必修一 函数的基本性质常见题型及方法

第一部分：求函数值域定义域 

例1,求下列函数的值域

(1) ; (2)  (3)  

例2求下列函数的定义域

（1）（2）（3）；（4）

例3（1）已知函数的定义域为[0，1]，求的定义域；（求函数抽象定义域）

（2）已知函数的定义域为[0，1),求.

例4已知函数的定义域为 R，求实数的取值范围。

例5求下列函数的值域

（1）；（2）；（3）（4）

（5）；（6）（7）

例6求下列函数的值域

（1）；（2）

小结：函数定义域的求法（略）

常用求判别式函数值域及最值的求法：

1、观察法：利用熟知基础函数的值域，求出函数的值域；

2、配方法： 若函数是二次函数形式的可通过配方后再求出函数的值域；

3、反比例函数法：形如的形式值域为；

4、换元法：对一些无理函数或超越函数，通过换元把它们转换为有理函数，再利用有理函数的特征求函数值域（复合函数的情况较多）

5、判别式法：

形如的常用该方法。将看成是关于的一元二次方程的系数，然后利用判别式列出关于的不等式，从而求出值域（该方法不常用 ）

6、几何法：通过画函数图像找出函数的值域

7、不等式法：利用重要不等式求出函数值域；一般形如

8、单调性法：根据函数自身单调性，求出函数的最值从而确定函数的值域；

第二部分函数的表示及函数变换 

例1求下列函数的解析式

（1）已知，求；（代入法）

（2）已知，求；（配凑法或换元法）

（3）已知（方程法）

（4）若，求一次函数的解析式（待定系数法）

（5）已知函数对任意的实数，都有，且，求的解析式（抽象函数的解析式求法）

（注：1、所给函数方程含有两个变量时，可对两个变量交替代入特殊值，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知数的函数，至于是什么特殊值，根据题目特征而定。

2、通过取某些特殊值代入题设中的等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出解析式）

例2，函数变换后解析式的求法

平移

1、

2、

3、

4、

对称

1、

2、

3、

其他情况

1、

2、

第三部分 函数的单调性 

  1、函数的单调性的证明（略）

2、函数单调性的判断方法：

（1）、图象法（2）直接法（3）利用符合函数的单调性的判断法则（4）导数法

3、掌握常见函数的单调性

4、函数单调性的应用

（1）、利用函数单调性比较函数值的大小

（2）、利用函数的单调性求参数的取值范围

（3）、利用函数的单调性求函数的最值

5、抽像函数的单调性 ：没有具体的函数解析式的函数，我们称为抽象函数，根据题目研究函数的单调性，是一类重要的题型，证明抽象函数的单调性常采用定义法，还有一类型的题目是利用抽象函数的单调性求参数范围。

例1讨论函数在上的单调性，其中为非零常数。

例2已知函数在上是减函数，试比较与的大小。

例3求函数上的最大值与最小值

例4已知函数对于任意，总有，且当时，，。（抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用）

（1）求证在R上是减函数。

（2）求在上的最大值和最小值。

第四部分 函数的奇偶性

1、函数奇偶性的应用

（1）、求函数值（2）求函数解析式（3）解抽象函数不等式

例1、设函数是定义域R上的奇函数，，当时，，求的值

例2、已知是定义在R上的奇函数，且当时，，求的解析式。

例3设在R上是偶函数，在区间上递增，且有，求的取值范围。

例4判断下列函数的奇偶性

1、；  2、

3、；4、

5、

注意：

（1）分段函数的奇偶性的判定和分类讨论思想密切相关，要注意自变量在不同情况下表达式的不同形式以及它们之间的相互利用。

    （2）判断函数的奇偶性，首先要考查定义域是否对称。

（3）若判断函数不具备奇偶性，只需举出一个反例即可。

例5已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时，

（1）求证：是偶函数；

（2）求证：在上是增函数；

（3）试比较与的大小。

例6函数是奇函数，且当时是增函数，若，求不等式。

例7设是连续的偶函数，且当时是单调函数，且满足的所有之和为（     ）

A .-3        B.3      C.-8       D.8

练习题

1、函数的图象关于（       ）.

A．y轴对称    B.直线y=-x对称  C.坐标原点对称    D.直线y=x对称

2、已知在R上是奇函数，且满足，当时，，则（      ）。

A.-2      B.2      C-98       D.98

3、设定义在R上的函数满足。若，则（   ）。

A.13       B.2      C.         D.  

4、若 函数，则函数在其定义域上是（     ）

 A.单调递减的偶函数              B.单调递增的奇函数

 C.单调递增的偶函数              D.单调递增的奇函数 

5、是定义在R上的函数，，则“均为偶函数”是“为偶函数”的（    ）。

 A.充要条件                    B.充分不必要条件

 C.必要不充分条件              D.既不充分也不必要条件 

6、设函数为奇函数，则                 .

7、已知函数为奇函数，若，则         

8、已知定义在R上的奇函数满足，则的值为（      ）

A.-1                   B.0           C.1              D.2 

9、设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（     ）

 A. 是奇函数                 B. 是奇函数

 C. 是偶函数              D. 是偶函数

10、函数对于任意实数满足条件，若，则

11、设函数，区间，集合，则使成立的实数对有（     ）

 A.0个   B.1个   C.2个    D.无数多个

12、设函数在上满足，且在闭区间上，只有。

试判断函数的奇偶性；