2015-2016学年上海市黄浦区八年级(上)期中数学试卷

一、选择题

1．下列二次根式中，最简二次根式是(     )

A．    B．    C．    D．

2．的一个有理化因式是(     )

A．    B．    C．+    D．﹣

3．下列方程是一元二次方程的是(     )

A．ax2﹣2x+=0（a是已知数）    B．3x2+2x﹣4=3x2

C．5x2﹣2x=0    D．=1

4．下列二次根式中与是同类二次根式的是(     )

A．    B．    C．    D．

5．下列语句中哪个是命题(     )

A．联结A、B两点    B．等角的余角相等吗？

C．对顶角相等    D．代数式（a≥0）叫二次根式

6．如图，已知AB=AC，AD=BD=BC，那么下列结论中，错误的是(     )

A．∠BAC=36°

B．BD平分∠ABC

C．若取BC边上的中点M，联结AM交BD于N，那么∠MNB=54°

D．点N是BD的中点

二、填空题（每小题2分，共24分）

7．计算：﹣=__________．

8．如果有意义，那么a的取值范围是__________．

9．化简：（b＞0）=__________．

10．某种商品原价100元，经过两次降价后，该种商品的利润减少了36元，那么该商品平均每次降价的百分比是__________．

11．将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为__________．

12．若x=﹣1是方程x2﹣mx﹣3=0的一个根，则m的值为__________．

13．在实数范围内因式分解：x2﹣4x﹣3=__________．

14．若|b﹣1|与互为相反数，则（a+b）2015=__________．

15．如图，已知点D，E是BC上的三等分点，△ADE是等边三角形，那么∠BAC的度数为__________．

16．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为__________度．

17．如图，AB⊥AC，AB=AC=cm，D为AC中点，CF∥AB，AF⊥BD，垂足为E．则CF=__________cm．

18．已知等腰△ABC，AB=AC，∠C=30°，如果将△ABC绕着点B旋转，使点C正好落在直线AB上的点C′处，那么∠BC′C=__________度．

三、简答题（每小题7分，共56分）

19．计算：．

20．解方程：（x+3）（x﹣1）﹣5=0．

21．解方程：y﹣=﹣．

22．用配方法解方程：2x2﹣4x+1=0．

23．化简求值：当x=3，y=4时，求代数式+的值．

24．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m﹣1）x+m+1=0（m为常数）有两个实数根，求m的取值范围．

25．如图，要建一个面积为150㎡的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一边墙，墙长为18m，另三边用篱笆围成．若篱笆长度为35m，且要求用完．问：

（1）求鸡场的长和宽各为多少米？

（2）若将题中条件“墙长为18米”换为“墙长为a米”，且增加条件“离墙9m开外鸡场一侧准备修条小路”，其他条件不变，则墙长a米至少要多少米？

26．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，且AB=CG，AC=BF．

（1）求证：△ABF≌△GCA；

（2）求证：AG⊥AF．

四、解答题

27．如图所示，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点． 

（1）如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过3秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

2015-2016学年上海市黄浦区八年级（上）期中数学试卷

一、选择题

1．下列二次根式中，最简二次根式是(     )

A．    B．    C．    D．

【考点】最简二次根式． 

【专题】计算题；二次根式．

【分析】利用最简二次根式的定义判断即可．

【解答】解：A、是最简二次根式，正确；

B、=2，错误；

C、=|a|b2，错误；

D、=，错误，

故选A

【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．

2．的一个有理化因式是(     )

A．    B．    C．+    D．﹣

【考点】分母有理化． 

【专题】计算题；二次根式．

【分析】找出原式的一个有理化因式即可．

【解答】解：的一个有理化因式是，

故选B

【点评】此题考查了分母有理化，熟练掌握有理化因式的取法是解本题的关键．

3．下列方程是一元二次方程的是(     )

A．ax2﹣2x+=0（a是已知数）    B．3x2+2x﹣4=3x2

C．5x2﹣2x=0    D．=1

【考点】一元二次方程的定义． 

【专题】计算题；一元二次方程及应用．

【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．

【解答】解：5x2﹣2x=0是一元二次方程，

故选C

【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．

4．下列二次根式中与是同类二次根式的是(     )

A．    B．    C．    D．

【考点】同类二次根式． 

【专题】计算题．

【分析】根据化简成最简二次根式，被开方数相同的二次根式是同类二次根式，可得答案．

【解答】解：，

A、，故A不正确；

B、被开方数不同，故B不正确；

C、，故C正确；

D、，故D不正确；

故选：C．

【点评】本题考查了同类二次根式，先化成最简二次根式，再比较被开方数．

5．下列语句中哪个是命题(     )

A．联结A、B两点    B．等角的余角相等吗？

C．对顶角相等    D．代数式（a≥0）叫二次根式

【考点】命题与定理． 

【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据命题的定义进行判断．

【解答】解：A、不能判断其真假，不构成命题，故本选项错误；

B、不能判断其真假，不构成命题，故本选项错误；

C、是，因为能够判断真假，故本选项正确；

D、代数式（a≥0）叫二次根式，是定义，不是命题，故本选项错误．

故选C．

【点评】本题主要考查了命题的定义：判断一件事情的语句是命题，一般有“是”，“不是”等判断词，比较简单．

6．如图，已知AB=AC，AD=BD=BC，那么下列结论中，错误的是(     )

A．∠BAC=36°

B．BD平分∠ABC

C．若取BC边上的中点M，联结AM交BD于N，那么∠MNB=54°

D．点N是BD的中点

【考点】等腰三角形的性质． 

【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C=∠BDC，∠BAC=∠ABD，由三角形的外角的性质得到∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，

推出∠ABC=∠C=2∠BAC，根据三角形的内角和列方程即可得到∠BAC=36°，故A正确；由∠ABD=∠BAC=36°，∠ABC==72°，即可得到BD平分∠ABC，故B正确；根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到∠BNM=54°，故C正确；根据三角形的中位线的性质即可判断D错误，

【解答】解：∵AB=AC，AD=BD=BC，

∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠BAC=∠ABD，

∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，

∴∠ABC=∠C=2∠BAC，

∴∠BAC+∠ACB+∠ABC=∠BAC+2∠BAC+2∠BAC=180°，

∴∠BAC=36°，故A正确；

∴∠ABD=∠BAC=36°，

∠ABC==72°，

∴∠ABC=2∠ABD，

∴BD平分∠ABC，故B正确；

∵AB=AC，BM=CM，

∴AM⊥BC，

∴∠AMB=90°，

∵∠DBC=36°，

∴∠BNM=54°，故C正确；

∵AM不平行于AC，BM=CM，

∴BN≠DN，

∴D错误，

故选D．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

二、填空题（每小题2分，共24分）

7．计算：﹣=．

【考点】二次根式的加减法． 

【专题】计算题；二次根式．

【分析】原式各项化简后，合并即可得到结果．

【解答】解：原式=4﹣3=，

故答案为：

【点评】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

8．如果有意义，那么a的取值范围是a≥．

【考点】二次根式有意义的条件． 

【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．

【解答】解：由题意得，2a﹣1≥0，

解得，a≥，

故答案为：a≥．

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．

9．化简：（b＞0）=．

【考点】二次根式的性质与化简． 

【专题】计算题；二次根式．

【分析】原式利用二次根式性质化简即可得到结果．

【解答】解：原式=，

故答案为：

【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

10．某种商品原价100元，经过两次降价后，该种商品的利润减少了36元，那么该商品平均每次降价的百分比是20%．

【考点】一元二次方程的应用． 

【专题】增长率问题．

【分析】设每次降价的百分比为x，第一次降价后价格变为100（1﹣x），第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（x﹣1）（x﹣1），从而列出方程，求出答案．

【解答】解：设每次降价的百分比为x，根据题意得：

100（x﹣1）2=100﹣36，

解得：x1=1.8，x2=0.2．

因x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.1．

答：该商品平均每次降价的百分比是20%．

故答案为：20%．

【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍．

11．将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．

【考点】命题与定理． 

【分析】“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．据此即可写成所要求的形式．

【解答】解：“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．

则将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．

故答案是：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．

【点评】本题考查了命题的叙述，正确分清命题的条件和结论是把命题写成“如果…那么…”的形式的关键．

12．若x=﹣1是方程x2﹣mx﹣3=0的一个根，则m的值为2．

【考点】一元二次方程的解． 

【分析】把x=﹣1代入已知方程可以得到关于m的一元一次方程，通过解一元一次方程来求m的值．

【解答】解：把x=﹣1代入方程x2﹣mx﹣3=0，得

（﹣1）2﹣（﹣1）•m﹣3=0，

解得m=2．

故答案是：2．

【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

13．在实数范围内因式分解：x2﹣4x﹣3=（x﹣2+）（x﹣2﹣）．

【考点】实数范围内分解因式． 

【专题】计算题．

【分析】令原式值为0列出方程，求出方程的解即可得到分解的结果．

【解答】解：令x2﹣4x﹣3=0，

解得：x==2±，

则原式=（x﹣2+）（x﹣2﹣），

故答案为：（x﹣2+）（x﹣2﹣）．

【点评】此题考查了实数范围内分解因式，令原式值为0求出x的值是解本题的关键．

14．若|b﹣1|与互为相反数，则（a+b）2015=﹣1．

【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值． 

【分析】根据非负数的性质列出算式，求出a、b的值，根据乘方的意义计算即可．

【解答】解：由题意得，b﹣1=0，a+2=0，

解得，a=﹣2，b=1，

（a+b）2015=﹣1，

故答案为：﹣1．

【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．

15．如图，已知点D，E是BC上的三等分点，△ADE是等边三角形，那么∠BAC的度数为120°．

【考点】等边三角形的性质． 

【分析】利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出∠B=∠BAD=∠C=∠EAC=30°，进而利用三角形内角和定理求出即可．

【解答】解：∵E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，

∴BD=DE=EC=AD=AE，∠ADE=∠AED=60°，

∴∠B=∠BAD=∠C=∠EAC=30°，

∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=120°．

故答案为：120°．

【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质等知识，得出∠B=∠C的度数是解题关键．

16．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为75度．

【考点】三角形内角和定理；平行线的性质． 

【专题】计算题．

【分析】根据三角形三内角之和等于180°求解．

【解答】解：如图．

∵∠3=60°，∠4=45°，

∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．

故答案为：75．

【点评】考查三角形内角之和等于180°．

17．如图，AB⊥AC，AB=AC=cm，D为AC中点，CF∥AB，AF⊥BD，垂足为E．则CF=cm．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 

【分析】求出∠BAD=∠ACF=90°，根据三角形内角和定理求出∠BAD=∠CAF，根据ASA推出△ABD≌△CDF，根据全等三角形的性质得出AD=CF即可．

【解答】解：∵AB⊥AC，CF∥AB，

∴CF⊥AC，

∴∠BAD=∠ACF=90°，

∵AF⊥BD，

∴∠AEB=∠AED=90°，

∴∠ABD+∠ADB=∠CAF+∠ADB=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△ABD和△CAF中，

，

∴△ABD≌△CDF（ASA），

∴AD=CF，

∵AC=cm，D为AC中点，

∴AD=AC=，

∴CF=，

故答案为：．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能推出△ABD≌△CDF是解此题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应角相等，对应边相等．

18．已知等腰△ABC，AB=AC，∠C=30°，如果将△ABC绕着点B旋转，使点C正好落在直线AB上的点C′处，那么∠BC′C=15或75度．

【考点】旋转的性质． 

【分析】分成顺指针和逆时针两种情况进行讨论，利用等腰三角形的性质：等边对等角以及三角形内角和定理求解．

【解答】解：当顺时针旋转时，C落在C'1的位置，

∵B'1C=BC，

∴∠BC'1C=∠BCC'1，

又∵∠ABC=∠BC'1C+∠BCC'1=30°，

∴∠BC'1C=15°；

当逆时针旋转时，C落在C'2的位置，

∵BC'2=BC，

则∠BC'2C=∠BCC'2===75°．

故答案是：15或75．

【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，注意到分两种情况进行讨论是本题的关键．

三、简答题（每小题7分，共56分）

19．计算：．

【考点】二次根式的加减法． 

【分析】分母有理化的同时，运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

【解答】解：原式=2（+1）+3﹣2

=2+2+3﹣2

=2+3．

【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．

合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．

20．解方程：（x+3）（x﹣1）﹣5=0．

【考点】解一元二次方程-因式分解法． 

【分析】整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

【解答】解：整理得：x2+2x﹣8=0，

（x+4）（x﹣2）=0，

x+4=0，x﹣2=0，

x1=﹣4，x2=2，

所以原方程的根是x1=﹣4，x2=2．

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．

21．解方程：y﹣=﹣．

【考点】解一元二次方程-公式法． 

【分析】先去分母，整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．

【解答】解  y﹣=﹣，

去分母，得6y﹣3（y2﹣1）=﹣2，

整理，得3y2﹣6y﹣5=0，

b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×3×（﹣5）=96，

y=，

y1=，y2=．

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．

22．用配方法解方程：2x2﹣4x+1=0．

【考点】解一元二次方程-配方法． 

【专题】配方法．

【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．

【解答】解：原方程化为

配方得

即

开方得

∴，．

【点评】配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

23．化简求值：当x=3，y=4时，求代数式+的值．

【考点】二次根式的化简求值． 

【分析】首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可．

【解答】解：原式=+

=+3++

=2+4，

当x=3，y=4时，原式=2+4=2+8．

【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解平方差公式和完全平方公式对分子进行变形是关键．

24．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m﹣1）x+m+1=0（m为常数）有两个实数根，求m的取值范围．

【考点】根的判别式． 

【分析】根据一元二次方程有两个实数根可知，△＞0，列出关于m的不等式，解答即可．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m﹣1）x+m+1=0有两个实数根，

∴△=b2﹣4ac=[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m﹣1）（m+1）=﹣4m+5＞0，

又∵（m﹣1）x2﹣（2m﹣1）x+m+1=0是一元二次方程，

∴（m﹣1）≠0，

故m的取值范围是m≤且m≠1．

【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是要明确：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

25．如图，要建一个面积为150㎡的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一边墙，墙长为18m，另三边用篱笆围成．若篱笆长度为35m，且要求用完．问：

（1）求鸡场的长和宽各为多少米？

（2）若将题中条件“墙长为18米”换为“墙长为a米”，且增加条件“离墙9m开外鸡场一侧准备修条小路”，其他条件不变，则墙长a米至少要多少米？

【考点】一元二次方程的应用． 

【专题】几何图形问题．

【分析】（1）设鸡场的宽为x米，平行于墙的边长为35﹣2x米，根据面积为150平方米，可列方程求解．

（2）如果离墙9米开外准备修路，那么宽就要小于9米，可选定墙长为9米，由此进一步分析得出答案即可．

【解答】解：（1）设养鸡场靠墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（35﹣2x）米，

由题意得：（35﹣2x）x=150，

即（2x﹣15）（x﹣10）=0，

解得：x=7.5或x=10，

当x=10时，35﹣2x=15＜18，符合实际意义；

当x=7.5时，35﹣2x=20＞18，不符合实际意义，舍去．

答：养鸡场的长是15米，宽是10米；

（2））求出的平行于墙的一条边应小于墙长a；

如果a大于等于20，则方程有两个解，如果a小于20，大于等于15，则有一个解，如果a小于15，则无解．

根据离墙9米开外准备修路，那么长不小于20米，

即a≥20米，

此时养鸡场的长至少为20米，宽为7.5米．

【点评】本题考查一元二次方程的实际运用，利用长方形的面积得出等量关系建立方程解决问题．

26．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，且AB=CG，AC=BF．

（1）求证：△ABF≌△GCA；

（2）求证：AG⊥AF．

【考点】全等三角形的判定与性质． 

【专题】证明题．

【分析】（1）根据垂直定义得出∠BDC=∠GEC=90°，根据等角的余角相等求出∠ABF=∠ACG，根据全等三角形的判定推出即可；

（2）根据全等三角形的性质得出∠F=∠GAC，求出∠GAC+∠FAE=90°，即可得出答案．

【解答】证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，

∴∠BDC=∠GEC=90°，

∵∠DGB=∠EGC，

∴∠ABF=∠ACG（等角的余角相等），

在△ABF和△GCA中，

，

∴△ABF≌△GCA；

（2）由（1）△ABF≌△GCA，

∴∠F=∠GAC，

∵BE⊥AC，

∴∠AEB=∠F+∠FAE=90°，

∴∠GAC+∠FAE=90°，

∴AG⊥AF．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义的应用，能求出△ABF≌△GCA是解此题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应角相等，对应边相等．

四、解答题

27．如图所示，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点． 

（1）如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过3秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

【考点】全等三角形的判定与性质． 

【专题】动点型．

【分析】（1）①先求得BP=CQ=3，PC=BD=5，然后根据等边对等角求得∠B=∠C，最后根据SAS即可证明；

②因为VP≠VQ，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=4，根据全等得出CQ=BD=5，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度；

（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．

【解答】解：（1）①∵t=3（秒），

∴BP=CQ=3（厘米）

∵AB=10，D为AB中点，

∴BD=5（厘米）

又∵PC=BC﹣BP=8﹣3=5（厘米）

∴PC=BD

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△BPD与△CQP中，

，

∴△BPD≌△CQP（SAS），

②∵VP≠VQ，

∴BP≠CQ，

又∵∠B=∠C，

要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4，

∵△BPD≌△CPQ，

∴CQ=BD=5．

∴点P的运动时间t==4（秒），

此时VQ==1.25（厘米/秒）．

（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程

设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得1.25x=x+2×10，

解得x=80（秒），

此时P运动了80×1=80（厘米），

又∵△ABC的周长为28厘米，80=28×2+24，

∴点P、Q在AB边上相遇，即经过了80秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．

【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质．