2005-2006高数下(8学分)期末试题A及解答

一.填空题(每小题4分, 共36分)

1.一阶微分方程的通解是=____________.

2.微分方程满足初始条件的特解为=___________.

3.已知的三个顶点为, 则的面积=_______.

4.已知, 则函数在点处沿方向方向

导数=_______.

5.空间曲线(其中是可微函数)上对应于点的切线方程是_____________________

6.设函数具有二阶连续导数,具有二阶连续偏导数, , 则=_____________.

7.二次积分的值等于______________.

8.某公司生产产品, 当生产到第个单位的边际成本是(万元/单位),

  其固定成本是万元, 则生产量为单位时的平均成本等于_______(万元/单位).

9.设, 则的体积=________.

10.函数在点处的梯度________.

二. 选择题(每小题4分, 共32分)

1. 微分方程的一个特解应具有形式(式中为常数), (   )

 (A);       (B);     (C);       (D).

2.函数在点处具有偏导数,是该函数在点

可微的(   )

 (A)充要条件;  (B)必要条件;  (C)充分条件;    (D)既非充分条件也非必要条件. 

3.已知非零向量满足, 则必成立的是 (   )

(A);      (B);       (C);      (D). 

4.下列广义积分中收敛的是(   )

(A);   (B);    (C);    (D).

5*.二元函数在点处(   )

(A)连续且偏导数存在;               (B)连续, 偏导数不存在;   

 (C)不连续, 偏导数存在;              (D)不连续, 偏导数不存在

三. (本题8分) 设函数, 而与分别是由方程与

所确定, 计算.

四. (本题6分)

    曲线过点, 其上任一点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点的法线在轴上截距的乘积的两倍, 求曲线方程.

五. (本题6分) 计算数列极限.

六. (本题8分)在曲面上作一切平面, 使它与三个坐标面所围成的四面体体积最大, 求切平面方程.

七、(本题8分)设是由抛物线和直线及所围成的平面区域,是由抛物线和直线所围成的平面区域, 其中.

(1)求绕轴旋转而生成的旋转体体积, 求绕轴旋转而生成的旋转体体积;  (2)当取何值时,取得最大值? 并求此最大值.

八、设函数在上连续, , 证明:.

华东理工大学2005-2006学年第二学期

《高等数学（下）》课程期终考试试卷

参与评分标准

一．填空题（每小题4分，共40分）

1.       2.       3.         4. 

5.   6. 

7.         8.            9.         10. 

二．选择题（每小题4分，共32分）：

三．,  

而, ,     ------------------------------------------------（2分

,                 ------------------------------------------------（2分）

,             -----------------------------------------(2分)

四．曲线在点处的法线方程为:,

令, 得曲线在轴上截距为:,

根据题意得:或, ,   -------------( 2分)

令, ------------(3分)

, -------------------------------------(3分)

     由, 得,

     所求曲线为或          ----------------------------(1分)

五．（本题8分）

         -------------（2分）

          -------------------------------------（4分）

六．（本题8分）曲面在点处的切平面方程为: 

,  -------------------------------（2分）,

, 截距分别为,

问题为求在条件下的最大值,     ---------（2分）

令  , 

, 解得:,-----------------------------------------（3分）

因为问题的最大值存在,故就是最大值点,  

此时截距为,      

所求切平面为:.            --------------------------（1分）

七、,  -------------------------（2分）

,       -------------------------(2分)

设, 令, 得唯一驻点:, ----（2分）

当时,;   当时,; 

故当时,取到最大值.  --------------------（2分）

八、,   

    其中,      --------------------(2)

又,

所以

             --------------------(2) 

. ----------(2)

填空题解答:

1., 是可分离变量微分方程,

 分离变量得:,  积分得:,

 化简为:.

2. 特征方程:, 解得:,

  故通解为:.

3. .

4., , ,  ,

, , ,

=.