2020高考—圆锥曲线(解答+答案)

1.(20全国Ⅰ文21)（12分）

已知A 、B 分别为椭圆E ：2

221x y a

+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；

（2）证明：直线CD 过定点.

2.(20全国Ⅰ理20)（12分）

已知A 、B 分别为椭圆E ：2

221x y a

+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；

（2）证明：直线CD 过定点.

3.（20全国Ⅱ文19）(12 分)

已知椭圆C 1：22

221x y a b

+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43

|AB |．

（1）求C 1的离心率；

（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．

4.（20全国Ⅱ理19）（12分）

已知椭圆C 1：22

221x y a b

+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43

|AB |． （1）求C 1的离心率；

（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．

5.（20全国Ⅲ文21）（12分）

已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；

（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．

6.（20全国Ⅲ理20）（12分）

已知椭圆22

2:1(05)25x y C m m

+=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；

（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．

7.（20新高考Ⅰ22）（12分）

已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2

，且过点A （2，1）． （1）求C 的方程：

（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．

8.(20天津18)（本小题满分15分） 已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．

9.(20浙江21)（本题满分15分）

如图，已知椭圆2

21:12

x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若116

p =，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．

10.（20江苏18）（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22

:143

x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A

在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．

（1）求12AF F △的周长；

（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；

（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．

11.(20北京20)（本小题15分） 已知椭圆22

22:1x y C a b

+=过点(2,1)A --，且2a b =． （Ⅰ）求椭圆C 的方程：

（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求

||||

PB BQ 的值．

参：

1．解：（1）由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -．

则(,1)AG a =，(,1)GB a =-．由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =．

所以E 的方程为2

219

x y +=． （2）设1122(,),(,),(6,)C x y D x y P t ．

若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<．

由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以11(3)9

t y x =+． 直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以22(3)3

t y x =-． 可得12213(3)(3)y x y x -=+． 由于222219

x y +=，故22

22(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0m y y m n y y n ++++++=．①

将x my n =+代入2219

x y +=得222(9)290m y mny n +++-=． 所以212122229,99

mn n y y y y m m -+=-=-++． 代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0m n m n mn n m +--++++=． 解得3n =-（舍去），32

n =． 故直线CD 的方程为32x my =+

，即直线CD 过定点3(,0)2． 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3(,0)2

． 综上，直线CD 过定点3(,0)2

．

2．解：（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.

则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.

所以E 的方程为29

x +y 2

=1．

（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.

若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3

t

（x 2–3）.

可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.

由于2

2

2219

x y +=，故22

22(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①

将x my n =+代入2

219x

y +=得222(9)290.m y mny n +++-=

所以12229mn y y m +=-+，21229

9

n y y m -=+．

代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =3

2

.

故直线CD 的方程为3=2x my +

，即直线CD 过定点（3

2

，0）． 若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（3

2，0）.

综上，直线CD 过定点（3

2

，0）.

3．解：（1）由已知可设2C 的方程为2

4y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2

b a -；,C D 的纵坐标

分别为2c ，2c -，故2

2||b AB a

=，||4CD c =.

由4||||3CD AB =得2

843b c a

=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.

所以1C 的离心率为

12

.

（2）由（1）知2a c =，b =，故22

122:143x y C c c

+=，所以1C 的四个顶点坐标分

别为(2,0)c ，(2,0)c -，)，(0,)，2C 的准线为x c =-. 由已知得312c c c c +++=，即2c =.

所以1C 的标准方程为22

11612

x y +=，2C 的标准方程为28y x =.

4．解：（1）由已知可设2C 的方程为2

4y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2

b a -；,C D 的纵坐标

分别为2c ，2c -，故2

2||b AB a

=，||4CD c =.

由4||||3CD AB =得2

843b c a

=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.

所以1C 的离心率为

1

2

.

（2）由（1）知2a c =，b =，故22

122:143x y C c c

+=，

设00(,)M x y ，则220022143x y c c +=，2

004y cx =，故20024143x x c c

+=.①

由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而||5MF =，故05x c =-，代入①得

22

(5)4(5)

143c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627

x y +=，2C 的标准方程为212y x =.

5．解：（1）由题设可得54

=

，得2

2516m =，

所以C 的方程为22

1

252516

x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >， 由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Q

y x y =-

-

，所以||BP y =

，

||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.

所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -

.

11

||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ

，故11APQ △

的面积为

15

22

=

. 22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q

的距离为26

，故22AP Q △

的面积为

15

2262

⨯=. 综上，APQ △的面积为52

.

6．解：（1

）由题设可得54

=

，得2

2516m =， 所以C 的方程为22

1

252516

x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，

由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Q

y x y =-

-，所以||BP y =，

||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.

所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.

11

||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ 的距离为2

，

故11APQ △的面积为

15

22

=.

22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q

故22AP Q △的面积为

15

22

=. 综上，APQ △的面积为52

.

7．解：（1）由题设得22411a b +=，222

1

2

a b a -=，解得26a =，23b =． 所以C 的方程为22

163

x y +

=． （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．

若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，

代入22

163

x y +

=得222(12)4260k x kmx m +++-=． 于是2121222

426

,1212km m x x x x k k -+=-=++．①

由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=， 可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++--++-+=．

将①代入上式可得22

222

2(1)(2)(1)401212m km

k km k m k k

-+---+-+=++．

整理得(231)(21)0k m k m +++-=．

因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310k m ++=，1k ≠． 于是MN 的方程为21

()(1)33

y k x k =--≠.

所以直线MN 过点21

(,)33

P -.

若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y -.

由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y --+---=.

又2211163x y +=，可得2113840x x -+=.解得12x =（舍去），123

x =. 此时直线MN 过点21

(,)33P -.

令Q 为AP 的中点，即41

(,)33

Q .

若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △

的斜边，故1||||2DQ AP ==

. 若D 与P 重合，则1

||||2

DQ AP =

. 综上，存在点41

(,)33

Q ，使得||DQ 为定值.

8．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由

2

2

2

a b c =+，可得2

18a =．所以，椭圆的方程为22

11

x y +

=． （Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组

223,

1,1

y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪

⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221k x k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫

- ⎪++⎝⎭

．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为

(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121k

k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭

．由3OC OF =，得点C 的坐标为

(1,0)，故直线CP 的斜率为223

0216121

k k k --+-+，即23

261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以

231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得1

2

k =，或1k =． 所以，直线AB 的方程为1

32

y x =-，或3y x =-．

9.（Ⅰ）由116

p =

得2C 的焦点坐标是1

(,0)32．

（Ⅱ）由题意可设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，点00(,)A x y ．

将直线l 的方程代入椭圆2

21:12x C y +=得222(2)220m y mty t +++-=，

所以点M 的纵坐标22

M mt

y m =-+．

将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得2220y pmy pt --=，

所以02M y y pt =-，解得202(2)

p m y m

+=，

因此22

02

2(2)p m x m

+=． 由22

0012

x y +=得2421224()2()160m m p m m =+++≥，

所以当m

，t =时，p

．

10.解：（1）椭圆22

:143

x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，

则2224,3,1a b c ===.

所以12AF F △的周长为226a c +=. （2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，

则(,0),(4,)OP x QP x y ==--， 2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-

在2x =时取等号.

所以OP QP ⋅的最小值为4-.

（3）因为椭圆22

:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥， 则123(1,0),(1,0),(1,)2

F F A -. 所以直线:3430.AB x y -+= 设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯， 则34120x y -+=或3460x y --=. 由2234120,14

3x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解； 由223460,14

3x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-. 代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127

y =-

. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.

11.