浙江省绍兴县鲁迅中学2013年适应性考试(理科)数学试卷

考生须知：

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名;

2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．编辑人：丁济亮

参考公式：

如果事件A，B互斥，那么．

如果事件A，B相互，那么．

如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么次重复试验中事件恰好发生次

的概率．

球的表面积公式，其中R表示球的半径．

球的体积公式，其中R表示球的半径．

柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高．

锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高．

台体的体积公式，其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高．

第卷(选择题 共50分)

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合A=,B=,且,则的值分别为(  )

A.、0     B.0、      C.、1      D.1、

2．设则“”是“复数为纯虚数”的(  )

充分不必要条件  必要不充分条件  

充分必要条件  既不充分也不必要条件

3．已知命题为直线，为平面，若则;

   命题若则,则下列命题为真命题的是(  )

A．或             B．或            C．且            D．且

4．左图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输出的结果是(  )

7    9

8    6  3  8

9    3  9  8  8  4  1  5

10    3  1

11    4

    A．      B．     C．      D． 

5．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为，直径为4的球的体积为，则(  )

   A．    B．    

    C．    D． 

6．已知为的导函

数，则的图像是(  )

7．有红、黄、蓝三套卡片，每套五张，分别标有字母A、B、C、D、E,若从这15张卡片中，抽取5张，要求字母各不相同且三色齐全，则不同的取法有(  )种

 A.210          B.300          C.75          D. 150

8．直线截圆得的劣弧所对的圆心角为(  )

    （A）       （B）      （C）         （D）

9．定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度相同）称为平面斜坐标系。在平面斜坐标系中，若（其中分别是斜坐标系轴，轴正方向上的单位向量，为坐标系原点），则有序数对称为点的斜坐标。在平面斜坐标系中，若点的斜坐标为则以点为圆心，2为半径的圆在斜坐标系中的方程是（  ）

    A．          B．  

    C．       D．  

10、已知(),则的最大值与最小值的乘积为（     ）

A．       B.           C.       D. 

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本题共7道小题，每题4分，共28分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）

11. 设，则         ．

12．已知满足约束条件，且的最小值为6。则常数          ．

13. 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4 个黑球. 现从甲、乙两个盒内各任取2个球, 设ξ为取出的4个球中红球的个数，则ξ的数学期望为          ．

14.已知，且满足，则的最小值为          ．

15、过原点的直线与椭圆：交于两点，是椭圆上异于的任一点．若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为_______________．

16.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是正方形ABCD所在平面内的一个动点，且满足PM=，P到直线A1D1的距离为，则点P的轨迹是__________．

17.在平面直角坐标系xOy中，点A（5，0），对于某个正实数k，存在函数，使得（为常数），这里点P、Q的坐标分别为，则k的取值范围为____________．

三、解答题：(本大题共5小题，共72分．解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤．)

18．（本小题满分14分）已知向量,，设函数, 若函数的图象与的图象关于坐标原点对称.

（Ⅰ）求函数在区间上的最大值，并求出此时的值；

（Ⅱ）在中，分别是角的对边，为锐角，若，，的面积为，求边的长．

19．（本小题满分14分）已知数列{}中，（，），数列，满足（）.

（Ⅰ）求证数列{}是等差数列；

（Ⅱ）若++，是否存在 使得：恒成立. 若有，求出的最大值与的最小值，如果没有，请说明理由. 

20．如图，在中，分别为AB、CD的中点，AE的延长线交CB于F.现将沿折起，折成二面角，连接

（Ⅰ）求证：平面平面

（Ⅱ）当时，求二面角大小的余弦值

21．已知曲线与抛物线的交点分别为、，曲线和抛物线在点处的切线分别为、，且、的斜率分别为、.

（Ⅰ）当为定值时，求证：为定值（与无关），并求出这个定值；

（Ⅱ）若直线与轴的交点为，当取得最小值时，求曲线和的方程.

22．已知函数为常数）是实数集上的奇函数． 

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若函数在区间上是减函数，求实数的最大值；

（Ⅲ）若关于的方程有且只有一个实数根，求的值．

绍兴县鲁迅中学（柯桥校区）

2013届高三热身考数学（理）试卷答题卷

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

11、        _____   12、       _____   13、       ____   14、       __

15、   __________  16、      _______   17、       ____ 

三．解答题：本大题共5小题，满分72分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

18.

19.

20. 

21

22

理科数学答案

ACBDA ADCCD 

0；-3；；；2；两个点； 

18．解：（Ⅰ）由题意得：

                        ……………………………………2分

所以                   ……………………………4分

因为，所以

所以当即时，函数在区间上的最大值为.

                                        …………………………………………7分

（Ⅱ）由得：

化简得：又因为，解得：          ………10分

由题意知：，解得，

又,所以

故所求边的长为.            ………………………………………………14分

19解：（Ⅰ）由题意得： 

      ，  数列{}是等差数列.    ---------------------------6分

（Ⅱ），，   ------------------8分

     又

         --------------------------------11分

     ， 

     ，恒成立   ------------------14分

20．（本小题满分14分）

   （I）证明：在，

又E是CD的中点，得AF⊥CD。      …………3分

折起后，AE⊥CD，EF⊥CD，

又AE∩EF=E，AE平面AED，EF平面AEF，

故CD⊥平面AEF，    …………6分

又CD平面CDB，

故平面AEF⊥平面CBD。    …………7分

   （II）方法一：

解：过点A作AH⊥EF，垂足H落在FE的延长线上。

因为CD⊥平面AEF，所以CD⊥AH，

所以AH⊥平面CBD。    …………8分

    以E为原点，EF所在直线为x轴，ED所在直线为y轴，

过E与AH平行的直线为z轴建立如图空间直角坐标系数。    …………9分

    由（I）可知∠AEF即为所求二面角的平面角，

设为，并设AC=a，可得

    …………11分

得   …………13分

故二项角A—CD—B大小的余弦值为    …………14分

方法二：

解：过点A作AH⊥EF，垂足H落在FE的延长线，

因为CD⊥平面AEF，所以CD⊥AH，

所以AH⊥平面CBD。 …………9分

连接CH并延长交BD的延长线于G，

由已知AC⊥BD，得CH⊥BD，

即∠CGB=90°，

因此△CEH∽△CGD，

则

故    …………12分

又∵AE⊥CD，EF⊥CD，

∴∠AEF即为所求二面角的平面角，    …………13分

故二项角A—CD—B大小的余弦值为    …………14分

21. 【解】（Ⅰ）设点的坐标为，

由得： 

则，∴ 

由得，∴

∴

又∵，，∴.

∴为定值。

（Ⅱ）如图设点的坐标为，则.

由（Ⅰ）知：，则直线.

∵过点，则，即，∴点.

将代入曲线的方程得.

∴.

由重要不等式得.

当且仅当“”成立时，有，解得

∴，.

22．解：（Ⅰ）是实数集上奇函数，

，即    ……2分．

将带入，显然为奇函数．          ……4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 

要使是区间上的减函数，则有在恒成立，，所以．            ……6分

所以实数的最大值为    ………7分

     当时，．  ………………11分

只有当，即时，方程有且仅有一个实数根．…………12分