多人微分对策Pareto最优解的最优均衡值算法

空　军　工　程　大　学　学　报(自然科学版)Vol .7No .32006年6月JOURNAL OF A I R FORCE ENGI N EER I N G UN I V ERSITY (NAT URAL SC IENCE ED I TI O N )Jun .2006

多人微分对策Paret o 最优解的最优均衡值算法

寇光兴1,　李炳杰1,2,　赵惠文2

(11空军工程大学理学院,陕西西安　710051;21西安电子科技大学理学院,陕西西安　710071)

摘　要:引入多人微分对策的最优均衡值和最优均衡解概念。在某种凸性条件下最优均衡解集是Paret o 最优解的凸本质连通区域。利用最优均衡解将问题等价地转化为求解单目标最优控制问

题。该方法可推广到求解局中人拥有不同权重的情形,为求解多人合作微分对策问题提供了一种简单的、新的途径。

关键词:微分对策;最优均衡解;Paret o 最优解;Ha m ilt on -Jacobi 方程

中图分类号:O225TP273　　文献标识码:A 　　文章编号:1009-3516(2006)03-0082-03

多人微分对策中,局中人的支付函数相互冲突,不可公度。求解该问题的Paret o 最优解集需结合多目标

决策理论进行研究。近年来已取得了不少成果[1-5],其中文献[1]引进了最优均衡解求解了实空间上的群

体决策问题,该方法有其独到之处。本文受文献[1]思想的启发,引进一个求解合作微分对策问题Paret o 最优解集的全新的方法———最优均衡值算法,引进一个求解该问题的单目标最优控制。该方法使局中人之间达成某种妥协,进一步寻找最优妥协值,使所有局中人的支付泛函非劣。并且对所有局中人是公平的,但仍可推广到求解具有主从性质的拥有不同权重的情形。该方法克服了以往算法的主观性、复杂性和特殊性,但其结论均适合求解这些问题。

1　最优均衡解

考虑N 人微分对策问题(P )

m in u i J i (x,u 1,u 2,…,u N )=g i (x (T 0))+∫T 00h i (t,x (t ),u 1(t ),u 2(t ),…,u N (t ))d t (1)

x (t )=f (t,x (t ),u 1(t ),u 2(t ),…,u N (t ));　x (0)=x 0

(2)设集合X 为对任意(t,x,u 1,u 2,…,u N )∈[0,T 0]×R m ×U 1×U 2×…×U N 且满足式(2)的函数x (t )构

成的集合,显然对满足控制集的任意控制函数,其轨迹x (t )可表示为

x (t )=x 0+∫t 0f (τ,x (τ),u 1(τ),u 2(τ),…,u N (τ))d τ(3)

　　定义1　称S =X ×U 1×U 2×…×U N 为问题(P )的可行函数集。

　　定义2　设s =(x (t ),u 1(t ),u 2(t ),…,u N (t ))∈S ,如果存在实数J ≥0对任意s ∈S 满足

J i (s )-J i (s )≤J 　(i =1,2,…,N )(4)

则称s 为问题(P )的J 均衡解,称J 为均衡值。均衡值J 是所有局中人就本身的支付函数而言给出的统一妥协值,如果s 为问题(P )的J 均衡解,则对任意J ′>J ,s 为问题(P )的J ′均衡解。

　　定义3　称集合G ={J |J i (s )-J i (s )≤J;s ∈S,I =1,2,…,N }为s ∈S 的均衡集。

　　定理1　对任意s ∈S ,G 非空,对任意J 0∈G,水平集G (J 0)={J ∈G |J ≤J 0}是闭集,均衡集G 存在最小值J 3s 。

收稿日期:2005-06-10

　基金项目:陕西省自然科学基金资助项目(2004A05)

　作者简介:寇光兴(1965-),男,陕西扶风人,副教授,主要从事分布参数最优控制算法研究.

证明　构造局中人i 的理想策略问题(P i )

m in s ∈S J i (x,u 1,u 2,…,u N )　　i =1,2,…,N (5)

由假设条件式(1)-式(4)知,问题(P i )存在最优目标值J 3i (i =1,2,…,N )。

对任意s ∈S,令J =max {J i (s )-J 3i ,i =1,2,…,N },显然J ≥0,对任意s ∈S ,J 3i ≤J (s )(i =1,2,…,N

),即J i (s )-J i (s )+J 3i ≤J (s ),因此,J i (s )-J (s )≤J i (s )-J 3

i ≤J (s )。故有J ∈G,所以G 非空,而水平集G (J 0)有界是显然的。

　　由假设条件式(1)-(4)知,支付函数J i (i =1,2,…,N )是连续泛函,可行函数集S 是紧集。对任意s ∈S,假定均衡值序列{J k }　　定义4　称G =∪s ∈S G 为可行函数集S 的均衡集,其中,G 为s ∈S 的均衡集。　　定理2　对任意J 0∈G ,可行函数集S 的均衡集G 的水平集G (J 0)={J ∈G |J ≤J 0}是闭集,故均衡集G 存在最小值J 3

。

　　定义5　设J 3是G 的最小值,如果s 3∈S,对任意s ∈S 满足J i (s 3)-J i (s )≤J 3(I =1,2,…,N ),则称

s 3∈S 是(P )的J 3最优均衡解,J 3是问题(P )的最优均衡值。显然,最优均衡值J 3是每个局中人针对自己的支付函数给出的最小统一妥协值。最优均衡值J 3是惟一的,但对应的最优均衡解s 3

不一定惟一。2　主要结论

　　定理3　设f,h i ,g i (i =1,2,…,N )满足假设条件式(1)-式(4),控制集U i (i =1,2,…,N )是凸集,则由所有J 3最优均衡解构成的集合是凸集。J 3

最优均衡解集与Paret o 最优解集的凸本质连通区等价。如果

Ha m ilt on 函数均关于(x,u i )是严格凸函数,g i (x )关于x 是严格凸函数,则问题(P )存在惟一J 3最优均衡

解。

证明　显然泛函J i (i =1,2,…,N )是凸泛函,可行函数集S 是凸集。设s 31,s 32,是问题(P )的J 3最优均

衡解,则对任意s ∈S,J i (s 31)-J i (s )≤J 3,J i (s 32)-J i (s )≤J 3(i =1,2,…,N )。对任意θ∈(0,1),θs 31+(1

-θ)s 32∈S,并且满足J i (θs 31+(1-θ)s 32)≤θJ i (s 31)+(1-θ)J i (s 32)(i =1,2,…,N ),因此对任意s ∈S 有J i (θs 31+(1-θ

)s 32)≤θ(J 3+J i (s ))+(1-θ)(J 3+J i (s ))=J 3+J i (s ),显然θs 31+(1-θ

)s 32)也是问题(P )的J 3最优均衡解,故J 3最优均衡解构成的集合是凸集。J 3最优均衡解集是凸本质连通区域是显然

的[2],以下证明它与Paret o 最优解集等价。

设s 3=(x 3,u 31,u 32,…,u 3N )是问题(P )的J 3最优均衡解,s 3i 是问题(P i )的最优解,如果J 3=0,则J i (s 3)=J i (s 3i )(i =1,2,…,N ),s 3是问题(P )的绝对最优解,因此,s 3是问题(P )的Paret o 最优解[6,7]。

如果J 3>0,则J i (s 3)>J i (s 3i )且J 3=J i (s 3)-J i (s 3i )(i =1,2,…,N ),假设s 3不是问题(P )的Pa 2

ret o 最优解,则至少存在一个j ∈{1,2,…,N }(不妨设只有一个并且j =1),存在v 1∈U 1,s 1=(x 3v 1,v 1,u 2,…,

u N )∈S ,使得J 1(s 1)是凸紧集,S i 的闭包S i 也是凸紧集,s 3是S i 的边界点,s 3∈S i 。由定义5,∩N i =1S i 是非空凸紧集并且就是问题(P )的J 3-最优均衡解集。由于J 1是凸连续泛函,故对任意θ∈(0,1)有J i (θs 1+(1-θ)s 3)≤θJ 1(s 1)+

(1-θ)J 1(s 3)0为

半径的闭球B (s 3,δ1)以及0<θ1<1,使得当0<θ2<θ1时,s 2=θ2s 1+(1-θ2)s 3∈B (s 3,δ1)∩S 1∩S 2,J i

(s 2))(i =1,2)。

同理可证存在闭球B (s 3,δ2),其中δ2>0,以及0<θ3<1,使得s 2=θ3s 1+(1-θ3)s 3∈B (s 3,δ2)∩S 1

∩S 2∩S 3,J i (s 2)0,以及0<θN <1,使

得s N =θN s N -1+(1-θN )s 3∈B (s 3,δN -1)∩S 1∩…∩S N ;J i (s N ){J i (s 3)-J i (S n )}>0,易证s N 是问题(P )的(J 3-ΔJ 3)均衡解,故s 3不是问题(P )的J 3最优均衡解,矛盾。所以s 3是问题(P )的Paret o 最优解。

3

8第3期寇光兴等:多人微分对策Paret o 最优解的最优均衡值算法

是J3最优均衡解,设s3的若s3是问题(P)的Paret o最优解,假设s3不是问题(P)的J3最优均衡解,s3

均衡集合为G3,由定理1必存在最小均衡值J′。而J′>J3,否则s3是J3最优均衡解。因此,由定理2可知J i(s30)在定义了最优均衡解的前提下,由定理3以及文献[1,8],可以构造与求解问题(1)-(2)的Paret o最优解等价的单目标最优控制问题。

　　定理4　如果问题(P

)存在最优目标值J3i(i=1,2,…,N),则s3是问题(P)的J3最优均衡解的充分必

i

是问题(P)

要条件是(s3,J3)∈S×R

+

m in J　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6)

s1t1J i(s)-J3i≤J(i=1,2,…,N);(s,J)∈S×R+(7)的最优轨线、最优控制以及最优目标值。

3　结束语

对多人合作微分对策问题(P),通过求解一个单目标最优控制问题求出与Paret o最优解等价的J3最优均衡解。该方法克服了传统方法的种种局限性,将复杂问题变简单了。

参考文献:

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[8]　李炳杰,周宏安.多目标分层规划问题的最优均衡值序列算法[J]1空军工程大学学报(自然科学版),2005,6(1):83-

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(编辑:田新华)

An O pti m a l Equ ili br i u m Pay m en t A lgor ith m for Pareto O pti m a l

Soluti on s of M any-person D i fferen ti a l Gam es

K OU Guang-xing1,L IB ing-jie1,2,ZHAO Hui-wen2

(1.The Science I nstitute,A ir Force Engineering University,Xi′an,Shaanxi710051,China;2.School of Sci2 ence,Xidian University,Xi′an,Shaanxi710071,China)

Abstract:The concep ti ons called op ti m al equilibriu m pay ment and op ti m al equilibrium s oluti on f or many-pers on differential ga mes are intr oduced.The op ti m al equilibrium s oluti ons set is a connected convex set consisting of the Paret o op ti m al s oluti ons in a certain convex conditi on.This result p r oves that the op ti m al s oluti ons of ga mes p r oble m are equivalent t o the s oluti ons of single object op ti m al contr ol p r oble m.The op ti m al strategies of ga mes p r oble m un2 der different weights can als o be obtained by means of this algorith m.This algorithm gives a si m p le and ne w way t o s olve the many-pers on cooperative differential ga mes.

Key words:differential ga mes;op ti m al equilibrium s oluti on;Paret o op ti m al s oluti on;Ha m ilt on-Jacobi equati on