2023年数学湖北高考试卷

一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的

1. 已知集合 , 则 

A. 

B. 

C. 

D. 

2. 已知 , 则 

A. 

B. 

C. 0

D. 1

3. 已知向量 . 若 , 则

A. 

B. 

C. 

D. 

4. 设函数  在区间  单调递减, 则  的取值范围是

A. 

B. 

C. 

D. 

5. 设椭圆  的离心率分别为 . 若 , 则 

A. 

B. 

C. 

D. 

6. 过点  与圆  相切的两条直线的夹角为 , 则 

A. 1

B. 

C. 

D. 

7. 记  为数列  的前  项和, 设甲:  为等差数列; 乙:  为等差数列, 则

A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件

B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件

C. 甲是乙的充要条件

D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8. 已知 , 则 

A. 

B. 

C. 

D. 

二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分

9. 有一组样本数据 , 其中  是最小值,  是最大值, 则

A.  的平均数等于  的平均数

B.  的中位数等于  的中位数

C.  的标准差不小于  的标准差

D.  的极差不大于  的极差

10. 噪声污染问题越来越受到重视, 用声压级来度量声音的强弱, 定义声压级  , 其中常数  是听觉下限阑值,  是实际声压. 下表为不同声源 的声压级:

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车  处测得实际声压分别为 , 则

A. 

B. 

C. 

D. 

11. 已知函数  的定义域为 , 则

A. 

B. 

C.  是偶函数

D.  为  的极小值点

12. 下列物体中, 能够被整体放入核长为 1 (単位:  ) 的正方体容器 (容器壁厚度忽略不 计)内的有

A. 直径为  的球体

B. 所有棱长均为  的四面体

C. 底面直径为 , 高为  的圆柱体

D. 底面直径为 , 高为  的圆柱体

三、填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.

13. 某学校开设了 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课, 学生需从这 8 门课中选修 2 门或 3 门课, 并且每类选修课至少选修 1 门, 则不同的选课方案共有 种            (用数字作答).

14. 在正四棱台  中, , 则该棱台的体积为             

15. 已知函数  在区间  有且仅有 3 个零点, 则  的取值范围是             

16. 已知双曲线  的左、右焦点分别为 . 点  在  上. 点  在  轴上, , 则  的离心率为           

四、解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知在  中, .

(1) 求 ;

（2）设 , 求  边上的高.

18. 如图, 在正四棱杜  中, . 点  分别在棱  上, , .

(1) 证明: ;

（2） 点  在棱  上, 当二面角  为  时, 求.

19. 已知函数 .

(1) 讨论  的単调性;

（2）证明: 当  时, .

20. 设等差数列  的公差为 , 且 , 令 , 记  分别为数列 ,  的前  项和.

(1) 若 , 求  的通项公式;

( 2 ) 若  为等差数列, 且 , 求 .

21. 甲乙两人投篮, 每次由其中一人投篮, 规则如下: 若命中则此人继续投篮, 若末命中则 换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何, 甲每次投篮的命中率均为 0.6 , 乙每次投篮的 命中率均为 0.8 , 由抽签决定第一次投篮的人选, 第一次投篮的人是甲, 乙的概率各为 0.5 .

( 1 ) 求第 2 次投篮的人是乙的概率;

( 2 ) 求第  次投篮的人是甲的概率;

( 3 ) 已知: 若随机变量  服从两点分布, 且  , 则 , 记前  次 (即从第 1 次到第  次投篮) 中甲 投篮的次数为 , 求 .

22. 在直角坐标系  中, 点  到  轴的距离等于点  到点  的距离, 记动点  的轨迹为 .

(1) 求  的方程;

( 2 ) 已知矩形  有三个顶点在  上, 证明: 矩形  的周长大于 .