近年高考数列大题及解析(理数)

理数

1. (2014广东,19,14分)设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15.

(1)求a1,a2,a3的值;

(2)求数列{an}的通项公式.

[解析] 1.(1)依题有

解得a1=3,a2=5,a3=7.

(2)∵Sn=2nan+1-3n2-4n,①

∴当n≥2时,Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1).②

①-②并整理得an+1=.

由(1)猜想an=2n+1,下面用数学归纳法证明.

当n=1时,a1=2+1=3,命题成立;

假设当n=k时,ak=2k+1命题成立.

则当n=k+1时,ak+1=

=

=2k+3=2(k+1)+1,

即当n=k+1时,结论成立.

综上,∀n∈N*,an=2n+1.

2.(2014课标全国卷Ⅱ,17,12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.

(Ⅰ)证明是等比数列,并求{an}的通项公式;

(Ⅱ)证明++…+<.

[解析] 2.(Ⅰ)由an+1=3an+1得an+1+=3.

又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.

an+=,因此{an}的通项公式为an=.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知=.

因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.

于是++…+≤1++…+=<.

所以++…+<.

3.（2013广东，19,14分）设数列{an}的前n项和为Sn. 已知a1=1, =an+1-n2-n-, n∈N*.

(1) 求a2的值;

(2) 求数列{an}的通项公式;

(3) 证明: 对一切正整数n, 有++…+< .

3.

答案和解析

理数

[答案] 1.查看解析

[解析] 1.(1)依题有

解得a1=3,a2=5,a3=7.

(2)∵Sn=2nan+1-3n2-4n,①

∴当n≥2时,Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1).②

①-②并整理得an+1=.

由(1)猜想an=2n+1,下面用数学归纳法证明.

当n=1时,a1=2+1=3,命题成立;

假设当n=k时,ak=2k+1命题成立.

则当n=k+1时,ak+1=

=

=2k+3=2(k+1)+1,

即当n=k+1时,结论成立.

综上,∀n∈N*,an=2n+1.

[答案] 2.查看解析

[解析] 2.(Ⅰ)由an+1=3an+1得an+1+=3.

又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.

an+=,因此{an}的通项公式为an=.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知=.

因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.

于是++…+≤1++…+=<.

所以++…+<.

[答案] 3.(Ⅰ) 依题意, 2S1=a2--1-, 又S1=a1=1, 所以a2=4;

(Ⅱ) 当n≥2时, 2Sn=nan+1-n3-n2-n,

2Sn-1=(n-1) an-(n-1) 3-(n-1) 2-(n-1)

两式相减得2an=nan+1-(n-1) an-(3n2-3n+1) -(2n-1) -,

整理得(n+1) an=nan+1-n(n+1), 即-=1, 又-=1,

故数列是首项为=1, 公差为1的等差数列,

所以=1+(n-1) ×1=n, 所以an=n2.

(Ⅲ) 当n=1时, =1< ;

当n=2时, +=1+=< ;

当n≥3时, =< =-, 此时

++…+=1++++…+< 1++++…+

=1++-=-<

综上, 对一切正整数n, 有++…+< .

3.