高一数学正弦定理、余弦定理及直角三角形1(学生版)

2、能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化； 

3、能够利用正、余弦定理判断三角形的形状； 

4、能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式。

1、正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，

即== =2R（R为△ABC外接圆半径）

正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 

（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；

（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

正弦定理的变形应用：

（2）

(3),常用于边化角。

（4），常用于角化边。

(5)

2、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

即  

利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角（3）一边及其邻角

【典型例题分析】

正弦定理、余弦定理的直接应用

例1、

变式练习：

1、在

2、在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C

3、在ΔABC中，已知a＝2730，b＝3696，C＝82°28′，解这个三角形

4、在△ABC中，已知，，B=45  求A、C及c

例2、已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，求的值

例3、已知△ABC中，三边a、b、c所对的角分别是A、B、C，且a、b、c成等差数列

求证：sinA＋sinC＝2sinB

例4、在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是(     )

A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形  D等腰三角形或直角三角形

变式练习：

1、在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则此三角形为(     ) 

A直角三角形   B等腰三角形 C等边三角形  D等腰直角三角形

2、△ABC中，，则三角形为              

例5、在△ABC中，BC=a, AC=b,  a, b是方程的两个根，且

2cos(A+B)=1 

求（1）角C的度数  （2）AB的长度   （3）△ABC的面积

例6、△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，

1 求最大角 ;

    2 求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积

变式练习：

1、半径为1的圆内接三角形的面积为0．25，求此三角形三边长的乘积 

2在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，求cosC的值 

【课堂总结】

熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，

要求学生注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力

解斜三角形

基本类型

或者由余弦定理和解一元二次方程求边（解的情况可以确定）