山东省烟台市2019-2020学年高一第二学期期中考试试题 数学【含解析】

一、单项选择题

1.设复数（i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（    ）

A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

根据复数的乘法运算可得到结果.

【详解】复数，对应的点坐标为，在第一象限.

故选：A.

【点睛】在复平面上，点和复数一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何意义．复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化．由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了，属于基础题．

2.若向量，，与共线，则实数的值为（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意结合平面向量线性运算的坐标表示可得、，再由平面向量共线的性质即可得解.

【详解】向量，，

，，

又与共线，，解得.

故选：B.

【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示及平面向量共线的性质，考查了运算求解能力，属于基础题.

3.已知正三角形的边长为，那么的直观图的面积为（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】D

【解析】

分析】

作出原图和直观图，然后求面积.

【详解】如图，直观图的底边长度为原图形的底边长，高为原图形的高的一半乘以，故其直观图面积为.

故选：D.

【点睛】本题考查了斜二测画法及平面直观图的面积，熟记作图原则是关键，属于基础题.

4.在中，，，，则此三角形（    ）

A. 无解    B. 两解    C. 一解    D. 解的个数不确定

【答案】B

【解析】

【分析】

利用正弦定理列出关系式，把a，b，的值代入求出的值，即可做出判断．

【详解】∵在中，，，，

∴由正弦定理得：，

又∵，

∴此三角形有两解．

故选：B.

【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角形解的情况，解题关键是能够熟练掌握正弦定理，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.

5.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出圆柱的底面圆的半径，再求圆柱的表面积.

【详解】由题得圆柱的底面圆的半径为，

所以圆柱的侧面积为.

故选：D.

【点睛】本题主要考查球的内接圆柱问题，考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象观察能力，关键在于求出圆柱的底面圆的半径，属于中档题.

6.在平行四边形中，点为对角线上靠近点的三等分点，连结并延长交于，则（    ）

A.     B. 

C.     D. 

【答案】C

【解析】

【分析】

利用三角形相似推出，再利用边的比例关系及平行四边形法则即可求解.

【详解】，，，

，

.

故选：C

【点睛】本题考查用基底表示向量、平面向量线性运算，属于基础题.

7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周十尺，高六尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为10尺，米堆的高为6尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约为（    ）

A. 17斛    B. 25斛    C. 41斛    D. 58斛

【答案】C

【解析】

【分析】

根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．

【详解】解：设圆锥的底面半径为，则，

解得，

故米堆的体积为，

斛米的体积约为1.62立方尺，

，

故选：C．

【点睛】本题主要考查锥体的体积的计算，属于基础题．

8.如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上A，D两点，已知，，，，，则的长为（    ）

A.     B. 5    C.     D. 7

【答案】A

【解析】

【分析】

在中，由正弦定理求出，再根据诱导公式求出，最后在中，由余弦定理计算可得；

【详解】解：在中，由正弦定理可得，即

所以，又因为，所以

在中，由余弦定理可得

即

所以

故选：A

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题.

二、多项选项题

9.在复平面内，下列说法正确的是（    ）

A. 若复数（i为虚数单位），则

B. 若复数z满足，则

C. 若复数，则z为纯虚数的充要条件是

D. 若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆

【答案】AD

【解析】

【分析】

根据复数的运算及相关概念一一判断可得；

【详解】解：对于A：，，，所以，故A正确；

对于B：设，，所以，若，则，则或或，当时，故B错误；

复数，则z为纯虚数的充要条件是且，故C错误；

若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，故D正确；

故选：AD

【点睛】本题考查复数的运算及相关概念的理解，属于基础题.

10.下列叙述错误的是（    ）

A. 已知直线和平面，若点，点且，，则

B. 若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面

C. 若直线不平行于平面，且，则内的所有直线与都不相交

D. 若直线和不平行，且，，，则l至少与，中的一条相交

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据线线关系、线面关系的性质定理及判定定理判断可得；

【详解】解：由公理一，可知A正确；

若三条直线相交于一点，则三条直线不能唯一确定一个平面，故B错误；

若直线不平行于平面，且，则与平面相交，设交点为，则平面中所有过点的直线均与直线相交，故C错误；

若直线和不平行，且，，，

所以直线和异面

与共面，与共面，

可以与平行或相交，可以与平行或相交，

但是一定不能同时平行，若两条直线与同时平行，

则和平行，与两条直线是异面直线矛盾，

至少与和中的一条相交，故D正确；

故选：BC．

【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，本题解题的关键是理解两条直线在空间中所有的关系就只有三种，属于中档题．

11.下列结论正确的是（    ）

A. 在中，若，则

B. 在锐角三角形中，不等式恒成立

C. 在中，若，，则为等腰直角三角形

D. 在中，若，，三角形面积，则三角形外接圆半径为

【答案】ABC

【解析】

【分析】

对选项A，利用三角形“大角对长边”和正弦定理即可判断A正确；对选项B，利用余弦定理，即可判断B正确，对选项C，首先根据余弦定理得到，利用正弦定理边化角公式得到，再化简即可判断选项C正确.对选项D，首先利用面积公式得到，利用余弦定理得到，再利用正弦定理即可判断D错误.

【详解】对选项A，在中，由，

故A正确.

对选项B，若，则，

又因为，所以为锐角，符合为锐角三角形，故B正确.

对选项C，，整理得：.

因为，所以，即.

所以，即，

，

即，又，所以.

故，则为等腰直角三角形，故C正确.

对选项D，，解得

，

所以.

又因为，，故D错误.

故选：ABC

【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用，熟练掌握公式为解题的关键，属于中档题.

12.在中，D，E，F分别是边，，中点，下列说法正确的是（    ）

A. 

B. 

C. 若，则是在的投影向量

D. 若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为

【答案】BCD

【解析】

【分析】

对选项A，B，利用平面向量的加减法即可判断A错误，B正确.对选项C，首先根据已知得到为的平分线，即，再利用平面向量的投影概念即可判断C正确.对选项D，首先根据三点共线，设，，再根据已知得到，从而得到

，即可判断选项D正确.

【详解】如图所示：

对选项A，，故A错误.

对选项B，

，故B正确.

对选项C，，，分别表示平行于，，的单位向量，

由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量.

因为，所以为的平分线，

又因为为的中线，所以，如图所示：

在的投影为，

所以是在的投影向量，故选项C正确.

对选项D，如图所示：

因为在上，即三点共线，

设，.

又因为，所以.

因为，则，.

令，

当时，取得最大值为.故选项D正确.

故选：BCD

【点睛】本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.

三、填空题

13.已知复数（i为虚数单位），则______

【答案】

【解析】

【分析】

首先化简，求出的共轭复数，再求模长即可.

【详解】，

，.

故答案为：

【点睛】本题主要考查复数的模长，同时考查复数的四则运算和共轭复数，属于简单题.

14.已知向量夹角为，，，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

首先根据向量数量积的运算律计算，再开根即可.

【详解】因为向量夹角为，，

所以，

所以.

故答案为：

【点睛】本题考查向量的数量积，涉及向量数量积的运算律、向量的模，属于基础题.

15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，且，则的值为______

【答案】

【解析】

【分析】

由题意结合正弦定理、余弦定理可转化条件为、，求得后代入运算即可得解.

【详解】，，

，由可得，

又，，

.

故答案为：.

【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，熟记公式，合理运用是解题的关键，属于中档题.

16.已知一个高为的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为的等边三角形，则三棱锥的表面积为______，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为______.

【答案】    (1).     (2). 

【解析】

分析】

画出图形，取的中点，连接、，设的中心为，连接，由题意结合正三棱锥的几何特征可得、，进而可求得的三棱锥的表面积和体积，由等体积法即可求得三棱锥内切球的半径，即可得解.

【详解】由题意，三棱锥如图所示：

取的中点，连接、，

由正三角形的性质可得的中心在线段上，且，

连接，则即为该三棱锥的高，即， 

所以，

又，所以，

所以，

又，

所以三棱锥的表面积；

所以该三棱锥的体积,

当球与三棱锥内切时，体积最大，

设三棱锥的内切球的半径为，

则，解得，

则.

故答案为：；.

【点睛】本题考查了正三棱锥几何特征的应用以及几何体内切球半径的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.

四、解答题

17.如图，正方体中，E，F分别为，中点.

（1）求证：E，F，B，D四点共面；

（2）若，，与平面交于点R，求证：P，Q，R三点共线.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；

【解析】

【分析】

（1）连接，由正方体的几何特征及平面几何的知识可得，由平面的基本性质即可得证；

（2）由题意可得是平面与平面的交线，由平面的基本性质即可得证.

【详解】（1）证明：连接，如图：

在正方体中，分别为的中点，

是的中位线，，

又因为，，

四点共面；

（2）证明：在正方体中，，，

是平面与平面的交线，

又因为交平面于点，

是平面与平面的一个公共点.

两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上，

三点共线.

【点睛】本题考查了利用平面的基本性质证明点共面及点共线问题，考查了空间思维能力与逻辑推理能力，属于基础题.

18.已知复数（i为虚数单位，）为纯虚数，和b是关于x的方程的两个根.

（1）求实数a，b的值；

（2）若复数z满足，说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形？并求该图形的面积

【答案】（1），（2）点的集合是以原点为圆心，以和为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界；面积为

【解析】

【分析】

（1）根据复数的分类求解，然后由韦达定理可求得；

（2）根据模的几何意义说明结论．

【详解】解：（1）因为为纯虚数，

所以，即，

解得，

此时，由韦达定理得，

.

（2）复数满足，即，

不等式的解集是圆的外部（包括边界）所有点组成的集合，

不等式的解集是圆的内部（包括边界）所有点组成的集合，

所以所求点的集合是以原点为圆心，以和为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界.

.

【点睛】本题考查复数的分类、韦达定理，考查复数模的几何意义，属于基础题．

19.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求C；

（2）若，，求a.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）由余弦定理可求得；

（2）由正弦定理化边为角，再由诱导公式和两角和正弦公式变形可求得，然后由正弦定理求得边．

【详解】解：（1）因为，

所以，

因为，所以；

（2）因为，

由正弦定理可得，

故，

所以，

因为，所以，

由正弦定理可得，.

【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理，掌握正弦定理的边角转换是解题关键．

20.如图，在三棱锥中，是高，，，.

（1）求三棱锥的体积；

（2）求三棱锥的表面积.

【答案】（1）2（2）

【解析】

【分析】

（1）由体积公式直接计算；

（2）题中有两两垂直，面积易得，然后求出三边长，得等腰三角形，求出底边上的高可得面积．

【详解】解：（1）因为是高，，，，

所以；

（2）因为是高，平面，平面，所以，同理，

，，，

所以，

，

等腰三角形，，，

所以，

所以三棱锥的表面积为.

【点睛】本题考查三棱锥的体积与表面积，根据体积公式直接计算体积，根据表面积的定义计算出各个面的面积后相加即得表面积．属于基础题．

21.如图，四边形中，.

（1）用表示；

（2）若，点在上，，点在上，，，求.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）以作为基底，结合向量的加法运算即可得解；（2）由、推出，再求出PE、CP，即可求得，再由计算即可.

【详解】（1）因为，

所以；

（2）由已知：，，得：，，

在中，，，∴，，

在中，，，∴，，

∴，

又∵，∴，，

在中，，，，∴，

∴，

∵，∴.

【点睛】本题用基底表示向量、向量的线性运算、用向量解决长度的问题，属于中档题.

22.如图，在平面四边形中，，，.

（1）若，，求的长；

（2）若，，求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）在中求得，在中由线段关系求得，即可在中应用余弦定理求得的长；

（2）设，由正弦定理表示出与的关系，结合同角三角函数关系式，即可求得的值.

【详解】（1）在中，.

在中，，所以，

所以.

在中，由余弦定理得，

所以.

（2）设，则，，

在中，由正弦定理得，

化简得，

代入，得，

又为锐角，所以，

即.

【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，根据几何关系求线段或三角函数值，同角三角函数关系式的应用，属于基础题.