什么三角形?

如果把四个等腰直角形拼成一个大的正方形,其面积为多少?其边长为多少?

这就是说,边长为1的正方形的对角线长是,利用这个事实,我们容易画出表示的点,如图所示. 

问题1 如果将所有有理数都标到数轴上,那么数轴被填满了吗?

问题2 如果再将所有无理数都标到数轴上,那么数轴被填满了吗?

让学生充分思考交流后,引导学生归结为:如果交所有有理数都标到数轴上,数轴未被填满;如果再将所有无理数都标到数轴上,那么数轴被填满.

数轴上的任一点必定表示一个实数;反过来,每一个实数(有理数或无理数)也都可以用数轴上的点来表示,即实数与数轴上的点一一对应.

四、范例

例1.试估计

解:用计算器求得,而π≈3.141592654

这样,容易判断>π

说明:正实数的大小比较和运算,通常可取它们的近似值来进行.

提问:若将本题改为:试估计-（）与-π的大小关系，如何解答。

让学生动手解答，并请一位同学板演，教师讲评。

五．课堂练习

P11练习1（1），P11练习3。

六．小结

1．什么叫做无理数？

2．什么叫做实数？

3．有理数和数轴上的点一一对应吗？为什么？

4．无理数和数轴上的点一一对应吗？为什么？

1．实数与数轴上的点一一对应吗？为什么？

七．作业

选用《同步导学》。

12.2实数与数轴

第二课时  实数与数轴

教学目的

1.了解有理数的相反数和绝对值等概念、运算法则以及运算律在实数范围内仍然适用。

2.能利用运算法则进行简章四则运算。

重点难点

1．重点：了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义，利用运算法则进行简章四则运算。

2．难点：熟练地运用法则进行四则运算。

教学过程

一、创设问题情景，导入新知

1．复习提问

（1）用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。

（2）用字母表示有理数的加法交换律和结合律。

（3）平方差公式？完全平方公式？

（4）有理数a的相反数是什么？不为0的数a的倒数是什么？有理数a的绝对值等于什么？

在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较、运算法则及运算律仍然适用。例如： 

二、范例

例1．计算：。（结果精确到0.01）

分析:对于实数的运算,通常可以取它们的近似值来进行.

提问:用什么手段取它们的近似值?

解:用计算器求得

所以≈1.570796327-0.778539072=0.792257255≈0.79

例2.计算: 

解题过程略.

三、课堂练习

P11页练习1（2）、2

让四位同学板演，教师根据学生的具体解答情况作出正确判断，并分析发生错误的原因。

四、小结

由学生完成如下小结：

1．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。

2．实数的运算法则 a+b=b+a    （a+b）+c=a+（b+c）    a·b=b·a 

 （a·b）·c=a·（b·c）       （a+b）·c=a·c+b·c

3．实数的乘法法则

4．实数的除法法则

5．实数的计算公式

五、作业

1．P14页复习题2、3

2．选用《同步导学》。

复习课

回顾与思考

教学目的

1．进一步巩固数的开方的有关概念。

2．进一步巩固实数的运算法法则和运算律。

3．进一步巩固用估算方法求比较两数的大小，利用结算方法求无理数的范围。

重点难点

重点：数的开方的有关概念，运算法则以及估算方法。

难点：有理数和无理数区别以及熟练地进行实数运算。

教学过程

一、复习数的开方的有关概念和开方运算

让学生阅读数的开方的相关内容并回答以下问题：

1．什么叫平方根、算术平方根、立方根？

2．开方运算和乘方运算有什么联系？举例说明。

（开方运算和乘方运算互为逆运算，我们可以用乘方运算来进行开方运算。例如：∵32=9∴=3；∵33=27 ∴=3）

3．用计算器求下列各式的值：

（1）（2）（3）（4）

4．一个圆柱的体积是10m3，且底面圆的直径与圆柱的高相等，求这个圆柱的底面半径（π取3.14,结果保留2个有效数字）

二、复习估算法

问题1：你在生活中使用过估算的方法吗？举例说明。

问题2：你能比较下列各组里两个实数的大小吗？

（1）—π，—3.1415926;       (2) 

问题3:你能计算:π+ (结果精确到0.01)吗?

三、复习实数的有关概念

问题1：什么叫做无理数？什么叫实数？

（无限不循环小数叫无理数；有理数和无理数统称为实数）

实数 

问题2：实数可以怎样分类？

1．按正负数分类，实数可以分为正实数、负实数、0；

2．按有理数、无理数分类

问题3：你能在数轴上找到表示的点吗？

问题4：无理数与数轴上的点一一对应吗？

问题5：有理数与数轴上的点一一对应吗？

问题6：实数与数轴上的点一一对应吗？

四、复习实数的运算法则和运算律

问题1：有关有理数的相反数和绝对值等概念、大小比较、运算法则以及运算律，对于实数是否也适用？

问题2：在公式中，a、b应满足什么条件？在法则中，a、b应满中什么条件？

（在公式中，a、b应满足a≥0，b≥0；在法则中，a、b应满足a≥0，b＞0）

问题3：如何对一个实数进行化简？举例说明。

问题4：你能计算以下各题吗？

1． 

3． 

练习：P15页复习题4、5。

五、知识结构图

让学生表述自已对本章学习内容的理解，通过对本章内容归纳总结，引导学生建立知识结构

图：

六、作业

1．选用《同步导学》。