2021新高考圆锥曲线大题专题训练(含解析)

一、解答题（共19题；共210分）

1.（2021·贵阳二模）在平面直角坐标系中，椭圆 ： 的焦距为2，且过点 .    

（1）求椭圆 的方程；    

（2）过椭圆 左焦点 的直线 （不与坐标轴垂直）与椭圆 交于 ， 两点，若点 满足 ，求 .    

2.（2021·淮北模拟）已知椭圆 的离心率为 ，左顶点为A，右焦点F， .过F且斜率存在的直线交椭圆于P，N两点，P关于原点的对称点为M.    

（1）求椭圆C的方程；    

（2）设直线 ， 的斜率分别为 ， ，是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由.    

3.（2021·高州一模）已知点 为椭圆 上一点，且椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，过点 作直线 ， ，与椭圆 分别交于点 ， ．    

（1）求椭圆 的标准方程与离心率；    

（2）若直线 ， 的斜率之和为0，证明：直线 的斜率为定值．    

4.（2021·八省联考）双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ，动点 在 上．当 时， ．    

（1）求 的离心率；    

（2）若 在第一象限，证明： ．    

5.（2021·崇明一模）已知椭圆 的左右顶点分别为 、 ， 为直线 上的动点，直线 与椭圆 的另一交点为 ，直线 与椭圆 的另一交点为 .    

（1）若点 的坐标为 ，求点 的坐标；    

（2）若点 的坐标为 ，求以 为直径的圆的方程；    

（3）求证：直线 过定点.    

6.（2021·成都一诊）己知椭圆C： =1(a>b>0)的离心率为， 且直线 =1与圆x2+ y2=2相切．    

（1）求椭圆C的方程；    

（2）设直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆C 相交于点P，且0点在以4B为直径的圆上。记△AOM，△BOP的面积分别为S1  ， S2  ， 求 的取值范围．    

7.（2021·玉溪模拟）已知椭圆C： 的离心率 ，左、右焦点分别为 ， ，抛物线 的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点．    

（1）求椭圆C的方程；    

（2）记椭圆C与x轴交于A，B两点，M是直线 上任意一点，直线 ， 与椭圆C的另一个交点分别为D，E．求证：直线 过定点 ．    

8.（2021·凉山州模拟）椭圆 ： ( )的左焦点为 ，且椭圆 经过点 ，直线 ( )与 交于 ， 两点（异于点 ）.    

（1）求椭圆 的方程；    

（2）证明：直线 与直线 的斜率之和为定值，并求出这个定值.    

9.（2021·松江一模）已知椭圆Γ： 的右焦点坐标为 ，且长轴长为短轴长的 倍，直线l交Γ椭圆于不同的两点 和 ，  

（1）求椭圆Γ的方程；    

（2）若直线l经过点 ，且 的面积为 ，求直线l的方程；    

（3）若直线l的方程为 ，点 关于x轴的对称点为 ，直线 ， 分别与x轴相交于P､Q两点，求证： 为定值.    

10.（2021·青浦一模）已知动点 到直线 的距离比到点 的距离大 .    

（1）求动点 所在的曲线 的方程；    

（2）已知点 ， 是曲线 上的两个动点，如果直线 的斜率与直线 的斜率互为相反数，证明直线 的斜率为定值，并求出这个定值；    

（3）已知点 ， 是曲线 上的两个动点，如果直线 的斜率与直线 的斜率之和为2，证明：直线 过定点.    

11.（2021·浦东模拟）已知椭圆 ， 、 为 的左、右焦点.    

（1）求椭圆 的焦距；    

（2）点 为椭圆 一点，与 平行的直线 与椭圆 交于两点A、B，若 面积为 ，求直线 的方程；    

（3）已知椭圆 与双曲线 在第一象限的交点为 ，椭圆  和双曲线 上满足 的所有点 组成曲线 ．若点 是曲线 上一动点，求 的取值范围．    

12.（2021·榆林模拟）已知椭圆 与抛物线 有相同的焦点 ，抛物线 的准线交椭圆 于 ， 两点，且 .    

（1）求椭圆 与抛物线 的方程；    

（2）为坐标原点，若 为椭圆 上任意一点，以 为圆心， 为半径的圆 与椭圆 的焦点 为圆心，以 为半径的圆 交于 ， 两点，求证： 为定值.    

13.（2021·汉中模拟）已知椭圆 的离心率为 ，椭圆的中心 到直线 的距离为 .    

（1）求椭圆 的方程；    

（2）设过椭圆 的右焦点 且倾斜角为 的直线 和椭圆交于 两点，对于椭圆 上任意一点 ，若 ，求 的最大值.    

14.（2020·宝鸡模拟）已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于 ， 两点.    

（1）若 ，求 的面积.    

（2）已知圆 ，过点P（4,4）作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点分别为D，E，求证直线DE也与圆M相切.    

15.（2020·深圳模拟）已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点.    

（1）若P是第一象限内该椭圆上的一点， ，求点P的坐标；    

（2）设过定点 的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.    

16.（2020·扬州模拟）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的右准线为直线 ，左顶点为A，右焦点为F. 已知斜率为2的直线l经过点F，与椭圆E相交于 两点，且O到直线l的距离为     

（1）求椭圆E的标准方程；    

（2）若过O的直线 与直线 分别相交于 两点，且 ，求k的值.    

17.（2020·济宁模拟）已知点F为椭圆 的右焦点，点A为椭圆的右顶点.    

（1）求过点F、A且和直线 相切的圆C的方程；    

（2）过点F任作一条不与 轴重合的直线 ，直线 与椭圆交于P，Q两点，直线PA，QA分别与直线 相交于点M，N.试证明：以线段MN为直径的圆恒过点F.    

18.（2020·盐城模拟）已知椭圆C： 的离心率 ，焦距为2，直线l与椭圆C交于A  ， B两点．    

（1）求椭圆C的标准方程；    

（2）若直线l过椭圆的右焦点F  ， 且 ，求直线l方程．    

19.（2020·龙岩模拟）已知椭圆Γ： 的左，右焦点分别为F1( ，0)，F2( ，0)，椭圆的左，右顶点分别为A，B，已知椭圆Γ上一异于A，B的点P，PA，PB的斜率分别为k1  ， k2  ， 满足 .    

（1）求椭圆Γ的标准方程；    

（2）若过椭圆Γ左顶点A作两条互相垂直的直线AM和AN，分别交椭圆Γ于M，N两点，问x轴上是否存在一定点Q，使得∠MQA=∠NQA成立，若存在，则求出该定点Q，否则说明理由.    

答案解析部分

一、解答题

1.【答案】 （1）解：由题可知 ，又 ， ，   

∴ ，

∴ ∴ ，

又 ∴ ， ，

所以椭圆 的方程为： .

（2）解：设 ， ， 中点 ，直线 的方程为： ，   

由 可得 ，

∴ ，

∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ，

∴ ，

∴ ，∴ ，

所以 ， ，

所以 .

【解析】【分析】(1)利用椭圆 ： 的焦距为2，求出c的值，再利用椭圆过点 ，结合代入法求出a,b的关系式，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出a,b的值，进而求出椭圆的标准方程。

 （2） 设 ， ， 再利用中点坐标公式设出AB的中点坐标，再利用椭圆标准方程求出左焦点坐标，再利用点斜式设出直线 的方程，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理，从而求出AB中点坐标与k的关系式， ∵ ，∴ ， 再利用两点求斜率公式，从而求出直线AB的斜率，进而求出直线AB的方程，再利用韦达定理结合弦长公式，从而求出 的值。

2.【答案】 （1）解：因为离心率为 ，所以 ，又 ，所以 ，解得 ， ，又 ，所以 ，所以椭圆方程为 

（2）解：由（1）知 ， ，设直线 的方程为 ， ， 

因为 与 关于原点对称，所以 

所以 ， 

若存在 ，使得 恒成立，所以 

所以 

两边同乘 得 

又因为 在椭圆上，所以 

所以 

所以 

当 时，则 

所以 ①；

当 时， 与 重合，

联立方程 ，消元得 ，所以 

所以 ， 

代入①得 ，整理得 ，解得 

【解析】【分析】（1）利用椭圆 的离心率为 ，左顶点为A，右焦点F， ， 从而求出关于a,c的方程组，解方程组求出a,c的值，进而利用椭圆中a,b,c的关系式，从而求出b的值，进而求出椭圆的标准方程。

 （2）由（1）求出的椭圆的标准方程确定焦点的位置，进而求出左顶点为A和右焦点F的坐标，再利用斜截式设出直线 的方程为 ， ， ， 因为 与 关于原点对称，所以 ， 再利用两点求斜率公式求出 ，， 若存在 ，使得 恒成立，所以 ， 所以 ①，当 时， 与 重合，联立直线 和椭圆的方程结合韦达定理和代入法， 代入①整理得出 的值。

3.【答案】 （1）解：由题设，得 ，①且 ，②   

由①②解得 ， ，

所以椭圆 的标准方程为 ，

椭圆 的离心率为 ．

（2）解：直线 的斜率为定值1.    

证明：设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，

记 ， ．

设直线 的方程为 ，

与椭圆 的方程联立，并消去 得 ，

则 ， 是该方程的两根，

则 ，即 ．

设直线 的方程为 ，

同理得 ．

因为 ， ，

所以 ，

因此直线 的斜率为定值．

【解析】【分析】（1）利用点 为椭圆 上一点，结合代入法，得出 ，① ，再利用椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，从而结合抛物线标准方程求出焦点坐标，进而求出椭圆焦点坐标，从而求出c的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而推出 ，② ， 由①②解得a,b的值，进而求出椭圆的标准方程，进而结合椭圆离心率公式求出椭圆的离心率。

 （2）利用直线 ， 的斜率之和为0， 所以设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，记 ， ，再利用点斜式设出直线 的方程，再利用直线 与椭圆相交，联立二者方程求出点A的坐标，再利用点斜式设出直线 的方程，再利用直线 与椭圆相交，联立二者方程求出点B的坐标， 再利用两点求斜率公式证出直线 的斜率为定值。

4.【答案】 （1）解：设双曲线的半焦距为 ，则 ， ，   

因为 ，故 ，故 ，即 ，

故 .

（2）解：设 ，其中 .   

因为 ，故 ， ，

故渐近线方程为： ，所以 ， ，

当 时，

又 ， ，

所以 

，

因为故 ，

故 .

当 ，由（1）可得 ，故 .

综上， .

【解析】【分析】（1） 设双曲线的半焦距为 ，结合双曲线的标准方程确定焦点的位置，则 ，再利用动点 在双曲线 上，所以 ， 因为 ，故 ， 再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，从而求出a,c的关系式，再利用离心率公式变形结合一元二次方程求根的方法，从而求出双曲线的离心率。

 （2） 因为点 在第一象限， 所以设 ，其中 ，由（1）求出的双曲线离心率结合离心率公式，从而求出a,c的关系式，再利用双曲线中 a,b,c三者的关系式，从而求出a,b的关系式，从而求出双曲线渐近线方程，所以 ， ，当 时，再利用直线的倾斜角与直线斜率的关系式结合两点求斜率公式，从而求出 ， ， 再利用二倍角的正切公式，从而求出=，因为 ，故 ， 当 ，由（1）可得 ，故 ，从而证出 。

5.【答案】 （1）解：因为 ，所以直线 的方程为 ，   

令 ，得 ，所以 ；

（2）解：因为 ，所以直线 的方程为 ，   

由 得 ，所以 ，

所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ；

（3）证明：设 ，因为 ，直线 的方程为 ，   

由 得 ，

由韦达定理得 ，所以 ，

所以 ，同理，直线 的方程为 ，

由 得 ，

由韦达定理得 ，所以 ，所以 ，

由椭圆的对称性知这样的定点在 轴上，设为 ，则 三点共线，

所以 共线，

所以 恒成立，

整理得 恒成立，所以 ，故直线 过定点 .

【解析】【分析】利用椭圆的标准方程求出左、右顶点A,B的坐标，再利用点 为直线 上的动点， 从而求出点P的坐标，再利用两点式求出直线PA的直线，再利用直线 与椭圆 的另一交点为 ， 联立二者方程求出交点C的坐标，再利用点 的坐标为 ，从而求出点P的坐标。

 （2）利用椭圆的标准方程求出左、右顶点A,B的坐标，再利用点 的坐标为 ，从而利用两点式求出直线PB的直线，再利用直线 PB与椭圆 的另一交点为 D ，联立二者方程求出交点D的坐标，再利用中点坐标公式求出圆心坐标，再利用两点距离公式求出圆的直径，进而求出圆的半径，从而求出 以 为直径的圆的方程。

 （3）利用椭圆的标准方程求出左、右顶点A,B的坐标，再利用点 为直线 上的动点， 设 ， 从而利用两点求斜率公式求出直线PA的斜率，再利用点斜式设出直线 的方程，再利用直线 与椭圆 的另一交点为 ， 联立二者方程求出交点C的坐标， 再利用两点求斜率公式求出直线PB的斜率，再利用点斜式设出直线 PB的方程，再利用直线 PB与椭圆 的另一交点为 D ，联立二者方程求出交点D的坐标，再利用椭圆的对称性知这样的定点在 轴上，设为 ，则 三点共线， 再利用三点共线得出两向量共线，再利用共线向量的坐标表示，从而变形整理求出m的值，进而求出直线的定点，从而证出直线 过定点。

6.【答案】 （1）解：椭圆的离心率为 ，∴ =  (C为半焦距)． 

∵直线 =1，即bx+ay-ab=0与圆x2+y2=2相切，．

∴ 

又∵c2 +b2=a2  ， ∴a2=6，b2=3．∴椭圆C的方程为 =1

（2）解：∵M为线段AB的中点，∴ 

(i)当直线l的斜率不存在时，由OA⊥OB及椭圆的对称性，如下图1

不妨设OA所在直线的方程为V=x，得 =2．

则 =2， =6，∴ 

(ii)当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+m(m≠0)，A(x1  ， y1)，B(x2  ， y2)．

由 消去y，得(2k2 +1)x2+4kmx+2m2-6=0．

∴△=16k2m2-8(2k2+1)(m2-3)=8(6k2-m2+3)>0，即6k2-m2+3>0．

∴x1+x2= ，x1x2= 

∵点O在以AB为直径的圆上， =0，即x1x2+y1y2=0．

∴x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2 +km(x1+x2)+m2=0．

∴(1+k2) +km +m2=0，

化简得m2=2k2+2，经检验满足△>0成立．

线段AB的中点M( ， )

当k=0时，m2=2，此时 

当k≠0时，射线OM所在的直线方程为y= x，

由 消去y，得 ， 

∴ 

∴ 

∴ ∈( ， )

综上，  的取值范围为 ( ， )

【解析】【分析】（1）由离心率和直线与圆相切，即之间的关系求出的值，进而求出椭圆的方程；

 （2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况，设直线l的方程与椭圆联立求出两根之和，可得线段AB的中点M的坐标，求出射线OM所在的直线的方程与椭圆联立，求出P的值，再代入面积公式可得 ，   的取值范围 。

7.【答案】 （1）解：因为椭圆C的离心率 ，所以 ，即 ．   

由 得 ，所以 ，其焦点为 ，

因为抛物线 的焦点 恰好是该椭圆的一个顶点，

所以 ，所以 ．

所以椭圆C的方程为 ．

（2）解：由（1）可得 ， ，设点M的坐标为 ，   

直线 的方程为： ．

将 与 联立消去y整理得： ．

设点D的坐标为 ，则 ，

故 ，则 ．

直线 的方程为： ，

将 与 联立消去y整理得： ．

设点E的坐标为 ，则 ，

故 ，则 ， 

直线 的斜率为 ，

直线 的斜率为 ．

因为 ，所以直线 经过定点H．

【解析】【分析】 （1）首先根据题意求出抛物线的焦点坐标，即可求出椭圆的a的值，再利用离心率即可求出c的值，从而求出b的值，即可求解；

 （2）由题意方程可得A，B两点的坐标，再设出点M的坐标，即可得到直线MA的方程与椭圆方程联立，求出点D的坐标，同理求出点E的坐标，求出直线HD，HE的斜率，可得两直线的斜率相等，则可得直线DE过定点H．

8.【答案】 （1）解：由题意得： 

则 

椭圆方程为 ；

（2）证明：解法一（常规方法)：设 ，   

联立 

化简可得： ，

直线 与椭圆 交于 两点

即 

解得： 

由韦达定理 

直线 得斜率和为定值 ．

解法二（构造齐次式)：由题直线 恒过定点 

①当直线 不过原点时，设直线 为 

则 

即 有 

由 有 

则 

整理成关于 的齐次式：  ，

进而两边同时除以 ，

则 

令 

则 

②当直线 过原点时，设直线 的方程为 

综合 直线 与直线 的斜率之和为定值 ．

【解析】【分析】（1） 由题意得： ，进而求得 的值，得到 椭圆  的方程 ；

 （2） 设 ，联立直线方程与椭圆方程，消元，利用韦达定理得到  ， 利用两点斜率坐标公式，结合韦达定理证得结果。

9.【答案】 （1）解：由题意得 ， ，   

解得 ， ，所以椭圆Γ的方程为 .

（2）解：设点 ， 的坐标为 ､ ，由题意可知，直线l的斜率存在   

设直线l的方程为 .

由方程组 ，得 

所以 ， 

解得 .∴直线l的方程为 

（3）解：由题意知 点的坐标为 

将 ，代入 

得： ，

∴ ， 

对于直线 ，令 得 ∴ 

对于直线 ： ，令 

得 

，∴ 

.

【解析】【分析】（1）根据题意，结合的关系即求得椭圆的方程；

 （2） 设直线l的方程为 ， 与椭圆方程联立，然后根据韦达定理以及面积计算公式，表示出面积等于 ， 求解k的值，即可得直线的方程；

 （3）由已知得的坐标，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，并求出直线的方程，令 ，求出， 即可得， 并根据直线方程求出， 然后相乘代入化简即可。

10.【答案】 （1）解：已知动点 到直线 的距离比到点 的距离大 ，   

等价于动点 到直线 的距离和到点 的距离相等，

由抛物线的定义可得曲线 的轨迹时以 为焦点，以直线 为准线的方程，

且 ，所以曲线 的方程为 .

（2）解：设直线 的斜率为 ，   

因为直线 的斜率与直线 的斜率互为相反数，所以直线 的斜率为 ，

则 ， 

联立方程组 ，整理得 ，

即 ，可得 

联立方程组 ，整理得 ，

即 ，可得 

所以 ，即直线 的斜率为定值 .

（3）解：设直线 的斜率为 ，所以直线 的斜率为 ，   

则 ， 

两类方程组 ，整理得 ，

即 ，可得 ，

联立方程组 ，可得 ，

即 ，可得 

所以 ，

所以 ，整理得 

所以直线 恒过 .

【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义即可求解；

 （2） 设直线  的斜率为 ， 由直线  的斜率与直线  的斜率互为相反数，得直线  的斜率为， 静儿。可求出直线PA, PB的方程分别与抛物线方程联立，求出点A, B的坐标，根据斜率的公式可得直线  的斜率为定值；

 （3） 设直线  的斜率为  ，所以直线  的斜率为  ， 由（2） 可知A的坐标，写出PB的方程，与抛物线方程联立，求得B的坐标，写出AB所在直线方程，由直线系方程可得直线AB过定点。 

11.【答案】 （1）解：由椭圆 的方程知： ，即焦距为 .

（2）解：设 ，代入 得 ，   

由 得 ， ，

所以 ，

所以Q到直线 的距离 ，由 ，得 

所以 

（3）解：由 解得 ，设 是曲线 上一点，又 ， ， ， ，   

∴ ，

当 在曲线 上时， ， 

当 时， ，当 时， ，

所以 ； 

当 在曲线 上时， ；

当 时， ， ； 

综上， .

【解析】【分析】（1）由椭圆方程，根据参数关系以及焦距的含义即可求出焦距；

 （2）由直线和椭圆关系，令  ，与椭圆方程联立有  ， 应用弦长公式，点线距离公式，三角形面积公式结合已知 面积为 ，  即可求出的值；

 （3）由题意知则曲线C由双曲线、椭圆中的部分构成，令  是曲线  上一点， 应用向量数量积的坐标表示及可得  ， 讨论N在椭圆部分或双曲线部分，求得   的取值范围。

12.【答案】 （1）解：椭圆 可得焦点 ，   

抛物线 的焦点为 ，所以 ①，

由 可得 ，解得 ，

所以 ②，

由①②可得： ， ，

所以椭圆 的方程为： ，抛物线C的方程为： ；

（2）证明：设 ，则 ，圆 的方程为： ，   

圆 的方程为： ，

所以直线 的方程为： ，

设点 到直线 的距离为 ，

则 .

.

所以 为定值.

【解析】【分析】（1）由已知求出椭圆的焦点  ，抛物线的焦点  ， 再由抛物线与椭圆有相同的焦点，可得 ，把抛物线的准线方程与椭圆方程联立，可得  ，再由 解出  ，  ， 可得椭圆  与抛物线  的方程；

 （2） 设  ， 圆  的方程为：  ，圆  的方程为：  ， 直线  的方程为： ， 设点  到直线  的距离为  ， 根据点到直线的距离公式求出， 进而得出  为定值 。

13.【答案】 （1）解： ， ， .   

椭圆的中心 到直线 的距离为 ，

， . .

椭圆 的方程为 .

（2）解：由（1）可知 ，由题可知直线 的方程为 ，   

与椭圆 的方程联立 ， .

设 ，则有 .

设 ，由 得 ，

又 点 在椭圆上， ，

，

.①

点 在椭圆上， .②

.③

将②③代入①可得 ，

，

，当且仅当 时取“ ”.

的最大值为 .

【解析】【分析】（1）利用椭圆的离心率公式结合已知条件椭圆 的离心率为 ，从而求出a,c的关系式， 再利用椭圆的中心 到直线 的距离为 ，结合点到直线的距离公式，从而求出b的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式求出a,b,c的值，进而求出椭圆的标准方程。

 （2）利用椭圆的标准方程确定焦点的位置，进而求出右焦点坐标，再利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，从而结合已知条件求出直线的斜率，再利用点斜式求出过椭圆 的右焦点 且倾斜角为 的直线 的方程，再利用直线 和椭圆交于 两点，联立二者方程结合韦达定理得出 ， 设 ，由 ，结合向量的坐标运算得出 

， 又因为点 在椭圆上结合代入法， ， ① ， 点 在椭圆上结合代入法，② ， 将②③代入①可得 ， 再利用均值不等式求最值的方法，从而求出 的最大值 。

14.【答案】 （1）解：抛物线的焦点为F(1,0)，设 ， 

把 方程代入抛物线 ，

可得 ，

,

点F到直线 的距离 ，

（2）解：设过点P的直线方程为 ， 

由直线与圆M相切得 ，可得 ，

设切线 的斜率分别为 ，则 ，

把 代入抛物线方程可得 ,

则4， 是方程 的两根,

可得 ,同理 .

则有D（4（t1-1）2,4t1-4），E（4（t2-1）2,4t2-4）

直线DE： 

即为 

则圆心 到直线DE的距离为 ，

由 ，代入上式，化简可得 ，

所以直线DE与圆M相切.

【解析】【分析】（1）利用抛物线标准方程确定焦点位置，从而求出焦点坐标，再利用直线 与抛物线 交于 ， 两点，联立二者方程结合韦达定理和弦长公式求出AB两点的距离，再利用点到直线的距离公式求出焦点到直线的距离，再利用三角形面积公式求出三角形 的面积 。

 （2）利用点斜式设出设过点P的直线方程为 ， 设切线 的斜率分别为 ， 再利用直线与圆相切的位置关系判断方法结合点到直线的距离公式，再结合韦达定理得出 ， 利用过点 作圆 的两条切线，与曲线 交于另外两点分别为 ， ， 联立直线与切线的方程求出点D,E的坐标，进而利用两点式求出直线CD的方程，再利用点到直线的距离公式结合代入法求出圆心 到直线DE的距离，再利用直线与圆位置关系判断方法，从而 证出直线 也与圆 相切。

15.【答案】 （1）解：因为椭圆方程为 +y2=1，所以a=2，b-1，c= ，  

可得F1(- ，0)，F2( ，0)，设P(x，y)(x>0，y>0)

则 =(- -x，-y)·( -x，-y)=x2+y2-3= 

联立 

解得 ，→ 

即P(1， )

（2）解：显然x=0不满足题意，可设的方程为y=kx+2， 

A(x1  ， y1)，B(x2  ， y2)，

联立」4 →(1+4k2)x2+16kx+12=0，

由△=(16k)2-4(1+4k2)·12>0，得k2>

x1+x2= ，x1x2= 

又∠AOB为锐角，即 >0，

即x1x2+y1y2>0，x1x2+(kx1+2)(kx2+2)>0，

(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=(1+k2) +2k( )+4= >0，

可得k2<4.又k2> ，即为 解将k∈(-2，- )∪( ，2)

【解析】【分析】（1）由椭圆的标准方程求出a,b,c的值，从而求出左焦点和右焦点坐标，再利用数量积的坐标表示结合圆与椭圆相交，联立二者方程求出交点的方法，从而求出点P的坐标。

 （2）利用点斜式求出过定点 的直线l方程，再利用直线l与椭圆交于不同的两点A，B，联立二者方程结合韦达定理和判别式法，从而利用数量积的坐标表示和取值范围，从而求出直线l的斜率k的取值范围。

16.【答案】 （1）解：设椭圆E的焦距为 ，   

则直线 的方程为 ，即 .

因为O到直线 的距离为 ，故 ，

所以 ，则 .

因为椭圆E的右准线的为直线 ，则 ，所以 ， ，

故椭圆E 的标准方程为 .

（2）解：由(1)知 ： ，设 ， .   

由 得 ，则 .

由 ， 可知 ，

由 得 ，

同理 .

因为 ，所以 ，

由图可知 ， 

所以 ，

即 ，

所以 

.

【解析】【分析】（1）根据准线方程和原点到直线的距离可求出 ，从而可得椭圆的标准方程.（2）设 ， ，联立直线m和直线 的方程可得M的坐标，同理可得N的坐标，根据 可得 的坐标关系，联立直线 和椭圆的方程，利用韦达定理化简前述关系可求斜率 的值.

17.【答案】 （1）解：由已知得： 

圆C的圆心一定在线段AF中垂线 上

由圆C与直线 相切，得：圆C的半径 

设圆C的圆心坐标为 ，则有：

，

即圆心 

圆C的方程为： 

（2）解：当直线 斜率不存在时，其方程为 ,   

联立 ,解得 ，又因为 .

所以直线 为 .

可求得M,N两点坐标分别为 或 ，又 

的斜率之积为： 

.

当直线 斜率存在时，设直线 的方程为： 

联立方程组： ，

消去 整理得： 

又设 

由P,A,M共线得： ，

由Q,A,N共线得： ， 

所以FM,FN的斜率之积为：

综上可知：恒有 

以线段MN为直径的圆恒过点F.

【解析】【分析】由已知可得 ，即可求出其中垂线 ,即可得出半径为7,即可求出圆心坐标.即可写出圆C的方程.以线段MN为直径的圆恒过点 等价于 ,讨论直线 的斜率是否存在，写出直线，联立解出P、Q,结合 写出直线 ,即可得到点M，N，结合 ，即可说明 .

18.【答案】 （1）解：设椭圆的焦距为 ，则由 ，   

则 ，

；

（2）解：当直线l为 时， ，   

不满足 ；

所以设直线l： ，

联立 ，

设 ，

则 ，

又 ,

，

故直线l： ，即 ．

【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率和焦距确定基本量，从而得到椭圆的方程；（2）设出直线的待定系数方程，与椭圆方程联立，根据线段长度关系得到点的纵坐标的关系求解．

19.【答案】 （1）解：设 ， 

， ，

则 .

椭圆 的标准方程为 .

（2）解：由（1）可知左顶点 ，且过点 的直线 和 的斜率存在，   

设直线 和 的方程分别为 和 ，

设 ，

联立 ，

直线 和椭圆 交于 两点，

，

， 

同理 .

设 轴上存在一定点 ，使得 成立，则 ，

，则 

，

，

即 ，解得 . 

因此 轴上存在一定点 ，使得 成立.

【解析】【分析】（1）设 ，根据题意可得 ，结合椭圆的方程化简可得 ，再由 即可求解. （2）根据设直线 和 的方程分别为 和 ，将直线方程与椭圆方程联立求出 、 ，设 轴上存在一定点 ，使得 成立，则 ，利用两点求斜率化简即可求得.