圆锥曲线经典例题赏析1----对称问题

圆锥曲线上存在两点关于某直线对称问题计算复杂，综合性较强，是学生在学习中遇到的一重难点，此类问题通常可用韦达定理法、点差法两种方法解决，解题思路清晰，固定套路明显，本文以经典例题为例来分析解题步骤，帮助大家掌握解题方法。若曲线上存在两点A ),(11y x 、B ),(22y x 关于直线l 对称须满足两个条件：①直线AB 与直线l 垂直；②AB 的中点2,2(

2121y y x x M ++满足直线l 的方程。我们基于上述两个条件，列方程求解。

常用解法主要有两种方法：

1韦达定理及判别式法：假设存在，设出对称点所在直线方程（斜率可由垂直得），与曲线方程联立得一元二次方程，根据韦达定理得中点坐标，再由中点也在直线l 上建立参数间的等量关系。因为直线与椭圆有两个交点，所以上述一元二次方程的判别式大于零)0(>∆，由此求解参数范围。

2点差法：假设存在，设出对称点坐标并代入曲线方程，两式相减得中点横纵坐标的关系，再由中点坐标也满足直线l 的方程，得中点坐标与参数的关系，又由中点在曲线的内部（外部），列不等式求解。

一、椭圆中的对称问题

例1：已知椭圆22

:143

x y C +=，试确定m 的取值范围，使得对于直线:4l y x m =+，椭圆C 上有不同的两点关于这条直线对称。

解法一：利用韦达定理及判别式求解

设椭圆上存在两点A ),(11y x 、B ),(22y x 关于直线:4l y x m =+对称，中点为)

,(00y x M 设直线AB 为:n x y +-=41(垂直)，

联立22221413818014

3，得y x n x nx n x y ⎧=-+⎪⎪-+-=⎨⎪+=⎪⎩所以2192(413)0

b ∆=-->(存在)即：131322

n -<<①由韦达定理得12084132213n x x n x --+=

==，0141241313n y n n =-⨯+=由点412,1313n M n ⎛⎫ ⎪⎝⎭

在直线:4l y x m =+上，12441313n n m =⨯+.(平分)所以413

m n =-

代入①中，得：1313m -

<<解法二：点差法

设关于l 对称的两点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，弦AB 的中点为00(,)M x y ，

2211222234123412x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式做差得012121212033()14()44x y y x x x x y y y -+=-=-=--+①

由点00(,)M x y 在直线:4l y x m =+上，得004y x m

=+②

由①②解得00,3x m y m

=-=-因为点00(,)M x y 在椭圆的内部所以22

()(3)143

m m --+<

解得1313

m -<<解法一主要体现的是0>∆，解法二主要体现的是中点在椭圆的内部，两种方法都依重于图形的几何特点解题。

二、双曲线中的对称问题

例2：已知双曲线2

2

:13y C x -=上存在关于直线:4l y kx =+对称的两点B A 、，求实数k 的取值范围。

解法一：利用韦达定理及判别式求解

当0=k 时，显然不成立。

当0≠k 时，由l AB ⊥，可设直线AB 的方程为1y x b k =-

+（垂直），代入双曲线2

2:13

y C x -=中，得2222(31)2(3)0k x kbx b k -+-+=，所以22222310(2)4(31)[(3)]0，k kb k b k -≠∆=---+>（存在），

即222310k b k +->。①

设AB 中点为00(,)M x y ，由韦达定理得

2002233131

，kb k b x y k k -==--，因为点00(,)M x y 在直线:4l y kx =+上（平分），所以2222343131k b k b k k -=+--，即22

31k b k -=②，

把②代入①得2222231()310k k k k -+->，

化简得4212710k k -+>，解得221134或k k ><，

所以11002233

，　，或k k k k -<<<<><-。故实数k 的取值范围是11()(0)(0(0)3223 ，　　，　，　)，　-∞-

-。解法二：点差法

设关于l 对称的两点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，弦AB 的中点为00(,)M x y ，

当0=k 时，显然不成立。

当0≠k 时，

221122223333x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，两式做差得012121212033()1x y y x x x x y y y k -+===--+，①

由点00(,)M x y 在直线:4l y x m =+上，得004

y kx =+②由①②解得001,3x y k =-

=，由题意得，222200001033

或y y x x ->-<，即22

1

1

(31()30或k k -->--<所以1133002233

，　，或k k k k -<<<<><-。故实数k 的取值范围是3113()(0)(0(0) ，　　，　，　)，　-∞-

-。三、抛物线中的对称问题

例3：已知抛物线2

:C y x =上存在关于直线:1(1)l y k x -=-对称的两点B A 、，求实数k 的取值范围。解法一：利用韦达定理及判别式求解

显然0≠k ，由l AB ⊥，可设直线AB 的方程为1y x t k

=-

+（垂直），代入曲线方程，得2222(2)0x kt k x k t -++=，

所以2222(2)40kt k k t ∆=+->（存在），

即240kt k +>①。

设AB 中点为00(,)M x y ，由韦达定理得

222000211,()2222

kt k k k k x kt y x t kt t k k +==+=-+=-++=-，又因为点00(,)M x y ，在直线:1(1)l y k x -=-上（平分），所以2

1(1)22

k k k kt --=+-，得21122k t k k =--②。将②代入①式22114()022

k k k k k --+>，整理得3224(2)[(1)1]0k k k k k k

-+--+-+=>，解得20.

k -<<故实数k 的取值范围是(2,0)-。

解法二：点差法

显然0≠k ，设B A 、两点坐标为1122(,),(,)x y x y ，

211222

y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式相减得121212()()y y y y x x +-=-所以1212

1211y y x x y y k -==--+，设AB 的中点为00(,)M x y ，则12022y y k y +=

=-，又因为点在直线l 上，

所以00:1(1)l y k x -=-，得0122k x =-。

因为点00(,)M x y 在抛物线的内部，

所以200y x <，即211()22k

k

-<-，解得20.k -<<故实数k 的取值范围是(2,0)-。

两种方法相比而言，判别式法计算量更大一些，在抛物线中还出现了三次不等式，对学生的计算能力要求较高。点差法涉及点与曲线的位置关系，椭圆和抛物线都要求中点在曲线的内部，双曲线可以在内部也可以在外部的某部分，是我们在解题时要格外注意的。