中学数学解题说题题目

第一章　中学数学常用数学思想

第一节  函数与方程思想

1. 若方程在上有实数解，则实数的取值范围_____．

2（１）若不等式对一切实数成立，则的最小值是（  ）

A．0            B．－2            C．            D．－3

（2）若不等式对一切上恒成立，则的取值范围是_____．

3. 在中，已知内角，边，设内角，周长为；

（Ⅰ）求函数的解析式和定义域；

（Ⅱ）求的最大值．

4.在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切；

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）圆与轴相交于、两点，圆内的动点使、、成等比数列，求的取值范围．

5.如图1所示，矩形、的边长，，而且平面、互相垂直，点在直线上移动，点在上移动．求的最小值．

第一章的第二节到第五节每小节5题，前3题一组，后两题一组。第六节、第七节和第二章的每个小节都是3题，则每节一组。

第二节  分类与整合思想

1.设集合，，则（    ）

A．         B．       C．      D． 

2.某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别是0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，求这名同学至少得300分的概率．

3.设，若对所有都有，求a的取值范围．

４.设等比数列的公比为，前n项和．

（I）求q的取值范围；

（II）设，记的前n项的和为，试比较和的大小．

　　5.已知函数，设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．

第一章的第二节到第五节每小节5题，前3题一组，后两题一组。第六节、第七节和第二章的每个小节都是3题，则每节一组。

第三节  数与形结合思想

1.已知为等差数列，为等比数列，其公比，且，若，，则（     ）

　　A．    B．    C．    D． 

2.已知向量、、，则与夹角的取值范围是（     ）    

A．    B．    C．    D． 

3.定义在上的奇函数在上是减函数，又则不等式的解集是_____．

4.是否存在一个二次函数，满足，且对任意实数，不等式恒成立，若存在，求出这个二次函数的解析式，若不存在，试说明理由． 

5.若关于的方程在内有唯一解，求实数的取值范围．

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第四节　化归与转化思想

1.若函数的定义域为，则的取值范围为    ．

2.对满足的实数，使不等式恒成立的实数的取值范围是　　．

3.的三个内角为、、，求当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．

4.设椭圆的离心率，右焦点为；若为方程的两个实根，则点（  ）

A．必在圆内      B．必在圆上

C．必在圆外      D．以上三种情形都有可能

5.如图，正三棱柱的所有棱长都为2，为的中点．

（Ⅰ）求证：⊥平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

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第五节  特殊与一般思想

1.设集合, ,  则（　　）

A．                           B． 

C．      D． 

2.直线关于直线对称的直线方程是

A．        B． 

C．        D． 

3.函数的值域是（    ）

    A．[－2，2]        B．（0，2）     C．       D． 

4.在正方体上任意选择4个顶点， 它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是        （写出所有正确结论的编号）．

①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．

5.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l：与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是椭圆的左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

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第六节  有限与无限思想

1.把展开成关于x的多项式，其各项系数和为，则等于（  ）

A．    B．    C．1    D．2

2.的值等于         ．

3.如图，连结的各边中点得到一

个新的又连结的各边中点得到

，……，如此无限继续下去，得到一系列三角形：，，，，这一系列三角形趋向于一个点M．已知则点M的坐标是      ．

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第七节  或然与必然思想

1.两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数的数学期望     ．

2.将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（   ）

　　A．    B．    C．    D． 

3.从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96．

　　（Ⅰ）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；

　　（Ⅱ）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列． 

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第二章　中学数学常用解题方法

第一节  待定系数法

1. 设为等差数列的前项和，＝，，则＝    .

2.已知二次函数同时满足： ①；②的最大值为；③两根立方和等于．求的解析式．

3.已知向量、、满足且|=|，. 映射．

(Ⅰ)求向量；

(Ⅱ)求映射下（1，2）的原象；

(Ⅲ)若将看作点的坐标，问是否存在直线使得直线上的任一点在映射的作用下点仍在直线上，若存在求出直线的方程，否则说明理由．

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第二节  换元法

1.设则的最小值是（   ）

A．    B．    C．－3      D． 

2. 设，对于函数，下列结论正确的是（   ）

A．有最大值而无最小值     B．有最小值而无最大值

C．有最大值且有最小值     D．既无最大值又无最小值

3. 在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线，动点在上，在点处的切线与轴、轴的交点分别为A、B，且向量．求：

（Ⅰ）点M的轨迹方程；

（Ⅱ）求的最小值．

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第三节  配方法

1. 函数的一个单调增区间是（   ）

A．        B．        C．        D． 

2. 已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，则的最小值是          ．

例3 设方程的两实根为，若()+()≤成立，求实数的取值范围．

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第四节  反证法

1.若、、均为实数，且、、，求证：、、中至少有一个大于0

2 .等差数列的前项和为．

（Ⅰ）求数列的通项与前项和；

（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

3. 设为1、2、…、7的一个排列，求证：

必为偶数．

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第五节  数学归纳法

1.试证明：用面值为3角和5角的邮票可以支付任何角的邮资．

2. 已知数列中，，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若数列中，，，证明：，．

3.设．求证：如果和都是有理数，那么存在正整数，使得和都是有理数．