双曲线的几何性质

1．了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)．

2．理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(重点)

3．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．(难点)

1．双曲线的简单几何性质

(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．其方程的一般形式为x2－y2＝λ(λ≠0)．

(2)性质：①渐近线方程为：y＝±x.   ②离心率为：e＝.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)双曲线是中心对称图形．(　　)

(2)双曲线方程中a，b分别为实、虚轴长．(　　)

(3)方程－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.(　　)

(4)离心率e越大，双曲线－＝1的渐近线的斜率绝对值越大．(　　)

二．典型例题

　(1)双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)

A.　　 B.        C．1      D.

(2)若实数k满足0A．实半轴长相等     B．虚半轴长相等

C．离心率相等     D．焦距相等

(3)已知F1，F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为(　　)

 A.＋1      B.＋1

C．2     D．2

 [再练一题]

1．(1)已知双曲线x2－＝1(b>0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则b＝________.

 (2)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.

　分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)虚轴长为12，离心率为；

(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；

(3)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．

 [再练一题]

2．求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：

 (1)双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)；

(2)双曲线过点(3,9)，离心率e＝.

　已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1.

(1)如果直线与双曲线有两个公共点，求a的取值范围；

(2)如果直线与双曲线只有一个公共点，求a的取值范围；

(3)如果直线与双曲线没有公共点，求a的取值范围．

总结：1．研究直线与双曲线位置关系的一般解法仍然是联立二者方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解．

2．直线与双曲线有三种位置关系

(1)无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线．

(2)有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点．

(3)有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点．

[再练一题]

3．(1)已知过点P(1,1)的直线l与双曲线x2－＝1只有一个公共点，则直线l的斜率k的取值为________．

1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)

A．2　　B．2　　C．4　　　    D．4

2．下列双曲线中离心率为的是(　　)

A.－＝1   B.－＝1   C.－＝1       D.－＝1

3．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________．

4．已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________，b＝________.

5．求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，－2)，且一条渐近线的倾斜角为的双曲线的方程.