五下数学 约分和通分 知识点总结+题型训练 带非常详细答案

板块一：知识点归纳：

1、公因数与最大公因数：

几个数共有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

2、求两个数的最大公因数的方法：

（1）短除法  如：求18和27的最大公因数（用短除法）

（2）分解质因数的方法：先将这两个数分解质因数，再从分解的质因数中找出这两个数共有的质因数，共有的质因数相乘就是这两个数的最大公因数。

如：27=3×3×3     36=3×3×4   ，则27和36的最大公因数是（    ）。

3、互质数的意义和判断方法：

公因数只有1的两个数叫做互质数。

注意：并不是两个质数才叫互质数，合数和合数也可能成为互质数，判断两个数是否是互质数，就要看他们是不是公因数只有1。

4、互质数的特殊情况：

（1）1和任何非0的自然数都是互质数

（2）2和任何奇数都是互质数

（3）相邻的另个自然数是互质数

（4）相邻的两个奇数都是互质数

（5）不相同的两个质数都是互质数

5、求两个数的最大公因数都特殊情况

当两个数成倍数关系时，较小数就是两个数的最大公因数

当公因数只有1的两个数（互质数）的最大公因数是1。

6、约分：把一个分数化成和他相等，但是分子和分母都比较小的分数叫做约分。

7、最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。

8、公倍数与最小公倍数：

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

9、求最小公倍数的方法：

（1）分解质因数法：A=2×3×7，B=2×5×3，则A和B的最小公倍数是（ 210   ）。

（2）短除法

10、两个数的最小公倍数的特殊情况：

（1）如果两个数种较大的数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。

如求13和52的最小公倍数。

（2）如果两个数都是质数，那么这两个数的积就是这两个数的最小公倍数。

 如：求11和12的最小公倍数。

11、分母相同及分子相同的分数大小比较方法：

（1）分母相同的两个分数大小比较方法：分母相同，分子越大，分数越大

（2）分子相同的两个分数大小比较方法：分子相同，分母越小，分数越大。

12、通分的意义：

（1）公分母：把异分母化成同分母分数，这个相同的分母就叫做他们的公分母，其中最小的一个就叫做最小公分母。

（2）通分的意义：把两个分数分别化成和原来的分数相等的同分母分数的过程，叫做通分。

（3）通分的方法：用原分母的最小公倍数做公分母，然后把每个分数都化成用这个公倍数做分母的分数。

板块二、题型训练：

一、判断。

（1）两个合数的最大公因数不能是1（  ×   ）

（2）两个数的公因数的个数是有限的。（  √  ）

（3）1和任何非零自然数的最大公因数都是1.（  √  ）

（4）最小的质数和最小的合数的最大公因数是1（  ×  ）

（5）两个合数的最大公因数一定不可能是质数。（  ×  ）

（6）最简分数的分子和分母没有公因数。（ × ）

（7）一个分数进行约分后，分数的就变小了。（  ×  ）

（8）两个数的公倍数一定比这两个数都大。（  ×  ）

（9）a和b的最大公因数是1，那么这两个数的最小公倍数是ab。（  √  ）

（10）两个不同的合数的最小公倍数一定不是这两个数的乘积。（  × ）

（11）不相同的两个数的最小公倍数一定比他们的最大公因数大。（  √  ）

（12）通分时，只能用分母的最小公倍数作为分母。（  ×  ）

（13）通分时，分数值变大，约分时，分数值变小。（ × ）

（14）大于1/9且小于1/7的分数只有1个。（  ×  ）

二、求最大公因数和最小公倍数。

（1）、求出下面每组数的最大公因数

(4,20)=4           (5,10)=5           (8,8)=8           (11,13)=1

(18,24)=6          (20,24)=4          (18,27)=9         (12,6)=6

(6,12)=6           (10,10)=10       (57,19)=19         (4,12)=4

(13,65)=13         (17,51)=17       (26,39)=13         (9,28)=1

(16,4)=4           (6,9)=3            (20,6)=2          (4,4)=4

(8,6)=2            (6,3)=3            (26,12)=2         (20,12)=4

(10,8)=2           (8,22)=2           (2,18)=2         (9,12)=3

(26,6)=2           (15,9)=3           (18,16)=2        (36,4)=4

(2,12)=2           (20,8)=4           (12,28)=4        (5,15)=5

(22,20)=2          (24,27)=3          (8,14)=2         (32,48)=16

（2）、求下列每组数的最小公倍数。

[39,104]=312       [8,27]=216         [18,324]=324      [24,576]=576

[4,5,6]=60          [7,8,9]=504        [12,20,15]=60      [12,16,24]=48

[32,80]=320        [15,90]=90         [27,108]=108       [14,84]=84

[80,100]=400       [117,27]=351       [23,161]=161       [16,112]=112

[15,32]=480        [18,27]=54         [19,38]=38         [27,36]=108

[57,19]=57         [10,4]=20          [3,28]=84          [17,5]=85

[13,3]=39          [72,2]=72          [3,10]=30          [13,4]=52

[15,8]=120         [11,6]=66          [51,2]=104         [13,5]=65

[16,72]=144        [36,144]=144       [12,45]=180        [63,36]=252

[90,39]=1170       [45,27]=135        [,56]=448        [76,152]=152

三、填空题。

1、把自然数a与b分解质因数,得到a=2×5×7×m,b=3×5×m,如果a与b的最小公倍数是2730,那么m=(  13     )。

2、三个数的和是312,这三个数分别能被7、8、9整除,而且商相同。这三个数分别是（ 91  ）、（ 104 ）、（  117 ）。

3、已知(A,40)=8,[A,40]=80,那么A=(  16   )。

4、按照要求写出两个数，使他们的最大公因数是1.

（1）两个数都是合数。（ 8  ）和（  9 ）

（2）两个数都是奇数。（ 11  ）和（ 13  ）

（3）一个奇数和一个偶数。（  9 ）和（ 10  ）

5、如果a×b=32，那么a和32的最大公因数是（ a   ）。

6、A=2×3×7，B=2×5×3，那么A和B的最大公因数是（  6  ），最小公倍数是（  210  ）。

7、一张长方形的纸，长是75厘米，宽是60厘米，现在要把它截成一块块相同的正方形，并且正方形的边长是整厘米数，共有（  4  ）种截法。

8、用48朵百合花，36多玫瑰花，搭配成同样的花束（正好用完，没有剩余），最多能够扎（   12   ）束。

9、分母是10的所有最简真分数的和是（ 2   ）。

10、一个最简真分数，分子和分母的积是8，这个分数是（ 1/8   ）。

11、一个最简真分数，分子和分母的和是9，这样的最简真分数有（ 3  ）个。

12、18时=（  3/4  ）日。

13、是最简真分数，a可以取的整数共有（ 7  ）个。

14、a和b是两个自然数，a除以b（b不为0）的商正好是8，那么a和b的最小公倍数是（  a   ）。

15、幼儿园的阿姨给小朋友分红花，如果平均发给5个小朋友或者6个小朋友都恰好分完，那么这批小红花至少有（ 30  ）朵。

16、小光每3天去一次图书馆，小志每4天去一次图书馆，4月24日他们在图书馆相遇，那么下一次他们在图书馆相遇时在（ 5 ）月（ 6 ）日。

17、a  b  c 都是质数，甲数=a×b×b，乙数=a×b×c，甲乙两数的最大公因数是（ ab  ），最小公倍数是（  ab2c  ）

18．a=2×2×5，b=2×3×5，那么a 和b的最小公倍数是（　60　），最大公因数是（ 10 ）。

19、找出下列每组数的最大公因数、最小公倍数 

15和12的最大公因数是（  3   ），最小公倍数是（  60   ）         

18和27的最大公因数是（  9   ），最小公倍数是（ 54    ）　               

17和34的最大公因数是（  17   ），最小公倍数是（   34  ）

20、一个自然数除以4余2，除以5余3，除以6余4，这个数最小是（ 58   ）。

21、有三根铁丝，一根长48dm,一根长60dm,，一根长36dm，要把他们截成同样长的几段，不许剩余，每段最长是（ 12  ）dm,一共可以截成（ 12  ）段。

22、三个连续自然数的和是18，这三个自然数的最大公约数是（　1　），最小公倍数是（　210　）． 

23、a和b都是自然数，而且a=8b，那么a和b的最大公因数是（　b　），最小公倍数是（　a　）

24、m和n是两个相邻的自然数，都不为0，则它们的最大公因数是（ 1  ），最小公倍数是（  mn   ）。

25、如果自然数A除以自然数B商是17,那么A与B的最大公约数是(  B  ),最小公倍数是( A）。

26、最小质数与最小合数的最大公约数是( 2  ),最小公倍数是(  4  )。

27、能被5、7、16整除的最小自然数是（  560  ）。

28、5和12的最小公倍数减去(  59  )就等于它们的最大公因数。

29、91和13的最小公倍数是它们最大公约数的(  7   )倍。

30、已知两个大于1的互质数的最小公倍数是153，这两个互质数是（ 9   ）和（  17  ）。

31、3个连续自然数的最小公倍数是60,这三个数是（  3 ）、（  4 ）和（ 5  ）。

32、被2、3、5除,结果都余1的最小整数是( 31   ),最小三位整数是(  121 )。

33、一筐苹果4个4个拿,6个6个拿,或者8个8个拿都正好拿完,这筐苹果,最少有(  24  )个。

34、三个连续偶数的和是42,这三个数的最大公约数是(  2  )。

35、三个不同质数的最小公倍数是105,这三个质数是（ 3  )、(  5 )和( 7  )。

37、自然数m和n,n=m+1,m和n的最大公约数是(  1  ),最小公倍数是(  mn  ）

38、（1）、把下面的分数化成分母是36且大小不变的分数。

=8/36              =27/36               =15/36          =3/36

（2）、把下面的分数化成分子是1且大小不变的分数。

=1/3              =1/9                =1/3              =1/6

四、选择题：

1．两个合数的最大公因数是1，最小公倍数是144，这两个数是（　D　）

A．1和144    B．8和18    C．7和72    D．9和16

2．a和b都是自然数，而且a=4b，那么a和b的最大公因数是（　B　），最小公倍数是（　C　）

A．4    B．b    C．a    D．ab

3．a=2×2×5，b=2×3×5，那么a 和b的最小公倍数是（　C　）

A．600    B．300    C．60    D．10

4．m是n的1/3（m、n均为非零自然数），m与n两个数的最小公倍数是（　A　）

A．n    B．1    C．m    D．mn

5．两个数的最大公因数是12，最小公倍数是144，其中一个数是36，另一个数是（　C　）

A．156    B．12    C．48    D．132

6．两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，则这两个数的差是（　D　）

A．45    B．35    C．25    D．40或20

7．某班同学在一起做游戏，3人一组少1人，4人一组多3人，6人一组少1人，这个班至少有（　D　）人．

A．20    B．13    C．12    D．11

8．根据a=bc（a、b、c都是不为0的自然数），可以知道a和b的最小公倍数是（　A　）

A．a    B．b    C．c    D．bc

9．如果a÷b=7（a和b都是不为0的自然数），a和b的最大公因数是（　B　）

A．a    B．b    C．7

10．甲、乙两个数的最大公约数是4，最小公倍数是24，甲数是12，乙数是（　C　）

A．4    B．6    C．8    D．24

11、的分子增加6，要使分数的大小不变，它的分母应该（ C ）

   A 增加6　B 增加15　C 增加10

12、如果一个分数的分子、分母都增加100，而分数的大小没有改变，那么原来的分数一定是（  C ）

   A 分子大于分母　B 分子小于分母　C分子等于分母

13、两根同样长的绳子，第一根截去5/8，第二根截去5/8米，余下的两段比较，结果是（  D ）

A 第一段长     B 第二段长     C 两段一样长      D 无法确定

14、有一根绳子被截成两段，第一段占全长的7/10，第二段长7//10米，那么第一段和第二段比较（   A  ）

A 第一段长     B 第二段长     C 两段一样长      D 无法确定

五、解答题。

1、甲每秒钟跑3米，乙每秒钟跑4米，丙每秒钟跑2米，三人沿着600米的环形跑道从同一地点同时同方向出发吗，经过多长时间三人又同时从出发点出发？

甲跑一圈的时间：600÷3=200（秒）

乙跑一圈的时间：600÷4=150（秒）

丙跑一圈的时间：600÷2=300（秒）

【200，150，300】=600（秒）

2、动物园正在举行竞走比赛，路程相同，长颈鹿用了小时走完全程，大象用了小时走完全程，梅花鹿用了小时走完全程，谁应该获得冠军呢？

=35/42  =24/42 =28/42

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大象应该获得冠军

3、有一个长80厘米,宽60厘米,高115厘米的长方体储冰容器,往里面装入大小相同的立方体冰块,这个容器最少能装多少数量冰块?

（80，60，115）=5，说明正方体的棱长最大为5厘米

块数：（80÷5）×（60÷5）×（115÷5）=4416（块）

4、已知某小学六年级学生超过100人,而不足140人。将他们按每组12人分组,多3人;按每组8人分,也多3人。这个学校六年级学生多少?

先去掉3人，剩下的人数是12和8的公倍数

[12，8]=24（人）

24×5+3=123（人）

5、把长120厘米,宽80厘米的铁板裁成面积相等,最大的正方形而且没有剩余,可以裁成多少块？

要裁成最大的正方形，正方形的边长是120和80的最大公因数

（120，80）=40    边长是40厘米

可以裁成的块数：（120÷40）×（80÷40）=6（块）

6、有一条小路边上种了36棵小树，每两棵树之间的间隔是2米，现在改为株距是5米，一共有多少棵小树不必挪动？

总距离：（36-1）×2=70（米）

【2，5】=10

70÷10+1=8（棵）

7、甲、乙、丙三个班的同学去公园划船,甲班49人,乙班56人,丙班42人。把各班同

学分别分成小组,分乘若干条小船,使每条船上人数相等,最少要多少条船?

要使使用的船的条数越少，每条船上的人数就要越多

（49，56，42）=7

最少使用的船的条数：49÷7+56÷7+42÷7=21（条）

8、张老师给全班同学分糖果，如果把110块糖果平均分给同学们，就会多出5块，如果把210块糖果平均分给同学们，则正好分完，如果把240块糖果平均分给同学们，则还少5块，张老师的班级最多有多少个同学？

110-5=105（块）     240+5=245

（105，210，245）=35

最多有35名学生

9、把38个苹果和31个梨分给若干个小朋友，使每个小朋友分到的苹果的个数相同，梨的个数也相同，结果苹果多了2个，梨多了3个，分到苹果和梨的小朋友最多是几个人？每人分得的苹果和梨各有几个？

28-2=36（个）     31-3=28（个）

（36，28）=4   最多有4人

每人分到的苹果：36÷4=9（个）

每人分到的梨：28÷4=7（个）

10、有三根铁丝,长度分别是120厘米、180厘米、300厘米。现在要把它们截成相等的小段,每根都不能有剩余。每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段

每小段最长，即求最大公因数

（120，180，300）=60

每小段最长60厘米

段数：120÷60+180÷60+300÷60=10（段）

11、分数的字、分母同时加上一个数，约分后得，同时加上的这个数是多少？

利用同增同减差不变，原来分子与分母的差：13-5=8

后来的差也是8

分子：1份    分母：2份

1份：8÷（2-1）=8

分子：8×1=8   分母：8×2=16

加上的数：8-5=3

12、分数的分子和分母同时都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是多少？

利用同增同减差不变，原来分子与分母的差：181-97=84

后来的差也是84

分子：2份    分母：5份

1份：84÷（5-2）=28

分子：28×2=56   分母：28×5=140

减去的数：97-56=41

13、甲数是36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是多少？

最大公约数与最小公倍数常用结论：A×B=（A,B）×[A,B]

4×288÷36=32

14、已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。

最大公因数：240÷60=4

60÷4=15=1×15=3×5

（1）4×1=4，4×15=60

（2）4×3=12，4×5=20

所以这两个数是4和60，或者12和20

15、已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数分别是多少？

126÷21=6=1×6=3×2

（1）21×1=21，21×6=126

（2）21×3=63，21×2=42

所以这两个数是21和126，或者63和42

16、一盒围棋子，4颗4颗的数多3颗，6颗6颗的数多5颗，15颗15颗的数多14颗，这盒围棋子的数量是在150至200颗之间，问这盒围棋子共有多少颗？

给棋子加上1颗后，就是4，6，15的公倍数

[4,6,15]=60      

60×3-1=179(颗)

17、一车饮料，3箱3箱的数剩1箱，5箱5箱的数剩1箱，7箱7箱的数剩1箱，这车饮料最少由多少箱？

给饮料去掉1瓶后，就是3，5，7的公倍数

[3,5,7]=105     

105+1=106(颗)

18、a、b两个自然数满足以下两个条件

(1) （2）a+b=22

1/7=3/21      1/6=3/18

a/b=3/19