深圳市宝安中学2017届高二下学期期中考试(文数)

数学（文科）

第Ⅰ卷（60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的. 1. i 为虚数单位，607i =（ ）

A ．i -

B ．i

C ．1-

D ．1

2．极坐标方程2sin()

2

ρπ

θ=

+和参数方程2cos (3sin x y θ

θθ

=⎧⎨

=⎩为参数）所表示的图形分别是

（ ）

A ．圆与直线 B.圆与椭圆 C.直线与圆 D.直线与椭圆

3. 用反证法证明命题：“若正系数一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有有理根，那么

,,a b c 中至多有两个是奇数”时，下列假设中正确的是

A. 假设,,a b c 都是奇数

B.假设,,a b c 至少有两个是奇数

C. 假设,,a b c 至多有一个是奇数

D. 假设,,a b c 不都是奇数

4．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝1

3

x ＋a ^，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a ^的值是( )

A.116

B.18

C.14

D.12

5.若变量x y ，满足约束条件1

11x y y x x +≥⎧⎪

-≤⎨⎪≤⎩

，则2z x y =-+3的最小值为( )

A 、1-

B 、0

C 、1

D 、2 6.设0>x ，R y ∈，则“y x >

”是“||y x >”的（ ）

A 充要条件

B 充分而不必要条件

C 必要而不充分条件

D 既不充分也不必要条件

7.若复数z 满足

11z

i z

-=+，则2z +的值为（ ） .5A

B .3C

D

8．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出P 的值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 9. 已知a>0,b>0，若不等式

b

a m

b a +≥+212恒成立，则m 的最大值等于( )

A. 10

B. 9

C. 8

D. 7

10、已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的两倍，则双曲线的离心率e =

A B C

D ．2 11. 设,,a b c 大于0，则3个数

,,a b c

b c a

的值 A. 至多有一个不大于1 B. 都大于1 C. 至少有一个不大于1 D. 都小于1 12．若函数)()(R b x

b

x x f ∈+=的导函数在区间（1，2）上有零点，则)(x f 在下列区间上单调递增的是

A.(]1,-∞-

B. ()0,1-

C. ()1,0

D. ()+∞,2

第Ⅱ卷（90分）

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分.）

13.设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________.

14.极坐标系中,两点A (3,

)6

π

与B 2(4,

)3

π

间的距离为____________ 15. 在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“ 远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”。 这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？ 你算出顶层有__________盏灯.

16. 在△ABC 中，内角 A B C ，所对的边分别为, , a b c ，且BC ，则c b

b c +取得最大值时，内角A 的值为 ．

三、解答题（本大题共6小题，20题10分，其他小题12分，解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤.）

17.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知b c a 6

6

=-，C B sin 6sin = （1） 求A cos 的值； （2）求)6

2cos(π

-A 的值.

18．已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设23log 1n n b a =-，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .

19. 微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商)．为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：

(1)

(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“微信控”和“非微信控”的人数；

(3)从(2)中抽取的5人中再随机抽取2人赠送200元的护肤品套装，求这2人中至少有1人为“非微信控”的概率．

⎝ ⎛⎭⎪⎫参考公式：K 2＝n ad －bc 2

a ＋

b

c ＋

d a ＋c b ＋d ，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 参考数据：

20. 已知曲线C 的极坐标方程为3sin 2cos 2ρθρθ+=，曲线113cos :2sin x C y α

α

=+⎧⎨=⎩(α为参

数).

（1）求曲线C 、1C 的普通方程；

（2）若点M 在曲线1C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的范围

21. 已知点)0,1(-A ,点P 是圆C ：()8122

=+-y x 上的任意一点,，线段PA 的垂直平分线

与直线CP 交于点E . （1）求点E 的轨迹方程；

（2）若直线)0)(2(:>+=k x k y l 与点E 的轨迹相切，且与圆C 相交于点P 和Q ，求直线l 和三角形POQ ∆的面积．

22．设函数()2

1ln 2

f x x ax bx =-

- （1）当3,2a b ==时，求函数()f x 的单调区间； （2）令()()21(03)2a

F x f x ax bx x x

=+++<≤，其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率1

2

k ≤

恒成立，求实数a 的取值范围. （3）当0,1a b ==-时，方程()f x mx =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解，求实数m 的取值

范围。

数学（文科）参

1-12: ADABD CBCBB CD

13. 1-. 14. 5 15. 3 16. π6 ．

17.解(1) 在三角形ABC 中，由

sin sin b c

B C

=及C B sin 6sin =，可得b =又

b c a

6

6=-，有2a c =，所以222cos 2b c a A bc +-===

(2) 在三角形ABC 中，由cos A =

，可得sin A =，于是

21cos 22cos 1,sin 22sin cos 4A A A A A =-=-==，所以

cos(2)cos 2cos sin 2sin 666

A A A πππ

-=+=

18．(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，

因为24a =，所以34a q =，24

4a q =．

因为32a +是2a 和4a 的等差中项，所以()32422a a a +=+． 即()224244q q +=+，化简得220q q -=． 因为公比0q ≠，所以2q =．

所以222422n n n n a a q --==⨯=（*

n ∈N ）． ……………………………………6分 （Ⅱ）因为2n n

a =，所以23log 131n n

b a n =-=-．

所以()

312n

n n a b n =-．…………………………………………………………8分 则()()231225282342312n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-， ① ()()23412225282342312n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-. ②

①－②得，

()2314323232312n n n T n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--分

(

)()()1

11

443312

834212

12n n n n n ++-=+⨯

-

-=-----，

所以()18342n n T n +=+-．…………………………………………………………12分

19. [解] (1)由列联表可得k ＝n ad －bc 2

a ＋

b

c ＋

d a ＋c b ＋d

＝100× 26×20－30×24 2

56×44×50×50≈0.9 35<0.708，2分

所以没有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关. 3分 (2)依题意可知，所抽取的5位女性中，

“微信控”有5×3050＝3(人)，“非微信控”有5×20

50＝2(人). 5分

(3)记5人中的“微信控”为a ，b ，c ，“非微信控”为D ，E ，

则所有可能的基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，D )，(a ，E )，(b ，c )，(b ，D )，(b ，E )，(c ，D )，(c ，E )，(D ，E )，共10种， 8分

其中至少有1人为“非微信控”的基本事件有(a ，D )，(a ，E )，(b ，D )，(b ，E )，(c ，D )，(c ，E )，(D ，E )，共7种，10分

所以这2人中至少有1人为“非微信控”的概率为7

10. 12分

20. 解：(Ⅰ)曲线:2320C x y +-=,

1C 的普通方程是：22

1(1):194

x y C -+= ⋅ 6分 (Ⅱ)曲线1C 的普通方程是：:2320C x y +-=

设点(13cos ,2sin )M αα+，由点到直线的距离公式得 ⋅ 8分

))44d ππ

αα=

=

-=- ……10分

0|cos()|14πα∴≤-≤

时，013d ∴≤≤

⋅ 12分

21.解：（1）由题意可知,22,=+=EC EP EA EP

................................1分

2

22=>=+∴AC EC EA

....................................................2分

∴E 的轨迹是以点A,C 为焦点的椭圆1,1,2===b c a 则

所以椭圆的方程1222

=+y x

........................................................................4分 （2）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12

)

2(2

2y x x k y ，得0288)12(2

222=-+++k x k x k .............................5分 又 l 与点E 的轨迹相切

∴0)28)(12(4)8(02222=-+-⇒=∆k k k ....................................................6分

即2

1

2

=

k ， ..................................................7分 又0>k ，所以2

2

=

k ，l 的方程

022),2(2

2=+-+=y x x y 即 ...................................................8分 ∴圆心C 到l 的距离33

2

0211=+⨯-=d ....................................................9分 由垂径定理可知，522212=-=d R PQ ......................................................10分

又 原点O 到直线l 的距离3

22=d ...................................................................11分 ∴3

152212==

∆d PQ S POQ ....................................................12分

22.解：（1）依题意，知)(x f 的定义域为),0(+∞，

当3,2a b ==时，23()ln 22

f x x x x =--， 21321(31)(1)()32x x x x f x x x x x

--+--+'=--== ----------------------------------------------------2分 令0)(='x f ，解得13

x =

或1x =-（舍去）， 当103x <<时，0)(>'x f ；当13

x >时，0)(<'x f ， 所以)(x f 的单调增区间为1(0,)3，减区间为1(,)3+∞------------------------------------------4分 （2）由题意知]3,0(,ln )(∈+=x x a

x x F ，则有0020

1()2x a k F x x -'==≤在（0,3）上恒成立，所以200max 1()2a x x ≥-+，当x 0=1时，20012x x -+取得最大值12

， 所以12

a ≥

----------------------------------------------------------------------------------------------------8分 （3）当0,1a b ==-时，()ln f x x x =+， 由()f x mx =，得ln x x mx +=，又0x >，所以ln 1x m x =+

， 要使方程()f x mx =在区间2[1,]e 上有唯一实数解， 只需ln 1x m x =+

有唯一实数解------------------------------------------------------------------------- 10分 令ln ()1(0)x g x x x =+

>，∴21ln ()x g x x -'=，由()0g x '>得0x e <<；()0g x '<，得x e >，

∴()g x 在区间[1,]e 上是增函数，在区间2[,]e e 上是减函数. 2221g(1)1,g(e )1,g(e)1e e ==+=+ ，故 2211m e ≤<+---------------------------------------------- 13分