差分方程的解法1

高中数学新课标选修内容“一阶线性差分方程”的解法分析

江西省高中数学课程标准研究组   舒昌勇  （341200）

在高中数学新课标选修系列4的“数列与差分”专题中，一阶常系数线性差分方程xn+1=kxn+  (1)

是讨论的重点，其一般形式为

xn+1=kxn+f(n) 

其中k为已知的非零常数，f(n)为n的已知函数．当f(n)≠0时，方程（2）称为非齐次的，f(n)=0时，方程

xn+1=kxn     (3)

称为齐次的，并称（3）为（2）相应的齐次方程．方程（1）是方程（2）当f(n)为常数的情况，是方程（2）能用待定系数法求特解时所具有的几种特殊形式里最简单的一种．

我们来讨论方程（1）和（3）通解的求法．

1  求一阶齐次差分方程xn+1=kxn的通解

用迭代法，给定初始值为x0，则一阶齐次差分方程xn+1=kxn的通解为

x1 = kx0，x2=kx1=k2x0，x3=kx2=k3x0，…，

一般地，有   

xn= kx0-1= k(k n-1x0)= knx0，n = 1，2，…，

由于x0表示初始值，可任意给定，所以可视其为任意常数，不妨用c来表示．又根据差分方程通解的定义：如果差分方程的解中含有与方程的阶数相同个数的相互的任意常数，则为其通解，故一阶线性齐次方程xn+1=kxn的通解可表为

xn=knc（c为任意常数）.

对于每一个任意给定的初始值x0，都能得到方程相应于该初始值的一个特解.而求特解只要将给定的初始值x0代入通解求出待定常数c即可.

2  求一阶非齐次差分方程xn+1=kxn+b的通解

2．1探索一阶非齐次差分方程xn+1=kxn+b通解的结构

设数列﹛yn﹜，﹛zn﹜为方程（3）的任意两个解，则

yn+1=k yn

zn+1= k zn

 (4)－(5) 得 yn +1－zn +1=k(yn － zn )

这意味着一阶非齐次线性差分方程任意两个解的差为相应齐次差分方程的解．从而，若an为非齐次方程（3）的任意一个解，bn为非齐次方程（3）的一个特解，则an-bn就为相应齐次方程的一个解．为了探索一阶非齐次差分方程通解的结构，我们对它的任意一个解an作适当变形：

an=an+bn- bn= bn +( an - bn)

这表明，一阶非齐次差分方程的任意一个解可表示为它的一个特解与相应齐次方程一个解的和的形式．从而非齐次方程的通解等于其一个特解加上相应齐次方程的通解．

2．2 求一阶非齐次差分方程（3）的通解

①用迭代法，设给定的初始值为x0，依次将n=0，1，2，…代入（3），有

x1=kx0+b 

x2=kx1+b=k(kx0+b)+b =k2x0+b(1+k)

x3=kx2+b= k[k2x0+b(1+k)]+b= k3x0+b(1+k+k2)

……

xn=knx0+b(1+k+k2+…+k n-1)

ⅰ）当k≠1时, 1+k+k2+…+k n-1 = 

此时xn=knx0+=kn(x0－)+

由于x0表示初始值，可任意给定，故可设其为任意常数，从而x0－ 也为任意常数．令x0－=c，则（3）的通解可表为

xn=knc+  （c为任意常数）

ⅱ）当k=1时,1+k+k2+…+k n-1=n

此时xn=x0+nb

由于x0可任意给定，即其可为任意常数，故（3）的通解可写为

xn=c+nb   （c为任意常数）

②待定系数法

与求解常微分方程类似，待定系数法也是求非齐次线性差分方程一个特解的一种较为简便、常用的方法．其基本思想是：根据方程的非齐次项f(n)的特点，用与f(n)形式相同但系数为待定的函数，作为方程的特解（称为试解函数），然后将该试解函数代入方程，以确定试解函数（特解）中的待定系数，从而求出方程的一个特解．

ⅰ）当k≠1时，设方程（3）有一特解xn =A，其中A为待定常数，将其代入（3），有

A=kA+b ， A= ， 即xn=

知此时方程（3）的通解为

xn= knc+  （c为任意常数）

ⅱ）当k=1时，方程（3）为xn+1=xn+b，知其解数列的一阶差分为常数，可设其有形如xn =An的特解，代入（3），有

A(n+1)=An+b ， 得A=b ， 即xn=bn  

知此时方程（3）的通解为

xn= knc+bn= c+bn  （c为任意常数）

例1  求差分方程2yt+1+5yt=0的通解，并求满足y0=2的特解.

解  将原方程改写成yt+1=（-）yt ，

故其通解为yt=(-)tc ， c为任意常数.

用y0=2代入通解：2=（-）0c ， 得 c = 2 .

满足初值y0=2的特解为yt=2(-)t.

例2  求下列差分方程的通解

（1）xn+1=xn+4

（2）xn+1+xn=4

解（1）方程中有k=1，b=4 .

其通解为xn=c+4n ，（c为任意常数）.

（2）原方程可化为 xn+1= －xn+4 ，

方程中k=－1，b=4 ，

其通解为 xn= (－1)nc+

= (－1)nc+2  ，（c为任意常数）.

例3  某学术报告厅的座位是这样的安排的：每一排比前一排多2个座位.已知第一排有30个座位，（1）若用yn表示第n排的座位数，试写出用yn表示yn+1的公式. （2）第10排的座位是多少个？（3）若用Sn表示前n排的座位数，试写出用Sn表示Sn+1的公式. （4）若该报告厅共有20排，那么一共有多少个座位？

解 （1）yn+1= yn+2       n =1,2,…

（2）解上述差分方程，其中k=1,b=2 ，

通解为    yn=2n+c ，c为任意常数 .

由已知y1=30，代入，得c = 28 .

特解为yn=2n+28  ，  y10=2×10+28=48(个) .

（3）Sn+1=Sn+yn+1=Sn+[2(n+1)+28]

可得表达式为   Sn+1=Sn+2n+30 ，  n=1，2，…

（4）先解上述差分方程，

由Sn+1－Sn=2n+30 ，即△Sn=2n+30,知Sn的表达式为n的二次函数，设Sn=An2+Bn+C，

则△Sn =A（n+1）2+B（n+1）+C－An2－Bn－C

=2A n+ A+B = 2n+30 .

可得  A=1， B=29  . 又由初始条件 y1= 30= S1，

  有30 =A+B+C  ，故C=0 .

因此本问题的特解Sn= n2+29n ， n =1,2,…

S20= 202+29×20=980（个）.

注意：在本例小题（1）中每排座位数的表达式yn+1=yn+2 yn+1－yn=2,与小题（2）中前n+1排座位数表达式Sn+1=Sn+2n+30即Sn+1-Sn=2n+30都属一阶非齐次线性差分方程xn+1=kxn+f(n)类型，但前者属f(n)为常数的情况，而后者属f(n) 为n的一次函数的情况，利用差分有关知识，知Sn的表达式是关于n的二次函数．

参考文献

[1] 教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003.83-85.

[2] 严士健，张奠宙，王尚志. 普通高中数学课程标准（实验）解读[M].南京：江苏教育出版社，2004. 218-228.

 [3] 张银生，安建业.微积分[M].北京：中国人民大学出版社，2004．431，448-460.

[4] 黄立宏，戴斌祥.大学数学（一）[M]. 北京：高等教育出版社，2002.380-3 .

（本文刊于中学数学教学(合肥)，2006，6．）

1、常系数线性差分方程的解

         方程             （ 8）

   其中为常数，称方程（8）为常系数线性方程。

      又称方程         （9）

    为方程（8）对应的齐次方程。

    如果（9）有形如的解，带入方程中可得：

                              （10）

       称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。

   显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。 

                  基本结果如下：

（1）     若（10）有k个不同的实根，则（9）有通解：

                     ，

（2）     若（10）有m重根，则通解中有构成项：

（3）若（10）有一对单复根   ，令：，，则（9）的通解中有构成项：

（4） 若有m 重复根：，，则（9）的通项中有成项：    

        综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程

     （9）的通解中必有k个的任意常数。通解可记为：

        如果能得到方程（8）的一个特解：，则（8）必有通解：

                                +                             （11） 

（1）    的特解可通过待定系数法来确定。

       例如：如果为n 的多项式，则当b不是特征根时，可设成形如形式的特解，其中为m次多项式；如果b是r重根时，可设特解：，将其代入（8）中确定出系数即可。

2、差分方程的z变换解法

        对差分方程两边关于取Z变换，利用的Z 变换F（z）来表示出的Z变换，然后通过解代数方程求出F（z），并把F(z)在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的

例1        设差分方程，求

  解：解法1：特征方程为，有根：

              故：为方程的解。

           由条件得：

解法2：设F（z）=Z(),方程两边取变换可得：

      由条件得

  由F（z） 在中解析，有

           所以，

3、二阶线性差分方程组

设，，形成向量方程组

                                                    （12）

则                                                （13）

     （13）即为（12）的解。

        为了具体求出解（13），需要求出，这可以用高等代数的方法计算。常用的方法有：

         （1）如果A为正规矩阵，则A必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值，相似变换矩阵由A的特征向量构成：。

          （2）将A 分解成为列向量，则有

                   从而，

（3）    或者将A相似于约旦标准形的形式，通过讨论A的特征值的性态，找出的内在构造规律，进而分析解 的变化规律，获得它的基本性质。

4、关于差分方程稳定性的几个结果

（1）k 阶常系数线性差分方程（8）的解稳定的充分必要条件是它对应的特征方程（10）所有的 特征根满足

         （2）一阶非线性差分方程

                                                                   （14）

              （14）的平衡点由方程决定，

         将在点处展开为泰勒形式：

                                               （15）

     故有：时，（14）的解是稳定的，

                 时，方程（14）的平衡点是不稳定的。