第一类曲线积分的计算

1、定义

定义1 ：设为平面上可求长度的曲线段，为定义在上的函数．对曲线作分割T，它把分成n个可求长度的小曲线段，的弧长记为，分割T的细度为，在上任取一点(,若存在极限

且的值与分割T及点的取法无关，则称此极限为在上的第一型曲线积分，记作                                    （1）

定义2： 若为空间可求长曲线段，为定义在上的函数，则可类似地定义在空间曲线上的第一型曲线积分为，(此处为的弧长,, 为一常数),并且记作                                        （2）

 2、物理意义 

（1）设某物体的密度函数f（P）是定义在上的连续函数．当是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量。现在研究当是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题．首先对作分割,把分成n个可求长度的小曲线段（i=1，2，…，n)，并在每一个上任取一点P由于f（P）为上的连续函数,故当的弧长都很小时，每一小段的质量可近似地等于f（P）,其中为小曲线段的长度.于是在整个上的质量就近似地等于和式

   当对的分割越来越细密时,上述和式的极限就应是该物体的质量。 

（2）空间曲线L的重心坐标为

,   ,  

 （3） 曲线L的绕z轴(x, y轴)的转动惯量是

3、几何意义

   1） 当被积函数为1时, 积分的值恰为曲线的长度。

  （2） 当表示以L为准线，以平行于z轴的线为母线的曲柱面的面积。

4、 性质

第一型曲线积分具有下述一些重要性质:

（1）若存在，为常数，则也存在，且

（2）若曲线段由曲线首尾相接而成，且都存在，则也存在，且。

（3）若与都存在，且在上则。

（4）若存在，则也存在，且。

（5）若存在，的弧长为s，则存在常数c,使得

这里。

5、 第一型曲线积分的计算

定理1　设有光滑曲线　：函数为定义在上的连续函数，则　　　　　（3）

定理2 当曲线由方程给出，且在上有连续导函数时，              (5)

定理3 当曲线由方程给出，且在上有连续导函数时,               (6)

定理4 设函数在光滑曲线上有定义且连续，曲线的方程为

则

。

定理5 设函数在光滑曲线上有定义且连续，曲线的方程为

则可化为以x为参数的参数方程。然后化为定理4的形式。

            。

定理6 设函数在光滑曲线上有定义且连续，曲线的的方程为

则在一定的条件下可化为以z为参数的参数方程，再化为定理4的形式。

。

历年真题

1、计算，其中为球面被平面所截得的圆周。

【解析】

 由对称性知

所以     

2、求，其中是球面与平面的交线。

【解析】

3、已知曲线，则

(2009，数一，4分)

【解析】

 4、已知曲线，则曲线积分

(19，数一，3分)

【解析】

将积分曲线方程即代入被积函数，得

5、设为椭圆，其周长为，则

(1998，数一，3分)

【解析】

将积分曲线方程即代入被积函数，得

由于关于轴对称，函数关于变量为奇函数，所以

所以