2018-2019学年江苏省南京市鼓楼区八年级(上)期末数学试卷

1.4的算术平方根是（　　）

A. 16    B. ±2    C. 2    D. 

2.为了了解某市50000名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了1000名考生的数学成绩进行统计．下列说法错误的是（　　）

A. 50000名学生的数学成绩的全体是总体

B. 每个考生是个体

C. 从中抽取的1000名考生的数学成绩是总体的一个样本

D. 样本容量是1000

3.如图，已知△ABC的3条边和3个角，则能判断和△ABC全等的是（　　）

A. 甲和乙    B. 乙和丙    C. 只有乙    D. 只有丙

4.如图，正方形ABCD的边长为4，点C的坐标为（3，3），则点D的坐标为（　　）

A. （-1，3）    B. （1，3）    C. （3，1）    D. （3，-1）

5.下列各组数是勾股数的是（　　）

A. ，，    B. 1，1，

C. ，，    D. 5，12，13

6.如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形一定是（　　）

A. 直角三角形    B. 等腰直角三角形

C. 等边三角形    D. 等腰三角形

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7.2.06≈______（精确到0.1）．

8.比较大小：______．（用“＜”或“＞”填空）

9.若点A（-1，m）在直线y=x+3上，则m=______．

10.如果点P（m，3）与点Q（-5，n）关于y轴对称，则m+n的值为______．

11.若等腰三角形的一个内角为92°，则它的顶角的度数为______°．

12.小明统计了他家12月份打电话的次数及通话时间，并列出频数分布表：

13.将一根长为xcm的细木棒放进一个内、宽、高分别是50cm、40cm、30cm的木箱中，则x的最大值为______．

14.已知函数y1=-2x与y2=x+a2的图象相交于点A（-1，2），则关于x的不等式-2x＞x+a2的解集是______．

15.如图，将一张长方形纸片沿线段AB折叠，已知∠1=40°，则∠2=______．

16.如图，在△ABC中，已知AB=15，BC=14，AC=13，BD平分∠ABC．若P，Q分别是BD和AB上的动点，则PA+PQ的最小值是______．

17.求4x2-25=0中x的值．

四、解答题（本大题共9小题，共63.0分）

18.已知点P（-m，-2m+1）是第二象限的点，求m的取值范围．

19.如图，在△ABC中，AB=AC，分别以AB，AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使∠BAD=∠CAE=90°．

求证：BD=CE．

20.为了调查某市噪声污染情况，该市生态环境局随机抽样调查了40个噪声测量点的噪声声级（单位：dB），结果如下（每组含起点值，不含终点值）：

（1）在噪声最高的测量点，其噪声声级所在范围是______dB～______dB；

（2）若噪声声级低于65dB，则噪声污染情况为轻度污染（否则为中重度污染），试估计该市噪声污染情况．

21.已知：如图，在△ABC中，AP平分∠BAC．

（1）用直尺和圆规作∠BCE的平分线，交AP于点F．

（2）求证：点F在∠DBC的平分线上．

22.平行四边形的3个顶点的坐标分别为（-3，0）、（1，0）和（0，3）．求第4个顶点的坐标．

23.某商场购进A、B两种品牌的饮料500箱，两种饮料的每箱进价和售价如下表．设购进A种饮料x箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元．

（2）已知购进两种饮料的总费用是20000元，那么该商场如何进货？

24.如图，已知AB=AC=AD．

（1）若∠BAC=40°，且AD∥BC，求∠D的度数；

（2）若∠C=2∠D，求证：AD∥BC．

25.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（5，0）和点B（0，4）．

（1）求直线AB所对应的函数表达式；

（2）设直线y=x与直线AB相交于点C，求△AOC的面积；

（3）若将直线OC沿y轴向下平移，交y轴于点O′，当△ABO′为等腰三角形时，求点O′的坐标．

26.【发现】小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．

【体验】（1）从特殊入手许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图AB=4，AC=3），保持AB不动，让AC从重合位置开始绕点A转动，在转动的过程，观测BC的大小和△ABC的形状，并列出下表：

（2）猜想一般结论在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c（a≤b≤c），

①若△ABC为直角三角形，则a、b、c满足a2+b2=c2；

②若△ABC为锐角三角形，则a、b、c满足______；

③若△ABC为钝角三角形，则a、b、c满足______．

【探索】在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面ABC（如图1），设

SA=x，SB=y，SC=z，请帮助小慧说明△ABC为锐角三角形的道理．

【应用】在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角B”，得到一个新的三角形截面DEF（如图2），那么△DEF的形状是______

A．一定是锐角三角形

B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形

C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形．

2018-2019学年江苏省南京市鼓楼区八年级（上）期末数学试卷

答案和解析

【答案】

1. C    2. B    3. B    4. A    5. D    6. D    

7. 2.1  

8. ＞  

9. 2  

10. 8  

11. 92  

12. 0.75  

13. 50  

14. x＜-1  

15. 100°  

16. 12  

17. 解：移项，得4x2=25，

系数化为1，得x2=，

开平方，得x=±．  

18. 解：∵点P（-m，-2m+1）在第二象限，

∴，

解不等式①得，m＞0，

解不等式②得，m＜，

所以，不等式组的解集是0＜m＜．

故m的取值范围为：0＜m＜．  

19. 证明：∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，

∴AB=AD，AC=AE，

∵AB=AC，

∴AD=AE，

在△ADB和△ACE中，

∵，

∴△ADB≌△ACE，

∴BD=CE．  

20. 75   80  

21. 解：（1）如图所示：FC即为所求；

（2）证明：∵点F在∠BAC平分线上，

∴点F到AD、AE的距离相等，

∵点F在∠BCE平分线上，

∴点F到BC、CE的距离相等，

∴点F到AD、CE的距离相等，

∴点F在∠DBC平分线上．  

22. 解：如图所示：

①以AC为对角线时，第四点的坐标为（4，3）；

②以AB为对角线时，第四点的坐标为（-4，3）；

③以BC为对角线时，第四点的坐标为（-2，-3）；

综上所述，第4个顶点的坐标为（4，3），或（-4，3），或（-2，-3）．  

23. 解：依题意得

（1）y=（63-55）x+（40-35）（500-x）

=3 x+2500（0≤x≤500）

（2）根据题意，得55x+35（500-x）=20000．

解得x=125．

500-x=500-125=375．

该商场购进A、B两种品牌的饮料分别为125箱、375箱．  

24. 解：（1）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∴∠ABD+∠DBC=∠C，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠D，

∵AD∥BC，

∴∠DBC=∠D，

∴∠C=2∠D，

∵∠BAC=40°，

∴∠ABC=∠C=70°，

∴∠D=35°；

（2）证明：∵AB=AD，

∴∠ABD=∠D，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∴∠ABD+∠DBC=∠C，

∵∠C=2∠D，

∴∠DBC=∠D，

∴AD∥BC．  

25. 解：（1）设直线AB所对应的函数表达式为y=kx+b（k≠0），

将A（5，0），B（0，4）代入y=kx+b，得：

，解得：，

∴直线AB所对应的函数表达式y=-x+4．

（2）联立直线OC及直线AB所对应的函数表达式为方程组，得：

，解得：，

∴点C坐标（，），

∴S△AOC=OA•yC=×5×=．

（3）分三种情况考虑，如图所示．

①当AB=AO′时，OB=OO′，

∵点B的坐标为（0，5），

∴点O′的坐标为（0，-5）；

②当O′B=O′A时，设OO′=x，则O′A=4+x，

在Rt△AOO′中，AO′2=OO′2+AO2，即（4+x）2=52+x2，

解得：x=，

∴点O′的坐标为（0，-）；

③当BA=BO′时，∵BO′==，点B的坐标为（0，4），

∴点O′的坐标为（0，4-）或（0，4+）（舍去）．

综上所述：当△ABO′为等腰三角形时，点O′的坐标为（0，-5），（0，-）或（0，4-）．  

26.    5   a2+b2＞c2   a2+b2＜c2   A  

【解析】

1. 解：∵2的平方为4，

∴4的算术平方根为2．

故选：C．

算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．

此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．

2. 解：A、这50000名学生的数学考试成绩的全体是总体，说法正确；

B、每个考生是个体，说法错误，应该是每个考生的数学成绩是个体；

C、从中抽取的1000名考生的数学成绩是总体的一个样本；说法正确；

D、样本容量是1000，说法正确；

故选：B．

总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．

此题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．

3. 解：如图：

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△EFD（SAS）；

在△ABC和△MNK中，

，

∴△ABC≌△MNK（AAS）．

∴甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是：乙或丙．

故选：B．

首先观察图形，然后根据三角形全等的判定方法（AAS与SAS），即可求得答案．

此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是注意掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

4. 解：如图，∵正方形ABCD的边长为4，点C的坐标为（3，3），

∴点D的纵坐标为3，

点D的横坐标为3-4=-1，

∴点D的坐标为（-1，3）．

故选：A．

根据正方形的性质得出点D的纵坐标等于点C的纵坐标，用点C的横坐标减去正方形的边长得到点D的横坐标，从而得解．

本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，根据图形明确正方形的边长与点的坐标的关系是解题的关键．

5. 解：A、∵，不是整数，故不是勾股数，故错误；

B、∵不是整数，故不是勾股数，故错误；

C、∵，不是正整数，故不是勾股数，故错误．

D、∵52+122=132，三边是整数，同时能构成直角三角形，故正确；

故选：D．

欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．

此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．

6. 解：如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形一定是等腰三角形．

故选：D．

根据轴对称图形的定义求解可得．

本题主要考查轴对称图形，掌握其定义是解题的关键：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

7. 解：2.06≈2.1（精确到0.1），

故答案为：2.1．

将千分位数字四舍五入即可得．

本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．

8. 解：∵1＜2＜4，

∴1＜＜2=．

∴＞．

故答案是：＞．

=2，利用“夹逼法”估算的大小，然后填空．

本题主要考查实数的比较大小，解决此题时，能根据夹逼法估算出的大小是解题的关键．

9. 解：∵点A（-1，m）在直线y=x+3上，

∴m=-1+3=2，

故答案为：2

由点A的坐标以及点A在直线y=-2x+3上，可得出关于m的一元一次方程，解方程可求出m值．

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用待定系数法求出函数系数是关键．

10. 解：∵点P（m，3）与点Q（-5，n）关于y轴对称，

∴m=5，n=3，

∴m+n=8 

故答案为：8

根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案．

此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆关于坐标轴对称点的性质是解题关键．

11. 解：∵92°＞90°，

∴92°的角是顶角，

故答案为：92．

根据92°角是钝角判断出只能是顶角，然后根据等腰三角形两底角相等解答．

本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，先判断出92°的角是顶角是解题的关键．

12. 解：由表格可得，通话时间不超过15min的频率是：

=；

故答案为：0.75．

根据表格可以得到总的频数和通话时间不超过15min的频数，从而可以求得通话时间不超过15min的频率．

本题考查频数分布表，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，掌握频率=频数÷样本容量．

13. 解：根据题意，得x2=502+402+302=5000，

∴x==50，

∴x的最大值为50，

故答案为：50．

在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较．

此题主要考查了勾股定理的应用，本题的关键是求出木箱内木棒的最大长度．

14. 解：函数y1=-2x与y2=x+a2的图象如图所示，

要满足不等式-2x＞x+a2，即y1＞y2，

则图象上两直线交点的左边符合题意，即x＜-1．

故答案为：x＜-1．

在同一坐标平面内画出两个函数的示意图，根据图形即可得出．

本题考查一元一次不等式及一次函数的图象性质；用一次函数函数思想求不等式的解集是比较常见的题型，关键在于要理解不等关系反映在函数图象上的几何意义．

15. 解：∵AD∥BC，

∴∠1=∠3=40°，

∵长方形纸片沿AB折叠，

∴∠4=∠3=40°，

∴∠2=180°-∠3-∠4=180°-2×40°=100°．

故答案为100°

先根据平行线的性质由AD∥BC得到∠1=∠3=40°，再根据折叠的性质得∠4=∠3=40°，然后根据平角的定义可计算出∠2=100°．

本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．也考查了折叠的性质．

16. 解：如图，作点Q关于直线BD的对称点Q′，作AM⊥BC于M．

∵PA+PQ=PA+PQ′，

∴根据垂线段最短可知，当A，P，Q′共线，且与AM重合时，PA+PQ的值最小，最小值=线段AM的长．

设CM=x，AM=y，

由题意：，

解得y=12，

∴PA+PQ的最小值为12．

故答案为12．

如图，作点Q关于直线BD的对称点Q′，作AM⊥BC于M．由PA+PQ=PA+PQ′，推出根据垂线段最短可知，当A，P，Q′共线，且与AM重合时，PA+PQ的值最小，最小值=线段AM的长．

本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

17. 先移项，把方程化为x2=a的形式再直接开平方．

本题考查了解一元二次方程-直接开方法，法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

18. 根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可．

本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握各象限内点的坐标的符号特点及解一元一次不等式组的能力．

19. 由于△ABD和△ACE是等腰直角三角形，那么AB=AD，AC=AE，而AB=AC，易证AD=AE，再加上∠BAD=∠CAE=90°，利用SAS可证△ADB≌△ACE，于是BD=CE．

本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是找出SAS所需要的三个条件．

20. 解：（1）由题意在噪声最高的测量点，其噪声声级所在范围是75dB～80dB，

故答案为75，80．

（2）∵==35%，

∴估计该市约35%地区噪声污染情况为轻度污染，约65%地区噪声污染情况为中重度污染．

（1）观察频数分布直方图可得结论．

（2）利用样本估计总体的思想解决问题即可．

本题考查频数分布直方图，样本估计总体的思想等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

21. （1）直接利用角平分线的作法进而分析得出答案；

（2）直接利用角平分线的性质分析得出答案．

此题主要考查了基本作图，正确掌握角平分线的性质是解题关键．

22. 根据题意画出平面直角坐标系，再描出（-3，0）、（1，0）和（0，3）的位置，然后根据平行四边形的性质找第4个顶点坐标．

此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等．

23. 注意到总利润=（售价-进价）×件数，故可列表达式为：y=（63-55）x+（40-35）×（500-x）化简即可

此题考查的是一次函数的应用及商品的利润问题，此类问题要根据总利润=（售价-进价）×件数即可解决，因此要分清楚什么时售价，什么是进价的问题，在此类题中很多考生会容易混淆．

24. （1）根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C，∠ABD=∠D，根据平行线的性质得出∠DBC=∠D，求出∠C=2∠D，求出∠C即可；

（2）根据等腰三角形的性质得出∠ABD=∠D，∠ABC=∠C，求出∠DBC=∠D，根据平行线的判定得出即可．

本题考查了平行线的性质和判定和等腰三角形的性质，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．

25. （1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB所对应的函数表达式；

（2）联立直线OC及直线AB所对应的函数表达式为方程组，通过解方程组可求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式结合点A的坐标即可求出△AOC的面积；

（3）分AB=AO′，O′B=O′A，BA=BO′三种情况考虑：①当AB=AO′时，由等腰三角形的性质可得出OB=OO′，结合点B的坐标可得出点O′的坐标；②当O′B=O′A时，设OO′=x，则O′A=4+x，在Rt△AOO′中利用勾股定理可求出x的值，进而可得出点O′的坐标；③当BA=BO′时，利用勾股定理可求出BO′的值，结合点B的坐标可得出点O′的坐标．综上，此题得解．

本题考查了待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法求出直线AB所对应的函数表达式；（2）联立两直线的函数表达式成方程组，通过解方程组求出点C的坐标；（3）分AB=AO′，O′B=O′A，BA=BO′三种情况，利用等腰三角形的性质及勾股定理求出点O′的坐标．

26. 解：（1）当∠ACB=90°时，有BC2+AC2=AB2，即m2+32=42，

解得，m=；

当∠BAC=90°时，有AB2+AC2=BC2，即32+42=m2，

解得，m=5；

故答案为：；5．

（2）②在下图中，作BD⊥CA于D，如图．设CD=x，在Rt△BCD中，BD2=a2-x2；在Rt△BAD，BD2=c2-（b-x）2，所以a2-x2=c2-（b-x）2，化简得a2+b2=c2+2bx．

因为b＞0，x＞0，所以2bx＞0，所以a、b、c三边的关系是：a2+b2＞c2．根据a2+b2＞c2；

③作BD⊥CA于D，设CD=x，

在Rt△BCD中，

BD2=a2-x2；

在Rt△BAD，

BD2=c2-（b+x）2，

所以a2-x2=c2-（b+x）2，

化简得a2+2bx+b2=c2，

∵b＞0，x＞0，

∴2bx＞0，

∴a、b、c三边的关系是：a2+b2＜c2．

故答案为：a2+b2＞c2；a2+b2＜c2．

【探索】

在Rt△SAB中，AB2=x2+y2，

在Rt△SBC中，BC2=y2+z2，

在Rt△SCA中，CA2=z2+x2，

∴AB2+BC2=x2+y2+y2+z2=x2+z2+2 y2＞x2+z2=CA2，

∴∠ABC为锐角

同理，∠BCA和∠CAB都为锐角．

∴△ABC为锐角三角形．

【应用】根据前面的性质可得，

BE2+BD2＜DE2，

BE2+BF2＜EF2，

DF2＜BD2+BF2，

∴BE2+BD2+BE2+BF2+DF2＜DE2+EF2+BD2+BF2，

∴2BE2+DF2＜DE2+EF2，

∴DE2+EF2＞DF2，

∴△DEF一定是锐角三角形，

故选A．

（1）分两种情况：∠ACB=90°和∠BAC=90°，用勾股定理解答；

（2）过B作BD⊥AC于点D，再利用勾股定理解答；

【探索】应用勾股定理计算进行说明；

【应用】根据三边的平方和关系的情形进行判断．

本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，平面截正方体等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．