湖南省2018年普通高等学校对口招生考试数学试卷及答案#精选

数 学

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页。时量120分钟。满分120分

一． 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则( )

A.{1,2,3,4,5,6}

B.{2,3,4}

C.{3,4}

D.{1,2,5,6} 2.“29x =是3x =的( ) 条件

A.充分必要

B.必要不充分

C.充分不必要

D.既不充分也不必要 3.函数22y x x =-的单调增区间是( )

A.1(,]-∞

B.1[,)+∞

C. 2(,]-∞

D. 0[,)+∞

4.已知3

5

cos α=- ，且α 为第三象限角，则tan α=( )

A.43

B. 34

C. 34-

D. 43- 5.不等式211||x ->的解集是( )

A.0{|}x x <

B. 1{|}x x >

C. 01{|}x x <<

D. 0{|x x <或1}x > 6.点M 在直线3x+4y-12=0上，O 为坐标原点，则线段OM 长度的最小值是( )

A.3

B.4

C.1225

D.12

5

7.已知向量a 、b 满足712||,||a b ==,42a b =-,则向量a 、b 的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 8.下列命题中，错误．．的是( ) A.平行于同一个平面的两个平面平行 B.平行于同一条直线的两个平面平行

C.一个平面与两个平行平面相交，交线平行

D.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交

9．已知15100200sin ,sin ,sin a b c =︒=︒=︒,则,,a b c 的大小关系为( ) A.a b c << B.a c b << C.c b a << D.c a b <<

10.过点（1,1）的直线与圆224x y +=相交于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最大值为( )

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11.某学校有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该学校学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取男生的人数为______。 12.函数()cos f x x b =+

（b 为常数）的部分图像如图所示，则b=______。

13.61()x + 的展开式中5x 的系数为______（用数字作答）。 14.已知向量a =（1,2），b =（3,4），c =（11,16），且c xa yb =+ ，则x+y=______。

15.如图，画一个边长为4的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依次类推，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积为______。

三、解答题（本大题共7小题，其中第21、22小题为选做题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（本小题满分10分）

已知数列{}n a 为等差数列，1315,a a ==;

⑴求数列{}n a 的通项公式；

⑵设数列{}n a 的前n 项和n S ，若100n S =，求n. 17.（本小题满分10分）

某种饮料共6瓶，其中有2瓶不合格，从中随机抽取2瓶检测，用ξ表示取出饮料中不合格的评述，求：

⑴随机变量ξ的分布列；

⑵检测出有不合格饮料的概率。 18. （本小题满分10分）

已知函数301()log (),(,)

a f x x a a =->≠ 的图像过点（5,1）。 ⑴求()f x 的解析式，并写出()f x 的定义域 ⑵若1()f m <，求m 的取值范围。 19. （本小题满分10分）

如图，在三棱柱111ABC A B C -中，

1AA ⊥底面ABC ，1AA AB BC ==,∠ABC=90°，D 为AC 的中点。 ⑴证明：BD ⊥平面11AA C C ；

⑵求直线1BA 与平面11AA C C 所成的角。

20.（本小题满分10分）

已知椭圆C:22

221x y a b

+=( 0a b >>) 的焦点为1F （-1,0），2F （1,0），点A （0,1）在椭

圆C 上。

⑴求椭圆C 的方程；

⑵直线l 过点1F 且与1AF 垂直，l 与椭圆C 相交于M,N 两点，求MN 的长

选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答，如果两题都做，则按所做的第21题计分，作答时，请写清题号。

21. （本小题满分10分） 如图，在四边形ABCD 中，BC=CD=6，AB=4，∠BCD=120°，∠ABC=75°，求四边形ABCD 的面积。

22. （本小题满分10分）

参 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B A D D

C B

D A

11、25 12、2 13、6 14、5 15、132

三、解答题

16、解：⑴{}n a 为等差数列，1315,a a ==，所以公差3151

2312

a a d --===- 故1112121()()n a a n d n n =+-=+-=- ⑵因为等差数列{}n a 的前n 项和12

()

n n n a a S +=

,100n S =，所以有 1211002

()

n n +-= ，10n = 17、解：⑴ξ的可能取值有0，1， 2

204226205()C C P C ξ===,1142268115()C C P C ξ===,02422

61

215

()C C P C ξ=== 故随机变量ξ的分布列为： ξ 0 1 2

P

25 815 115

⑵设事件A 表示检测出的全是合格饮料，则A 表示检测的有不合格饮料

因为检测出的全是合格饮料的概率20422

62

5

()C C P A C ==,所以检测的有不合格饮料的概率为 23

1155

()()P A P A =-=-=

18、解：⑴由()3log ()a f x x =-的图像过(5,1)得：531log ()a -=，即21log a =，所以2a = 。

由对数性质知303,x x ->>；所以函数()23log ()f x x =-的定义域为3(,)+∞ 。 ⑵因为()23log ()f x x =-，1()f m <,所以231log ()m -< 即有：2232log ()log m -<

所以有032m <-<,35m <<

即m 的取值范围是35(,)。

19、⑴证明：因为在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，

BD ⊂底面ABC ，所以1AA BD ⊥

又AB BC =,∠ABC=90°，D 为AC 的中点 所以BD AC ⊥

又1AA AC A = ，所以BD ⊥平面11AA C C

⑵因为BD ⊥平面11AA C C ，连1A D ，则1BA D ∠是直线1BA 与平面 11AA C C 所成的角。 在直角1A BD ∆中，112222

,BD AC AB A B AB =

==

所以111

2

sin BD BA D A B ∠=

= , 130BA D ∠=︒ 20、解：⑴因为椭圆C:22

221x y a b

+=(0a b >>)的焦点为1F (-1,0)，2F (1,0),

所以1c =

又点01(,)A 在椭圆C 上,所以22

22011a b

+=，即21b =

222112a b c =+=+=

故椭圆方程为2

212

x y += ⑵因为直线1AF 的斜率11AF k =,直线l 过点1F 且垂直1AF ，所以直线l 的斜率1k =-

直线l 的方程为1y x =-- 由22

112

y x x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得：2

340x x += 设M,N 坐标分别为1122(,),(,)M x y N x y ,则有12124

03

,x x x x +=-=

22121124

43

||()x x x x x x -=+-=

221442

1233

||||MN k x x =+⨯-==

即MN 的长为42

3

21、解：连结BD,

在BCD ∆中，BC=6DC=6BCD=120︒∠，， 由余弦定理得

222BD =BC +DC -2cos BC DC BCD ••∠ 所以

222BD =6+6-266cos120︒⨯⨯⨯ 即BD=63又由BC=DC=6BCD=120︒∠，得 CDB=CBD=30︒∠∠ 所以ABD=45︒∠

ABCD =ABD BCD s s s ∆∆+四边形

ABCD 11

=BC DC sin sin 22

s BCD AB BD ABD ••∠+••∠四边形

ABCD 11=66sin120463sin 4522s ︒

︒⨯⨯•+⨯⨯∠四边形

ABCD 1312

=666342222

s ⨯⨯⨯+⨯⨯四边形

ABCD s +四边形22、解：设每天生产甲乙两种产品分别为,x y 吨，才能使公司每天获得的利润最大，利润为Z 万元，则

283x+2y 1200

x y x y +≤⎧⎪≤⎪

⎨

≥⎪⎪≥⎩ 目标函数为45z x y =+

作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域。

由45z x y =+得455Z

y x =-+

平移直线455

Z

y x =-+

由图像可知当直线455

Z

y x =-+经过点B 时，

直线455Z

y x =-+的截距最大，此时Z 最大

解方程组2=8

3x+2y=12

x y +⎧⎨⎩得2,3x y ==

即点B 的坐标为（2,3）

=42+53=23z ⨯⨯最大值 （万元）

答：每天生产甲2吨，乙3吨，能够产生最大利润，最大利润是23万元。

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