江苏省扬州市江都一中2016届高三上学期10月月考数学试卷(解析版...

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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．

1．函数y=的定义域为A，函数y=lg（2﹣x）的定义域为B，则A∩B=　[1，2）　．

【考点】函数的定义域及其求法；交集及其运算．

【分析】分别求出两函数的定义域，确定出A与B，求出两集合的交集即可．

【解答】解：由函数y=，得x﹣1≥0，即x≥1，

∴A=[1，+∞）；

由函数y=lg（2﹣x），得到2﹣x＞0，即x＜2，

∴B=（﹣∞，2），

∴A∩B=[1，2）．

故答案为：[1，2）

2．写出命题“∃x＞0，x2﹣1≤0”的否定：　∀x＞0，x2﹣1＞0　．

【考点】特称命题；命题的否定．

【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出其否定命题．

【解答】解，根据特称命题的否定是全称命题，

∴命题的否定是：∀x＞0，x2﹣1＞0．

故答案是：∀x＞0，x2﹣1＞0．

3．已知复数z=，其中i是虚数单位，则|z|=　　．

【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．

【分析】利用复数代数形式的除法运算化简，然后利用模的计算公式求模．

【解答】解：∵z==．

∴|z|=．

故答案为：．

4．函数y=（sinx+cosx）2的最小正周期是　π　．

【考点】同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．

【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数y=1+sin2x，根据最小正周期等于求出结果．

【解答】解：函数y=（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=1+sin2x，

故它的最小正周期等于 =π，

故答案为：π．

5．设向量，不平行，向量与平行，则实数λ=　　．

【考点】平行向量与共线向量．

【分析】利用向量平行即共线的条件，列出关系式，利用向量相等解答．

【解答】解：因为向量，不平行，向量与平行，所以=μ（），

所以，解得λ=μ=；

故答案为：．

6．已知角α的终边经过点（﹣1，），则sin（α+）的值=　　．

【考点】任意角的三角函数的定义．

【分析】直接利用任意角的三角函数的定义，求出cosα，利用诱导公式化简所求表达式，求解即可．

【解答】解：角α的终边经过点（﹣1，），x=﹣1，y=，r=2，cosα==﹣．

sin（α+）=cosα=﹣．

故答案为：﹣．

7．“φ=”是“函数y=sin（x+φ）的图象关于y轴对称”的　充分不必要　条件．（在“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空）

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】根据函数奇偶性的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．

【解答】解：若函数y=sin（x+φ）的图象关于y轴对称，

则φ=+kπ，k∈Z，∴必要性不成立，

若φ=，则函数y=sin（x+φ）=cosx的图象关于y轴对称，∴充分性成立，

故“φ=”是“函数y=sin（x+φ）的图象关于y轴对称”的充分不必要条件，

故答案为：充分不必要

8．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0对称（a，b∈R），则ab的最大值是　　．

【考点】直线与圆的位置关系；基本不等式．

【分析】由题意知，直线2ax﹣by+2=0经过圆的圆心（﹣1，2），可得a+b=1，再利用基本不等式求得ab的最大值．

【解答】解：由题意可得，直线2ax﹣by+2=0经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2），

故有﹣2a﹣2b+2=0，即 a+b=1，故1=a+b≥2，求得 ab≤，当且仅当 a=b=时取等号，

故ab的最大值是，

故答案为：．

9．如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象，其中A，B分别是图中的最高点和最低点，且AB=5，那么ω+φ的值=　　．

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

【分析】先确定函数的周期，由图可知AB=5，AB间的纵向距离为4，故可由勾股定理计算AB间的横向距离，即半个周期，进而得ω值，再利用函数图象过点（0，1），且此点在减区间上，代入函数解析式即可求出φ值，故可计算ω+φ的值．

【解答】解：由图可知函数的振幅为2，半周期为AB间的横向距离， ==3，

∴T=6，即 =6，

∴ω=，

由图象知函数过点（0，1），

∴1=2sinφ，

∴φ=2kπ+，k∈Z，

∵≤φ≤π，

∴φ=，

故ω+φ=．

故答案为：．

10．若f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为　[，+∞）　．

【考点】函数单调性的性质．

【分析】若f（x）=是R上的单调函数，根据第二段函数为减函数，故第一段也应该为减函数，且x=1时，第二段的函数值不小于第一段的函数值，进而构造关于a的不等式组，解不等式组可得实数a的取值范围．

【解答】解：∵f（x）=是R上的单调函数，

∴，

解得：a≥，

故实数a的取值范围为[，+∞），

故答案为：[，+∞）

11．设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为　　．

【考点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．

【分析】先设β=α+，根据cosβ求出sinβ，进而求出sin2β和cos2β，最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．

【解答】解：设β=α+，

∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β﹣1=，

∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．

故答案为：．

12．设f（x）=x2﹣3x+a，若函数f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围为　（0，]　．

【考点】函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质．

【分析】函数f（x）在区间（1，3）内有零点，即a=﹣x2+3x在x∈（1，3）上成立即可，转化出求函数的值域问题即可获得问题的解答．

【解答】解：函数f（x）在区间（1，3）内有零点，即a=﹣x2+3x在x∈（1，3）上成立，

∵a=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，x∈（1，3）

∴a∈（0，]．

故答案为：（0，]．

13．在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是　[2，5]　．

【考点】平面向量的综合题．

【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．

【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），

D（），设==λ，λ∈[0，1]，

M（2+），N（），

所以=（2+）•（）

=﹣λ2﹣2λ+5，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1，

所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]．

故答案为：[2，5]．

14．若不等式|ax3﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立，则实数a取值范围是　　．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．

【分析】令g（x）=ax3﹣lnx，求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数的最小值，利用最小值大于等于1，即可确定实数a取值范围．

【解答】解：显然x=1时，有|a|≥1，a≤﹣1或a≥1．

令g（x）=ax3﹣lnx，

①当a≤﹣1时，对任意x∈（0，1]，，g（x）在（0，1]上递减，g（x）min=g（1）=a≤﹣1，此时g（x）∈[a，+∞），|g（x）|的最小值为0，不适合题意．

②当a≥1时，对任意x∈（0，1]，，∴

函数在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增

∴|g（x）|的最小值为≥1，解得：．

∴实数a取值范围是

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，集合B={x|m﹣2≤x≤m+2，x∈R，m∈R}

（1）若A∩B=[0，3]，求实数m的值；

（2）若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求出集合A，然后根据A∩B=[0，3]建立关系式，解之即可；

（2）先根据补集的定义求出CRB，然后根据子集的含义建立关系式，解之即可．

【解答】解：由已知得：集合A={x|﹣1≤x≤3}，集合B={x|m﹣2≤x≤m+2}

（1）因为A∩B=[0，3]，所以所以，所以m=2；…

（2）CRB={x|x＜m﹣2或x＞m+2}

因为A⊆CRB，所以m﹣2＞3或m+2＜﹣1，

所以m＞5或m＜﹣3．…

16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且．

（1）求角C的大小；

（2）若a2=2b2+c2，求tanA的值．

【考点】三角函数的化简求值；数量积判断两个平面向量的垂直关系；余弦定理．

【分析】（1）先利用向量垂直的充要条件，得三角等式，再利用二倍角公式化简等式即可求得cosC的值，从而得角C；

（2）先利用余弦定理化简已知等式，再利用正弦定理将等式中的边化为角，并利用（1）和三角变换公式化简，最后利用同角三角函数基本关系式即可得所求

【解答】解：（1）∵，∴=0

即=2cos2﹣2sin2C=0

∴cos2﹣4sin2cos2﹣=0

∴sin2=

∴cosC=1﹣2sin2=，又C∈（0，π）

∴C=

（2）由余弦定理，a2=2b2+c2=b2+c2﹣2bccosA，

∴b=﹣2ccosA，

正弦定理得sinB=﹣2sinCcosA，C=

∴sin（﹣A）=﹣cosA，

即cosA+sinA+cosA=0，

cosA=﹣sinA

∴tanA==﹣3

17．已知函数f（x）=sin（+x）sin（﹣x）+sinxcosx（x∈R）．

（1）求的值；

（2）在△ABC中，若f（）=1，求sinB+sinC的最大值．

【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．

【分析】（1）利用倍角公式与辅助角公式将f（x）=sin（+x）sin（﹣x）+sinxcosx化为：f（x）=sin（2x+），即可求得f（）的值；

（2）由A为三角形的内角，f（）=sin（2A+）=1可求得A=，从而sinB+sinC=sinB+sin（﹣B），展开后利用三角函数的辅助角公式即可求得sinB+sinC的最大值．

【解答】（1）∵f（x）=sin（+x）sin（﹣x）+sinxcosx

=cos2x+sin2x…

=sin（2x+），…

∴f（）=1．…

（2）由f（）=sin（A+）=1，

而0＜A＜π可得：

A+=，即A=．

∴sinB+sinC=sinB+sin（﹣B）=sinB+cosB=sin（B+）．…

∵0＜B＜，

∴＜B+＜，＜sin（B+）≤1，

∴sinB+sinC的最大值为．…

18．已知平面直角坐标系，圆C是△OAB的外接圆．

（1）求圆C的方程；

（2）若过点（2，6）的直线l被圆C所截得的弦长为，求直线l的方程．

【考点】圆的标准方程；直线的一般式方程；直线和圆的方程的应用．

【分析】（1）由题意设出圆的一般式方程，把三点坐标代入列方程组，求出系数；

（2）分两种情况求解：当直线的斜率不存在时，只需要验证即可；当直线的斜率存在时，根据弦的一半、半径和弦心距构成直角三角形来求直线的斜率．

【解答】解：（1）设圆C方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意列方程组，

解得D=﹣8，E=F=0．

∴圆C：（x﹣4）2+y2=16．

（2）当斜率不存在时，，符合题意；

当斜率存在时，设直线l：y﹣6=k（x﹣2），

即kx﹣y+6﹣2k=0，

∵被圆截得弦长为，

∴圆心到直线距离为2，

∴，

∴直线

故所求直线l为x=2，或4x+3y﹣26=0．

19．如图，公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα=﹣2．在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km， km．现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．

（1）现有两种方案：

①方案一：以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系，

设直线BC的斜率为k，把△ABC的面积S表示为关于k的函数；

②方案二：设AB=x，AC=y，把△ABC的面积S表示为x、y关系式，并说明x、y满足的关系．

（2）任选一种方案，确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．

【考点】基本不等式在最值问题中的应用．

【分析】方法一、以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．求出直线AN的方程，设点P（x0，y0），根据条件求得P的坐标，设出BC的方程，求得B的横坐标和C的纵坐标，求得S=⋅xB⋅yC的解析式，运用导数求得单调区间，可得极小值也为最小值；

方法二、同方法一求得S=⋅xB⋅yC的解析式，运用换元法和对勾函数的单调性，可得最小值；

方法三、过点P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足为E、F，连接PA．设AB=x，AC=y．由S△ABC=S△ABP+S△APC，求得面积的表达式，运用基本不等式可得最小值．

【解答】解：（方法一）如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．

因为tanα=﹣2，故直线AN的方程是y=﹣2x．

设点P（x0，y0）．因为点P到AM的距离为3，故y0=3．

由P到直线AN的距离为，

得=，解得x0=1或x0=﹣4（舍去），

所以点P（1，3）．                               …

显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y﹣3=k（x﹣1），k∈（﹣2，0）．

令y=0得xB=1﹣．                           …

由解得yC=．              …

设△ABC的面积为S，则S=⋅xB⋅yC==﹣1+．  …

由S′==0得k=﹣或k=3．

当﹣2＜k＜﹣时，S′＜0，S单调递减；当﹣＜k＜0时，S′＞0，S单调递增．…

所以当k=﹣时，即AB=5时，S取极小值，也为最小值15．

答：当AB=5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．…

（方法二）同方法一：S=⋅xB⋅yC==﹣1+．   …

令8k﹣9=t，则t∈（﹣25，﹣9），从而k=．

因此S=﹣1+=﹣1+=﹣1+．…

因为当t∈（﹣25，﹣9）时，t+∈（﹣34，﹣30]，

当且仅当t=﹣15时，此时AB=5，34+t+的最大值为4．从而S有最小值为15．

答：当AB=5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．…

（方法三）如图2，过点P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足为E、F，连接PA．设AB=x，AC=y．

因为P到AM，AN的距离分别为3，，

即PE=3，PF=．

由S△ABC=S△ABP+S△APC

=⋅x⋅3+⋅y⋅=（3x+y）．  ①…

因为tanα=﹣2，所以sinα=．

所以S△ABC=⋅x⋅y⋅．  ②…

由①②可得⋅x⋅y⋅=（3x+y）．

即3x+5y=2xy． ③…

因为3x+5y≥2，所以 2xy≥2．

解得xy≥15．                          …

当且仅当3x=5y取“=”，结合③解得x=5，y=3．

所以S△ABC=⋅x⋅y⋅有最小值15．

答：当AB=5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．…

20．已知函数f（x）=lnx﹣x，．

（1）求h（x）的最大值；

（2）若关于x的不等式xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；

（3）若关于x的方程f（x）﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，其中e是自然对数的底数，求实数b的值．

【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；函数的零点．

【分析】（1）已知h（x）的解析式，对其进行求导，利用导数研究其单调性，从而求解；

（2）因为关于x的不等式xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，将问题转化为xlnx﹣x2≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，利用常数分离法进行求解；

（3）关于x的方程f（x）﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，可得=x2﹣2ex+b+1恰有一解，构造新函数h（x）=利用导数研究h（x）的最大值，从而进行求解；

【解答】解：（1）因为，所以，…

由h′（x）＞0，且x＞0，得0＜x＜e，由h′（x）＜0，且x＞0，x＞e，…

所以函数h（x）的单调增区间是（0，e]，单调减区间是[e，+∞），

所以当x=e时，h（x）取得最大值；…

（2）因为xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，

即xlnx﹣x2≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，

亦即对一切x∈（0，+∞）恒成立，…

设，因为，

故ϕ（x）在（0，3]上递减，在[3，+∞）上递增，ϕ（x）min=ϕ（3）=7+ln3，

所以a≤7+ln3．  …

（3）因为方程f（x）﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，

即lnx﹣x﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，即恰有一解，

由（1）知，h（x）在x=e时，，…

而函数k（x）=x2﹣2ex+b+1在（0，e]上单调递减，在[e，+∞）上单调递增，

故x=e时，k（x）min=b+1﹣e2，

故方程=x2﹣2ex+b+1恰有一解当且仅当b+1﹣e2=，

即b=e2+﹣1；

2016年12月8日