高一数学空间几何练习题

一、单选题（共20题；共40分）

1.（2018高二上·临汾月考）正方形ABCD的边长为1cm，是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的面积为( )

A. √2

4

cm2 B. 1cm2 C. 2√2cm2 D. 4cm2

2.已知空间4个球，它们的半径均为2，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为（）

A. √6−2

B. √6−√2

C. √10−3

D. 2√2−2

3.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（）

A. 1：2：3

B. 1：3：5

C. 1：2：4

D. 1：3：9

4.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为π，则球的表面积为（）

A. 8√2π

B. 8π

C. 4√2π

D. 4π

5.（2019·荆门模拟）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

A. B. C. D.

6.轴截面为正三角形的圆锥称为等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的（）倍．

A. 4

B. 3

C. 2

D. √2

7.已知一个正三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等，底面边长为2，则该三棱锥的外接球的表面积是（）

A. 6π

B. 12π

C. 18π

D. 24π

8.下列结论正确的是（）

A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥

D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

9.（2016高二上·金华期中）如图是正六棱柱的三视图，其中画法正确的是（）

A. B. C. D.

10.（2015高一下·厦门期中）在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若使该三角形绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）

A. 3π

2

B. 5π

2

C. 7π

2

D. 9π

2

11.（2018·湖北模拟）已知正三棱锥S−ABC的顶点均在球O的球面上，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示，已知三棱锥的体积为2√3，则球O的表面积为( )

A. 16π

B. 18π

C. 24π

D. 32π

12.如图是水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，A′B′=A′C′，则△ABC是（）

A. 等边三角形

B. 直角三角形

C. 等腰三角形

D. 等腰直角三角形

13.一个长方体截去两个三棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的三视图为（）

A. B. C. D.

14.球的表面积扩大到原来的2倍，则球的半径扩大到原来的倍，球的体积扩大到原来的倍.（）

A. √2、2√2

B. √2、√2

C. 2、2√2

D. √2、2

15.已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为√2，体积为4

3

，则此棱锥的内切球与外接球的半径之比为（）

A. 1：2

B. 2：5

C. 1：3

D. 4：5

16.（2018高一上·广东期末）已知棱长为√3的正方体ABCD−A1B1C1D1内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线AC1为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（）

A. 3√2π

B. 2√3π

C. 9√2π

4

D. 9√2π

8

17.（2019高一上·吉林月考）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为l尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸）（）

A. 3寸

B. 4寸

C. 5寸

D. 6寸

18.（2020·漳州模拟）已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为1，高为2，M为B1C1的中点，过M作平面α，使得平面α//平面A1BD，若平面α把ABC−A1B1C1分成的两个几何体中，体积较小的几何体的体积为（）

A. 1

48B. 1

24

C. 1

12

D. 1

8

19.（2019高二下·蕉岭月考）已知四棱锥，它的底面是边长为2的正方形，其俯视图如图所示，侧视图为直角三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为（）

A. 8π

B. 12π

C. 4π

D. 16π

20.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）

A. 2+

B.

C.

D. 1+

二、填空题（共12题；共13分）

21.（2019高二下·上海月考）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为________

22.（2019高一下·淮安期末）一个长方体的三个面的面积分别是√2，√3，√6，则这个长方体的体积为________.

23.（2018高二上·万州月考）已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A出发，沿第三棱柱的侧面绕行一周到达点A1的最短路线的长为________ cm．

24.（2016高二上·云龙期中）已知圆锥的底面半径为2cm，高为1cm，则圆锥的侧面积是________ cm2．

25.（2017高一下·长春期末）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径。若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________。26.（2017高三上·赣州期末）如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，则该几何体的体积为

________．

27.在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体外接球的表面积是________．

28.（2017·葫芦岛模拟）已知空间四边形ABCD中，AB=BD=AD=2，BC=1，CD= √3，若二面角A﹣BD﹣C的取值范围为[ π

4

，2π

3

]，则该几何体的外接球表面积的取值范围为________．

29.正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为2√6，则这个球的表面积为________

30.（2019高二下·上海月考）已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达A1点的最短路线的长为________

31.（2019高二上·南湖期中）如图所示为某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为________，体积为________.

32.（2017·盐城模拟）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，点P，Q分别为棱CC1，BC的中点，则四面体A1﹣B1PQ的体积为________．

三、解答题（共18题；共170分）

33.（2018高二上·万州月考）如图是一个空间几何体的三视图，其正视图与侧视图是边长为4cm的正三角形、俯视图中正方形的边长为4cm，

（1）画出这个几何体的直观图（不用写作图步骤）；

（2）请写出这个几何体的名称，并指出它的高是多少；

（3）求出这个几何体的表面积。

34.用小立方体搭成一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？

35.根据下面对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.

（1）由8个面围成，其中2个面是互相平行且全等的六边形，其他各面都是平行四边形.

（2）由5个面围成，其中一个是正方形，其他各面都是有1个公共顶点的三角形.

36.（2018高二上·万州月考）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E,F分别在AD,CD上，AE=CF,EF交BD于点H，将ΔDEF沿EF折起到ΔD′EF的位置.

（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；

（Ⅱ)若AB=5,AC=6,AE=5

4

,OD′=2√2，求五棱锥D′−ABCFE的体积.

37.已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，试画出该几何体.

38.（2016高二上·嘉兴期中）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为a，E是棱DD1的中点（1）求三棱锥E﹣A1B1B的体积；

（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．

39.画出经过PQR的正方体的截面

40.在△ABC中，若AC=3，BC=4，AB=5，以AB为轴将三角形旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积与体积．

41.（2016高二上·武城期中）如图△ABC中，AC=BC= √2

2

AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．

（1）求证：GF∥平面ABC；

（2）求证：平面EBC⊥平面ACD；

（3）求几何体ADEBC的体积V．

42.（2017高三下·武邑期中）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱BB1⊥底面A1B1C1，D为AC 的中点，A1B1=BB1=2，A1C1=BC1，∠A1C1B=60°．

（Ⅰ）求证：AB1∥平面BDC1；

（Ⅱ）求多面体A1B1C1DBA的体积．

43.（2017高二下·中原期末）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱DD1、C1D1的中点．（Ⅰ）证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；

（Ⅱ）证明：B1F∥平面A1BE；

（Ⅲ）若正方体棱长为1，求四面体A1﹣B1BE的体积．

44.（2018高一上·阜城月考）如图，在直角梯形ABCD中，∠B=900，DC//AB，BC=CD=1

2

AB=2，G 为线段AB的中点，将ΔADG沿GD折起，使平面ADG⊥平面BCDG，得到几何体A−BCDG.

（1）若E,F分别为线段AC,AD的中点，求证：EF//平面ABG；

（2）求证：AG⊥平面BCDG；

（3）求V C−ABD的值.

45.（2016高一下·武邑期中）如图四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=4，BC=5，图中阴影部分（梯形剪去一个扇形）绕AB旋转一周形成一个旋转体．

（1）求该旋转体的表面积；

（2）求该旋转体的体积．

46.（2019高一上·吉林月考）一个圆锥底面半径为R，高为√3R，

（1）求圆锥的表面积.

（2）求圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值．

47.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1=2，A1A=4，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：

（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE；

（3）若B1C1=2，求三棱锥F﹣ADE的体积．

48.如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE，且点F在CE 上．

（1）求证：AE⊥BE；

（2）求三棱锥D−AEC的体积；

（3）设点M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．49.（2017·长宁模拟）已知图一是四面体ABCD的三视图，E是AB的中点，F是CD的中点．

（1）求四面体ABCD的体积；

（2）求EF与平面ABC所成的角．

50.正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为a，连接A'C'，A'D，A'B，BD，BC'，C'D，得到一个三棱锥A'﹣BC'D．求：

（1）求异面直线A'D与C'D′所成的角；

（2）三棱锥A'﹣BC'D的体积．

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】A

10.【答案】A

11.【答案】A

12.【答案】B

13.【答案】C

14.【答案】A

15.【答案】B

16.【答案】D

17.【答案】A

18.【答案】B

19.【答案】A

20.【答案】A

二、填空题

21.【答案】√3

3

π

22.【答案】√6

23.【答案】√61

24.【答案】2 √5π

25.【答案】36π

26.【答案】8

3

27.【答案】40

3

π

28.【答案】[ 28π

3，76π

3

]

29.【答案】36π

30.【答案】√73

31.【答案】2√3； 8

3

32.【答案】√3

2

三、解答题

33.【答案】（1）解：如图：（2）解：正四棱锥

高为2√3

（3）解：表面积为48cm2

34.【答案】解:由于正视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块，即最多要17块.

而搭建这样的几何体用小立方体个数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块，即最少要11块.

35.【答案】（1）解：根据棱柱的结构特征可知，该几何体为六棱柱

（2）解：根据棱锥的结构特征可知，该几何体为四棱锥.

36.【答案】解：（Ⅰ）由已知得，AC⊥BD,AD=CD，

又由AE=CF得AE

AD

=CF

CD

，故AC//EF，

由此得EF⊥HD,EF⊥HD′，所以AC⊥HD′．

（Ⅱ）由EF//AC得OH

DO

=AE

AD

=1

4

，

由AB=5,AC=6得DO=BO=√AB2−AO2=4，

所以OH=1,D′H=DH=3，

于是OD′2+OH=(2√2)2+12=9=D′H2，故OD′⊥OH，

由（1）知AC⊥HD′，又AC⊥BD,BD∩HD′=H，

所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′，

又由OD′⊥OH,AC∩OH=O，所以，OD′⊥平面ABC．

又由EF

AC

=DH

DO

得EF=9

2

．

五边形ABCFE的面积S=1

2

×6×8−1

2

×9

2

×3=69

4

．

所以五棱锥D′−ABCEF体积V=1

3

×69

4

×2√2=23√2

2

37.【答案】解:由三视图可知该几何体是一个长、宽、高分别为6，3，6的长方体在一顶角上去掉一个侧棱长分别为4，3，4的三棱锥的多面体，如图：

38.【答案】（1）解：

（2）解：存在．

取C1D1中点F，连B1F，EF，C1D，连B1A交A1B于O，

∵EF是△D1C1D的中位线∴，

因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1

所以

又因为四边形B1ADC1是平行四边形，

所以B1A∥C1D，B1A=C1D

所以B1O∥EF，B1O=EF，

所以四边形B1OEF是平行四边形，

所以B1F∥OE，

所以B1F∥平面A1BE．

39.【答案】解：对于图（1），分别延长PQ和AD的交于点E，延长PR和AB交于点F，连接EF，交CD，BC于M，K，再连MQ，MK，KR，所得的截面为五边形PQMKR；对于图（2），由面面平行的性质定理可得截面与相对的两个平面的交线平行，即可作出如图所示的截面为六边形PMQNRK．

40.【答案】解：∵在三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，∴三角形ABC为直角三角形，如图以斜边AB为轴旋转一周，得旋转体是以AB边的高CO为底面半径的两个圆锥组成的组合体

∵AC=3，BC=4，AB=5，

∴CO= = ，

故此旋转体的体积V= •πr2•h= •π•CO2•AB= …6分

又∵AC=3，BC=4，

故此旋转体的表面积S=πr•（l+l′）=2πCO•（AC+BC）= ．

41.【答案】（1）证明：如图，取BE的中点H，连接HF，GH．

∵G，F分别是EC和BD的中点，

∴HG∥BC，HF∥DE．

又∵四边形ADEB为正方形，

∴DE∥AB，从而HF∥AB．

∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC．

∴平面HGF∥平面ABC．

∴GF∥平面ABC

（2）证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB．

又∵平面ABED⊥平面ABC，

∴BE⊥平面ABC．

∴BE⊥AC．

又∵CA2+CB2=AB2，∴AC⊥BC．

∴AC⊥平面BCE．

从而平面EBC⊥平面ACD

（3）解：取AB的中点N，连接CN，∵AC=BC，

∴CN⊥AB，且CN= AB= a．

又平面ABED⊥平面ABC，

∴CN⊥平面ABED．

∵C﹣ABED是四棱锥，

∴V C﹣ABED= S ABED•CN= a2• a= a3．

42.【答案】（Ⅰ）证明：连B1C交BC1于O，连接OD，在△CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，∴OD∥AB1，而AB1⊄平面BDC1，OD⊂平面BDC1，∴AB1∥平面BDC1；

（Ⅱ）解：连接A1B，作BC的中点E，连接DE，

∵A1C1=BC1，∠A1C1B=60°，

∴△A1C1B为等边三角形，

∵侧棱BB1⊥底面A1B1C1，

∴BB1⊥A1B1，BB1⊥B1C1，

∴A1C1=BC1=A1B=2 ，

∴B1C1=2，

∴A1C12=B1C12+A1B12，

∴∠A1B1C1=90°，∴A1B1⊥B1C1，

∴A1B1⊥平面B1C1CB，

∵DE∥AB∥A1B1，

∴DE⊥平面B1C1CB，

∴DE是三棱锥D﹣BCC1的高，

∴= = ，

∴多面体A1B1C1DBA的体积V= ﹣=（）×2﹣= ．

43.【答案】（Ⅰ）证明：∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，∴B1C1⊥平面ABB1A1；

∵A1B⊂平面ABB1A1，

∴B1C1⊥A1B．又∵A1B⊥AB1，B1C1∩AB1=B1，

∴A1B⊥平面ADC1B1，

∵A1B⊂平面A1BE，

∴平面ADC1B1⊥平面A1BE；

（Ⅱ）证明：连接EF，EF∥，且EF= ，

设AB1∩A1B=O，

则B1O∥C1D，且，

∴EF∥B1O，且EF=B1O，

∴四边形B1OEF为平行四边形．

∴B1F∥OE．

又∵B1F⊄平面A1BE，OE⊂平面A1BE，

∴B1F∥平面A1BE，

（Ⅲ）解：= = = = ．

44.【答案】（1）证明：∵折叠前后CD、BG位置关系不改变，

∴CD∥BG．

∵ E、F分别为线段AC、BD的中点，

∴EF∥CD，

∴ EF∥BG．

又EF ⊄平面ABG，BG⊂平面ABG，

∴EF∥平面ABG．

（2）证明：∵将△ADG沿GD折起后，AG、GD位置关系不改变，

∴AG⊥GD，

又平面ADG⊥平面BCDG，平面ADG∩平面BCDG＝GD，AG⊂平面AGD，∴ AG⊥平面BCDG

（3）由已知得BC＝CD＝AG＝2，

又由(2)得AG⊥平面BCDG，

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∴点A 到平面BCDG 的距离AG ＝2，

∴ V C －ABD =V A －BCD =1

3⋅S ΔBCD ·AG =1

3×(1

2×2×2)×2=4

3

45.【答案】 （1）解：旋转后的几何体是一个圆台从上面挖去一个半球，圆台的上下底面半径分别 为2，5高为4，半球半径为2． 圆台的母线长为CD= =5．

∴

，S 圆台侧=π×（2+5）×5=35π，

，

∴旋转体的表面积为S 表=8π+35π+25π=68π．

（2）解：V 圆台= （4π+25π+10π）•4=52π，

，

∴旋转体的体积为

．

46.【答案】 （1）解：由题意可知，圆锥的母线长为 l =√R 2+(√3R)2=2R ， 所以，该圆锥的表面积为 S =πR(R +l)=3πR 2

（2）解：如下图所示，设正四棱柱的底面对角线的一半为 x ， ∵ΔPBC ∼ΔPAO ， ∴BC

AO =PC

PO ，即

x R

=

√3R−OC

√3R

，解得 OC =√3(R −x) ，

正四棱柱的底面是一个正方形，其底边长为 √2x ，底面积为 2x 2 ，

所以，四棱柱的底面积为 S =2×2x 2+4×√2x ×√3(R −x)=(4−4√6)x 2+4√6Rx ， 由二次函数的基本性质可知，当 x =√6R 8(

√6−1)

=√6R

2(

√6−1)

时，

正四棱柱的表面积 S 有最大值，即 S max =

6(√6+1)R 2

5

47.【答案】（1）证明：∵ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱，∴CC 1⊥平面ABC ， 又AD ⊂平面ABC ，∴CC 1⊥AD ． 又∵AD ⊥DE ，CC 1 ， DE ⊂平面BCC 1B 1 ， CC 1∩DE=E ， ∴AD ⊥平面BCC 1B 1 ． 又AD ⊂平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面BCC 1B 1；

（2）证明：∵A 1B 1=A 1C 1 ， F 为B 1C 1的中点，∴A 1F ⊥B 1C 1 ． ∵CC 1⊥平面A 1B 1C 1 ， 且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1 ， ∴CC 1⊥A 1F ．

又∵CC 1 ， B 1C 1⊂平面BCC 1B 1 ， CC 1∩B 1C 1=C 1 ， ∴A 1F ⊥平面BCC 1B 1 ．

由（1）知AD ⊥平面BCC 1B 1 ， ∴A 1F ∥AD ． 又AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ，∴A 1F ∥平面ADE ；

（3）解：∵A 1B 1=A 1C 1=B 1C 1=2，∴AD= ， 又A 1A=4，∴ ，

∴

．

48.【答案】（1）证明：由 AD ⊥ 平面 ABE ， 及 AD ∥BC 得 BC ⊥ 平面 ABE ，则 AE ⊥BC ， 而 BF ⊥ 平面 ACE ，则 BF ⊥AE ，

又 BC ∩

BF =B ，则 AE ⊥ 平面 BCE ，

又 BE ⊂ 平面 BCE ，故 AE ⊥BE ．

（2）解：在 △ABE 中，过点 E 作 EH ⊥AB 于点 H ，则 EH ⊥ 平面 ACD ． 由已知及（ 1 ）得 EH =1

2AB =√2 ， S △ADC =2√2 ． 故 V D−ABC =V E−ADC =1

3×2√2×√2=4

3

（3）解：在 △ABE 中过点 M 作 MG ∥AE 交 BE 于点 G ，

在 △BEC 中过点 G 作 GN ∥BC 交 BC 于点 N ，连接 MN ， 则由 CN

CE =BG

BE =

MB AB

=13

得 CN =1

3

CE ，

∵MG ∥AE ，MG ⊄平面 ADE ， AE ⊂ 平面 ADE ，

则 MG ∥ 平面 ADE ，再由 GH ∥BC ， BC ∥AD 得 GN ∥ 平面 ADE ， 又 MN ⊂ 平面 MGN ，则 MN ∥ 平面 ADE ，

故当点 N 为线段 CE 上靠近点 C 的一个三等分点时， MN ∥ 平面 ADE 49.【答案】（1）解：由三视图可知AD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ， AD=1，CD=BD=2， ∴四面体ABCD 的体积V=

=

=

（2）解：∵E 是AB

的中点，F 是CD 的中点，

∴V E﹣BCF= = = ．

由勾股定理得AB=AC= ，BC=2 ，∴△ABC的BC边上的高为= ，

∴S△ABC= = ，∴S△BCE= S△ABC= ，

设F到平面ABC的距离为h，则V F﹣BCE= = ，

又V E﹣BCF=V F﹣BCE，∴= ，解得h= ．

连结DE，则DE= AB= ，∴EF= = ，

设EF与平面ABC所成的角为θ，则sinθ= = ．

∴EF与平面ABC所成的角为arcsin

50.【答案】（1）解：∵正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为a，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z 轴，建立空间直角坐标系，

A′（a，0，a），D（0，0，0），C′（0，a，a），B（a，a，0），D′（0，0，a），

=（﹣a，0，﹣a），=（0，﹣a，0），

设异面直线A'D与C'D′所成的角为θ，

则cosθ==0，

∴θ=90°，

∴异面直线A'D与C'D′所成的角为90°．

（2）解：=（a，a，0），=（0，a，a），=（a，0，a），设平面BC'D的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，1），

点A到平面BC'D的距离d= = = ，

= = ，∴三棱锥A'﹣BC'D的体积V= ×d= = a3．

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