中学科学教育概论

中学科学教育概论

-----自然对数不只是大自然的选择

    系别：物理系

                               专业：科学教育

                               班级：094

                               成员：武生君 刘文涛 赵 娣

自然对数不只是大自然的选择

内容摘要

自然对数，不仅是数学界的偏爱，同样也令其他学科钟情。归根到底，它的出现、应用都是来源于人们生产生活的需要，它的出现是一种必然。在数学上，人们发现，只有“对数运算”才最简洁，而用其他数字做底，形式会复杂很多。从这个意义上讲，e作为自然对数的底是自然的选择。当然，自然对数也不仅仅局限于此，他在生活中的运用也是不可替代的。在木桩上将绳索绕几圈就能将一条大船牢牢地拴在岸边，这到底是一种偶然还是一个无法解释的必然呢？实际上，答案神秘而又清晰。一个小小的自然对数能让许多看似不可思议的东西变成理所当然的现实，这不是巧合，而是一种规律，一种人们可以认识、把握的自然规律----自然对数。

关键词

 自然对数  自然的选择  e

序 言

使数学脱离科学的实际需要，就好比把母牛关起来，不让他=它接触公牛，其结果是没有成果

                                                                ----切比雪夫

e不但在数学的王国里漫游，而且也受到了其他学科的百般钟爱。今天，我们来看看在数学以外的各个领域，e是如何科学的“谈情说爱”的吧。

工人们停止了锤击，两旁支撑船身的支持物已经移开，船要下水了……

呜……一声长鸣，缆绳已经解开，“特拉波科罗”号摇摆着滑了下去，所有的目光都注视着这艘华丽的大船。

突然，只听一阵惊呼，一艘快艇要从“特拉波科罗”号下水的船务前进港了。

在这两艘船将要相撞的紧急关头，突然出现一个人，他的胳膊像起重机，在不到一分钟的时间内，把系在“特拉波科罗”号前部的缆绳的另一端……大约有十秒钟……最后，缆绳断了。

然而，十秒钟的时间已经足够，“特拉波科罗”号下水以后，只轻轻地擦过快艇就向前驶去。

这位是快艇脱险的“大力士”就是马蒂夫。

以上的这个故事，是著名科幻作家儒勒•丹尔纳在小说《马蒂斯•桑多尔夫》中讲的。

“力拔山兮气盖世”，许多人都相当项羽和马蒂斯这样的大力士。但是绝大多数人都不能如愿以偿。于是，人们常用杠杆、动滑轮、鞋面、螺旋、水压机等等这些“力的放大器”来圆这“大力士”的梦。把小力变为大力。

用尼龙绳来打结，是不容易打牢固的；晾衣物的绳子有时会自己松脱；打包裹是你会看到棱角处比其他部位勒得更深；船员或者渔民系船的时候，会在缆绳桩上多绕几圈；有的传功皮带要扭成“8”字形……

这些现象的原因是什么？

在这里，将会分析一种“力的放大器”，实现你的“大力士”梦，并解释上述现象。

武生君 刘文涛 赵  娣

正文：

自然对数不只是大自然的选择

一、为什么数学家要用e作对数的底？以e作底的对数为什么叫做自然那对数呢？

我们知道，自然界的一切事物都有一定的因果关系。数学和其他自然学科一样，它的发生、发展和成熟归根结底决定于人类各种活动的需要。

下面我们来举几个例子。

（1）我们用y=loga x（a≠1且a>0）求导来说明e作底不是因为人们对e的偏爱，而是“对数运算”必然结果。

当时，，由于

所以，

      ①

如果不用e作底，而以另一个数（例如b）作底，则  ②

②式明显比①式复杂，从上面的例子我们可以发现只有用e作底才会更简洁，而用其他数作底，形势会复杂些。所以说是自然选择了e作为自然对数的底。

（2）英国数学家奥特雷德是自然对数的发明者，当然，他的符号时“log”，此后，人们才开始自觉地用e作底。也许是由于纳皮尔对数的底是1/e，或者为了纪念他发明了对数，所以有时人们称自然对数为“纳皮尔对数”。

如果么没有前面的 y=loga x中的a=e，   y=loga x就变成  ，显然， 。这就是说，如果就有，而且只有Lnx的导数才是，因为代数函数求导不可能得到，也就是说，不可能得到微分为的形式。当然，也可以把写成微分的形式。于是有，，这说明一个分式的分子是分母的微分，这个分式的积分就是分母以e为底的对数。

简单形式：.

反应自然界的现象有种种函数关系，而要确立变量之间的函数关系，往往又要确立函数的导数或者微分的关系式――微分方程。从而求解这种方程，得出函数关系。如果求解过程中存在的项，那么显然积分以后就会出现e为底的对数。而且反应自然界规律的函数关系，如果是以指数形式或者对属性是出现的话，必定是、而且只能是以e为底的，而不会有其他正数为底的指数或对数出现。当然，这并不包括一些不严格的经验公式，也正因如此，以e为底的对数叫做“自然对数”――反映自然规律的对数。

总之，以e为底是微积分运算的必然结果，又因为反映自然规律的指数形式或者对数形式的函数关系必定是以e为底，所以选择用e作底的对数就叫自然对数（例如：双曲线下的面积）。

在我们的日常生活中也不难找到相关的实例。

长距离通讯中，例如光纤通讯。有时觉得级差单位用贝尔（B）大了些，用分贝（dB）就小了些，于是就用“奈培”（Np）做级差的单位。

Np是e为底的级差数乘以1/2，它是以纳皮尔的姓氏来命名的。（1Np=8.686db）

设两个物理量，dB和Np的换算关系就是：

式中0.4343由lge得来，而Np与dB的换算因子就是1/8.686≈0.115.

二、你也可以当大力士----缆绳靠e系住船。舟将绳索在木桩上绕几圈，就能使绳子的另一端受大极大的拉力，例如拴住一头牛，只要用很小的力拽住绳的另一端，就可以将绳索固定的很牢固，原因在哪里呢？如下图所示，绳索与圆柱体在弧段上接触且无相对滑动，对应的圆心角θ称为“包角”。

参考文献

[1] 陈仁政.不可思议的e. 北京：科学出版社，2005.

[2] 漆安慎，杜婵英.力学.北京：高等教育出版社，2009.

后记

我们物理系的系主任闫元红老师为了培养我们的探索与合作的能力，于2011年9月26日布置了一个作业，要求我们通过互助合作的方式共同探讨关于的“STS”的科学含义。限于水平和资料，我们一时觉得无从下手，后来经过我们多次的讨论以及查阅，并在彼此的鼓励与相互的合作下，终于完成了这部对我们而言的“开山之作”。

本文的完成离不开老师的指导以及所有成员的努力配合，同时本文中多出引用了其他老师的文献，在此向所有付出努力的老师以及同学们表示衷心的感谢。

限于作者水平，文中不妥、谬误之处诚请斧正。

                                                         武生君 刘文涛 赵  娣

                                                         2011  年 12 月  1 日