圆锥曲线的第三定义

一、椭圆和双曲线的第三定义

1.椭圆

在椭圆中，A、B是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A、B的一点，若存在，则有：

证明：构造△PAB的PA边所对的中位线MO，，由点差法结论：知此结论成立。

2.双曲线

在双曲线中，A、B是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A、B的一点，若存在，则有：

证明：只需将椭圆中的全部换成就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。

二、与角度有关的问题

例题一：已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左右顶点，为椭圆与双曲线的一个交点，令，则.

解答：

令，由椭圆第三定义可知：

点评：

其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要很快的联想到第三定义，那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为正切。题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点☆。

变式1-1：（石室中学2015级高二下4月18日周末作业）

已知双曲线的左右顶点分别为A、B，P为双曲线右支一点，且，求.

解答：

令，，则，由双曲线的第三定义知：

则：

点评：

与例题1采取同样的思路转化角，但对于正切转换的要求较高。两锐角正切乘积为1即表示sinα=cosβ，cosα=sinβ两角互余☆，则可解出α的值。当然双曲线的题目较于椭圆和抛物线题目考试概率较小，但既然提到了双曲线的第三定义，不妨做一做。

三、与均值定理有关的问题

例题2：已知A、B是椭圆长轴的两个端点，M、N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM、BN的斜率分别为，且。若的最小值为1，则椭圆的离心率为.

解答一（第三定义+均值）：

由题意可作图如下：

连接MB，由椭圆的第三定义可知：，而

解答二（特殊值法）：

这道题由于表达式非常对称，则可直接猜特殊点求解。时可取最值，则M、N分别为短轴的两端点。此时：。

点评：

对于常规解法，合理利用M、N的对称关系是解题的关键，这样可以利用椭圆的第三定义将两者斜率的关系联系起来，既构造了“一正”，又构造了“二定”，利用均值定理“三相等”即可用a、b表示出最值1。当然将前的系数改为不相等的两个数，就不能利用特殊值法猜答案了，但常规解法相同，即变式2-1。

变式2-1：已知A、B是椭圆长轴的两个端点，M、N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM、BN的斜率分别为，且。若的最小值为1，则椭圆的离心率为.

解答：

连接MB，由椭圆的第三定义可知：，而

变式2-2：已知A、B是椭圆长轴的两个端点，若椭圆上存在Q，使，则椭圆的离心率的取值范围为.

解答一（正切+均值）：

令Q在x轴上方，则直线QA的倾斜角为，直线QB的倾斜角为。

，

由椭圆的第三定义：，则

带入可得：

（取等条件：，即Q为上顶点）

而tanx在单增，则Q为上顶点时，所以此时，故

解答二（极限法）：

当Q趋近于A、B两点时，（此时Q点所在的椭圆弧趋近于以AB为直径的圆的圆弧，相当于直径所对的圆周角）；当Q在A、B间运动时（Q在以AB为直径的圆内部，直径所对的圆周角=90°），由椭圆的对称性可猜测当Q为短轴端点时。

由于：椭圆上存在Q，使，那么Q为短轴端点时。

取临界情况，即Q为短轴端点时，此时；当椭圆趋于饱满（）时，椭圆趋近于圆，圆的直径所对的圆周角永远为90°，不满足；当椭圆趋于线段（）时，，满足。故。

当然这些只需要在头脑中一想而过，简洁而有逻辑。

点评：

这道题可以增加对于圆周角的理解，在用极限法讨论：“当Q趋近于A、B两点时，”时能会“”的认知，当然这肯定是错的，结合常规解法可以看出此时是角最小的情况，而不是角最大的情况。要搞清楚，不然会被弄晕的。对于常规解法选择正切表示角的大小的原因有二：①与第三定义发生联系②tanx在单增便于利用tanx的大小比较角度的大小。

四、总结归纳

1.上述部分题目的常规解法较复杂，但做题时一定要能猜答案，而且要猜得有理由。

2.对于均值不等式，注意取等条件是“三相等”，即相等时取最值。这可以帮助猜测表达形式是高度对称的式子的最值，如：例题2

3.极限法可以刻画出单调变化的某一变量的端点值，如：变式2-2中P在椭圆上滑动，角度的变化一定是光滑的（无突变，连续），所以只需考虑边界值。

4.做几何的选填题时，有时利用圆周角定理可以很快的找到最大角，注意学会恰当运用，如：变式2-2。

5.常以正切值刻画角度大小。

6.在做综合性较大的题目时要联系各种知识，灵活转化，以最巧妙的方法致胜。

7..

8..

五、方法链接

针对上文提到的“圆周角找最大角”与“椭圆中另一类均值”进行拓展补充，各附例题。

例题3：在平面直角坐标系XOY中，给定两点和，点P在X轴上移动，当取最大值时，点P的横坐标为.

解答一（正切+均值）：

已知：、，与x轴交于

令，则：，，

1当时，

2当时，的倾斜角较大，

令，则（）

此时，，

3当时，的倾斜角较大，

，则

（）

此时，，

由于，且在上单增，

，此时

解答二（圆周角定理）：

本题中的取极值时的P点的几何意义为：过M、N的圆与x轴切于P点。下面给出证明：

证明：以与x轴切于点的足所求最大角为例：

由于是过M、N两点的圆的一条弦，由垂径定理知圆心在上

随着圆心横坐标从0开始增大：当半径r较小时，圆与x轴无交点；当半径稍大一点时，圆与x轴相切，有一个交点；当半径更大一点时，圆与x轴有两交点、。

此时：根据圆周角定理：，可知：圆与x轴相切时，。

R较小的情况（圆与x轴相离）R较大的情况（圆与x轴相交于、）

所以：过M、N的圆与x轴切于、点时，分别有

只需比较与，哪一个更大。

令与x轴相切的圆的圆心为，则切点，半径为y

足：（消去y）

比较可知：当x=1时，

点评：

常规方法依旧是利用正切度量角的大小，但注意用倾斜角表示所求角时要用大角减去小角，才能得到正角；均值时要注意以分子（一次）为新元构建均值。用圆周角角的性质解答，只要转化为切点，解一个方程组，比较两个角谁大就行了。（不比较也行，画图可知右边角大于左边角：弦长相等，半径越大，弦所对的圆周角越小。）其实两种解法的难度是一样，只是一种要写得多，一种要想得多。☆

变式3-1：若G为△ABC的重心，且，则的最大值为.

解答一（余弦定理+均值）：

令，，，则由

由点间的距离公式：，，

由余弦定理：

由于：

解法二（圆周角定理）：

令，，，则

题目转化为：，，满足：，求的最大值。

目测可知时，，下面以来证明。

过，，作圆O：

若C不在点，令AC交圆O于Q点。由圆周角定理：证得

此时由余弦定理

点评：

可以说这道题与例题3有异曲同工之妙，直观感觉加上圆周角定理可以说是画几个圆就解出题了。其实余弦函数在单调，也可用来度量角的大小。

不过更值得一提的是两种方法以不同的方式，间接地表现了题中点的关系，设点的方式☆值得思考领悟。解法一照顾垂直结论，把重心放在原点，利用重心的坐标很好地刻画了C点的坐标；解法二联系圆的直径所对圆周角为直角表示垂直条件，以同样方式刻画C点的坐标。两种方式都完全的展现了题目中的关系。

例题4：（对椭圆用均值）：过椭圆上一点P引圆O：的两条切线PA、PB，其中A、B为切点，直线AB与x轴、y轴分别相交于M、N，则△OMN面积的最小值为.

解答：设，P点满足

在圆外，则圆的切点弦方程为：

点评：

解法巧妙，很难想到，权当欣赏。注意看到题目就要马上联想到圆的切点弦方程，当遇到面积表达式中含有时，可对椭圆进行均值，构造的范围。