云南省楚雄州双柏县2017年初中学业水平考试数学模拟试题(一)(解析...

1 2

A

D

B

C

l 1

云南省楚雄州双柏县2017年初中学业水平考试数学模拟试题（一）

命题：双柏县教育局教研室 郎绍波

一、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 1．-4的相反数是

．

2．函数y 1=

+中自变量x 的取值范围是 ．

3

4．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 ． 5．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x +1=0的两个根，则x 1﹣x 1 x 2+ x 2的值为 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y=x +2交x 轴于点A ，交y 轴于点A 1，点A 2，A 3，…在直线l 上，点

B 1，B 2，B 3，…在x 轴的正半轴上，若△A 1OB 1，△A 2B 1B 2，

△A 3B 2B 3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x 轴上，则第n 个等腰直角三角形A n B n ﹣1B n 顶点B n 的横坐标为 ．

二、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，满分32分） 7．下列运算正确的是（ ）

A ．224a a a =+

B ．2

2

2

()a b a b +=+ C ．

3=± D ．236()=a a --

8．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9

9．如图是由4

个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（ ）

D C

x

A ．

B ．

C ．

D ．

10．云南高铁自开通以来，发展速度不断加快，现已成为云南市民主要出行方式之一．今年五一期间安全运输乘客约5460000人次．用科学记数法表示5460000为（ ） A ．5.46×107 B ．5.46×106 C ．5.5×106 D ．546×104 11．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，若∠BAC ＝45°，OB ＝2，则图中阴影部分的面积为( )

A ．π－4

B ．

23π－1 C ．π－2 D ．2

3

π－2 12．某中学篮球队12名队员的年龄如下表所示：

则这12名队员的年龄的众数和中位数分别是（ ）

A ．14，14

B ．14，14.5

C ．14，15

D ．15，14

13．若点A （﹣4，3）、B （m ，2）在同一个反比例函数的图象上，则m 的值为（ ）

A ．6

B ．﹣6

C ．12

D ．﹣12

14．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A ，B 两点，P 是线段 AB 上任意一点（不包括端点），过P 分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴 围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是（ ）

A ．y=x +5

B ．y=x +10

C ．y=﹣x +5

D ．y=﹣x +10 三、解答题（本大题共9个小题，满分70分） 15．（7分）计算：先化简，再求值：2

2

13339

x x x x ⎛⎫-÷

⎪+--⎝⎭，其中x =1． 16．（7分）如图，∠ADB=∠AEC ，AD=AE ．求证：BE=CD ．

A

B

B

A

17．（7分）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为45°，为了改善楼梯的安全性能，

准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为30°，求调整后的楼梯AC的长．（精确到0.1m

，

1.41

≈

1.73

≈）

18．（8分）荔枝是云南省的特色水果，小明的妈妈先购买了2千克酸味和3千克甜味，共

花费90元；后又购买了1千克酸味和2千克甜味，共花费55元．（每次两种荔枝的售价都

不变）

（1）求酸味和甜味的售价分别是每千克多少元；

（2）如果还需购买两种荔枝共12千克，要求甜味的数量不少于酸味数量的两倍，请设计一

种购买方案，使所需总费用最低．

19．（8分）如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇

形面积相等，分别标有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将

指针所落扇形中的两个数字相加（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．

（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；

（2）若规定两个数字的和为5时甲赢，两个数字的

和为4时乙赢，请问这个游戏对甲、乙两人是否公平？

20．（7分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．

图①

图②

B

A E

C

O

D

C

求证：四边形AODE是矩形．

21．（9分）某学校为了增强学生体质，决定开放以下球类活动项目：A．篮球、B．乒乓球、C．排球、D．足球．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图①，图②），请回答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有多少人？

（2）请你将条形统计图补充完整；

（3）若该校共有学生1900人，

请你估计该校喜欢D项目的人数．

22．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O AC

交于点D、E，过点D作DF⊥AC于

F.

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，BC=DF的长．

23．（9分）如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H （1）求抛物线的表达式；

（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；

（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，

当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标．云南省楚雄州双柏县2017年初中学业水平考试数学模拟试题（一）

参与试题解析

命题：双柏县教育局教研室郎绍波

一、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）

1．-4的相反数是．

【考点】相反数．

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0即可求解．

【解答】解：﹣4的相反数是4．

故答案为：4．

【点评】此题主要考查相反数的意义，较简单．

=+中自变量x的取值范围是．

2．函数y1

【考点】函数自变量的取值范围．

【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．

【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，

解得x≥1．

故答案为：x≥1．

【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

3

【考点】平行线的性质；垂线．

l 2 1

2 A

D

B

C

l 1

【分析】先在直角三角形CBD 中可求得∠CBD 的度数，然后依据平行线的性质可求得∠2的度数．

【解答】解：∵CD ⊥AB 于点D ， ∴∠CDB=90°． ∴∠CBD=90°-∠1=46°． ∵l 1∥l 2，

∴∠2=∠CBD=46°． 故答案为：46°．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．

4．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 ． 【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质． 【专题】计算题．

【分析】由三角形的三边关系可知，其两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 【解答】解：由三角形的三边关系可知，由于等腰三角形两边长分别是3和6， 所以其另一边只能是6，故其周长为6+6+3=15． 故答案为15．

【点评】本题主要考查了三角形的三边关系问题，能够利用三角形的三边关系求解一些简单的计算、证明问题．

5．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x +1=0的两个根，则x 1﹣x 1 x 2+ x 2的值为 ． 【考点】根与系数的关系．

【分析】根据一元二次方程根与系数之间的关系得出两根之和，两根之积，再代值计算即可． 【解答】解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x +1=0的两个根， ∴x 1+x 2=2，x 1x 2=1，

∴x 1﹣x 1 x 2+ x 2=（x 1+x 2）﹣x 1x 2=2﹣1=1； 故答案为：1．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，则x 1+x 2=a b

，x 1x 2=a

c

．

6．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y=x +2交x 轴于点A ，交y 轴于点A 1，点A 2，A 3，…在直线l 上，点B 1，B 2，B 3，…在x 轴的正半轴上，若△A 1OB 1，△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x 轴上，则第n 个等腰直角三角形A n B n ﹣1B n 顶点B n 的横坐标为 ． 【考点】规律型：点的坐标．

【分析】先求出B 1、B 2、B 3…的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题．

【解答】解：由题意得OA=OA 1=2， ∴OB 1=OA 1=2，

B 1B 2=B 1A 2=4，B 2A 3=B 2B 3=8，

∴B 1（2，0），B 2（6，0），B 3（14，0）…， 2=22﹣2，6=23﹣2，14=24﹣2，… ∴B n 的横坐标为2n+1﹣2． 故答案为2n+1﹣2．

二、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，满分32分） 7．下列运算正确的是（ ）

A ．224a a a =+

B ．2

2

2

()a b a b +=

+ C ．

3=± D ．236()=a a --

【考点】幂的乘方与积的乘方；算术平方根；合并同类项；完全平方公式． 【分析】根据幂的乘方和积的乘方，即可解答． 【解答】

解：A 、2222a a a =+，故本选项错误； B 、2

2

2

()2a b a ab b +

=++，故本选项错误； C 3=，故本选项错误； D 、23

6

()=a a --，正确； 故选：D ．

【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解决本题的关键是熟记幂的乘方和积的乘方．

【考点】多边形内角与外角．

【专题】计算题；推理填空题．

【分析】首先根据一个正多边形的内角是140°，求出每个外角的度数是多少；然后根据外角和定理，求出这个正多边形的边数是多少即可．

【解答】解：360°÷（180°﹣140°）=360°÷40°=9．

答：这个正多边形的边数是9．

故选：D．

【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确多边形的外角和定理．

9．如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（）

A．B．C．D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】从左面看：共有1列，有2个小正方形；据此可画出图形．

【解答】解：如图所示几何体的左视图是．

故选：A．

【点评】考查简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．

10．云南高铁自开通以来，发展速度不断加快，现已成为云南市民主要出行方式之一．今年五一期间安全运输乘客约5460000人次．用科学记数法表示5460000为（）A．5.46×107B．5.46×106C．5.5×106D．546×104 【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：用科学记数法表示5460000为5.46×106．

故选B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．

11．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，若∠BAC ＝45°，OB ＝2，则图中阴影部分的面积为( )

A ．π－4

B ．

23π－1 C ．π－2 D ．2

3

π－2 【考点】圆周角定理；扇形面积的计算．

【分析】先证得△OBC 是等腰直角三角形，然后根据S 阴影=S 扇形OBC ﹣S △OBC 即可求得． 【解答】解：∵∠BAC=45°，

∴∠BOC=90°， ∴△OBC 是等腰直角三角形，

∵OB=2， ∴S 阴影=S 扇形OBC ﹣S △OBC =π×22﹣×2×2=π﹣2． 故选C ．

【点评】本题考查的是圆周角定理及扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．

12．某中学篮球队12名队员的年龄如下表所示：

则这12名队员的年龄的众数和中位数分别是（ ）

A ．14，14

B ．14，14.5

C ．14，15

D ．15，14 【考点】众数；中位数．

【分析】众数就是出现次数最多的数，而中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义即可求解．

【解答】解：在这12名队员的年龄数据里，14岁出现了5次，次数最多，因而众数是14； 12名队员的年龄数据里，第6和第7个数据的平均数是14，因而中位数是14． 故选：A ．

【点评】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

13．若点A （﹣4，3）、B （m ，2）在同一个反比例函数的图象上，则m 的值为（ ）

A ．6

B ．﹣6

C ．12

D ．﹣12

x

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据反比例函数y=

x

k

中，k =x y 为定值即可得出结论． 【解答】解：∵点A （﹣4，3）、B （m ，2）在同一个反比例函数的图象上， ∴（﹣4）×3=2m ，解得m=﹣6． 故选B ．

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

14．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A ，B 两点，P 是线段 AB 上任意一点（不包括端点），过P 分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴 围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是（ ）

A ．y=x +5

B ．y=x +10

C ．y=﹣x +5

D ．y=﹣x +10 【考点】待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质．

【分析】设P 点坐标为（x ，y ），由坐标的意义可知PC=x ，PD=y ，根据题意可得到x 、y 之间的关系式，可得出答案．

【解答】解：设P 点坐标为（x ，y ），如图，过P 点分别作PD ⊥x 轴，PC ⊥y 轴，垂足分别为D 、C ，

∵P 点在第一象限， ∴PD=y ，PC=x ，

∵矩形PDOC 的周长为10， ∴2（x +y ）=10， ∴x +y=5，即y=﹣x +5， 故选C ．

【点评】本题主要考查矩形的性质及点的坐标的意义，根据坐标的意义得出x 、y 之间的关系是解题的关键．

三、解答题（本大题共9个小题，满分70分） 15．（7分）计算：先化简，再求值：2

2

13339x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+--⎝⎭

，其中x =1． 【考点】分式的化简求值．

【分析】先算括号里面的，再算除法，或者利用乘法分配律进行化简，最后把x 的值代入进

A

D

E

C

B

行计算即可． 【解答】

22132

1(3)(3)3393332(3)(3)1(3)(3)33332(3)32633313333x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

+-⎛⎫⎛⎫-÷=+⋅

⎪ ⎪+--+-⎝⎭⎝⎭

+-+-=⋅+⋅+--+-++--=+===

解： 当1x =时，原式=

1

0x x

-=． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．

16．（7分）如图，∠ADB=∠AEC ，AD=AE ．求证：BE=CD ． 【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】

证明：在△ADB 和△AEC 中

∵ ∠ADB=∠AEC ，AD=AE ，∠DAB=∠EAC

∴ △ADB ≌△AEC ∴ AB=AC 又∵ AD=AE ∴ BE=CD

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

17．（7分）如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为45°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为30°，求调整后的楼梯AC 的长．（精确到0.1m

，

1.41≈

1.73≈）

【考点】解直角三角形的应用；坡度坡角问题．

【分析】先在Rt △ABD 中利用正弦的定义计算出AD ，然后在Rt △ACD 中利用正弦的定义计算AC 即可．

C D

A

B 【解答】

解：在Rt △ADB 中，∵sin ∠ABD=AD

AB

， ∴AD=4sin45°

=（m ）， 在Rt △ACD 中，∵sin ∠ACD=

AD

AC

，

∴AC=4 1.41 5. 5.6=⨯=≈（m ）． 答：调整后的楼梯AC 的长约为5.6 m

【点评】本题考查了解直角三角形的实际应用中的坡度坡角问题，难度不大，注意细心运算即可．

18．（8分）荔枝是云南省的特色水果，小明的妈妈先购买了2千克酸味和3千克甜味，共花费90元；后又购买了1千克酸味和2千克甜味，共花费55元．（每次两种荔枝的售价都不变）

（1）求酸味和甜味的售价分别是每千克多少元；

（2）如果还需购买两种荔枝共12千克，要求甜味的数量不少于酸味数量的两倍，请设计一种购买方案，使所需总费用最低．

【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．

【分析】（1）设酸味售价为每千克x 元，甜味售价为每千克y 元，根据题意列出方程组即可解决问题．

（2）设购买酸味n 千克，总费用为m 元，则购买甜味12﹣n 千克，路程不等式求出n 的范围，再构建一次函数，利用一次函数的性质解决最值问题． 【解答】

解：（1）设酸味售价为每千克x 元，甜味售价为每千克y 元， 根据题意得：⎩⎨

⎧=+=+5529032y x y x 解得：⎩⎨⎧==20

15

y x

答：酸味售价为每千克15元，甜味售价为每千克20元．

（2）设购买酸味n 千克，总费用为m 元，则购买甜味12-n 千克，

∴12-n ≥2n ∴n ≤4 m =15n +20（12-n ）=-5n +240

B

A

∵k =-5＜0 ∴m 随n 的增大而减小 ∴当n =4时，m =220

答：购买酸味4千克，甜味8千克时，总费用最少．

【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组等知识，解题的关键是学会设未知数，列出解方程组解决问题，学会构建一次函数，利用一次函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型．

19．（8分）如图，转盘A 的三个扇形面积相等，分别标有数字12，3，转盘B 的四个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，4．转动A 、B 转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果； （2）若规定两个数字的和为5时甲赢，两个数字的

和为4时乙赢，请问这个游戏对甲、乙两人是否公平？

【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．

【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；

（2）分别求出定两个数字的和为5时和两个数字的和为4时的概率，即可知道游戏是否公平不公平．

【解答】（1）画树状图得：（或者列表得）

则共有12种等可能的结果；

（2）∵两个数字的和为5或者和为4都是有3种情况， ∴两个数字的和为5或者和为4的概率都是：31

124

． ∴这个游戏对甲、乙两人是公平的．

图①

图②

B

A E

C

O

D

【点评】本题考查游戏公平性、列表法和树状图法，解答此类问题的关键是明确题意，写出所有的可能性．

20．（7分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．

求证：四边形AODE是矩形．

【考点】矩形的判定；菱形的性质．

【专题】证明题．

【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形．

【解答】

证明：∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD=90°，

∵DE∥AC，AE∥BD，

∴四边形AODE为平行四边形，

∴四边形AODE是矩形．

【点评】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．

21．（9分）某学校为了增强学生体质，决定开放以下球类活动项目：A．篮球、B．乒乓球、C．排球、D．足球．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图①，图②），请回答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有多少人？

（2）请你将条形统计图补充完整；

（3）若该校共有学生1900人，

请你估计该校喜欢D项目的人数．

【考点】条形统计图；用样本估计总体；

扇形统计图．

【分析】（1）用喜欢篮球的人数除以喜欢篮球的人数所占的百分比，即可求出这些被调查的学生数；

（2）用总人数减去喜欢篮球、乒乓球和足球的人数，即可求出喜欢排球的人数，从而补全统计图；

（3）用总人数乘以喜欢足球的人数所占的百分比即可． 【解答】解：（1）由扇形统计图可知：扇形A 的圆心角是36°， 所以喜欢A 项目的人数占被调查人数的百分比＝36360

×100%＝10%．

由条形图可知：喜欢A 类项目的人数有20人， 所以被调查的学生共有20÷10%＝200(人)．

（2）喜欢C 项目的人数=200-(20＋80＋40)=60(人)， 因此在条形图中补画高度为60的长方条，如图所示．

（3）1900×(40÷200)=380(人)．

答：该校喜欢D 项目的人数约为380人．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

22．（8分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC 、AC 交于点D 、E ，过点D 作DF ⊥AC 于F. （1）求证：DF 是⊙O 的切线；

（2）若⊙O 的半径为2

，BC=DF 的长． 【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质． 【分析】（1）欲证明DF 是⊙O 的切线只要证明DF ⊥OD ， 只要证明OD ∥AC 即可．

（2）连接AD ，首先利用勾股定理求出AD ，由△ADC ∽△DFC 可得AD AC

=

DF DC

，列出方程即可解决问题．

答案图

C

【解答】（1）证明：连接OD ， ∵OB=OD ∴∠ABC=∠ODB ∴AB=AC ∴∠ABC=∠ACB ∴∠ODB=∠ACB ∴OD ∥AC ∵DF ⊥AC ∴DF ⊥OD ∴DF 是⊙O 的切线

（2）连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径 ∴AD

⊥BC 又∵AB=AC ∴

∴

=

=∵DF ⊥AC

∴△ADC ∽△DFC

∴

AD AC =DF DC

∴ 【点评】本题考查切线的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

23．（9分）如图，抛物线y=ax 2+bx 过A （4，0），B （1，3）两点，点C 、B 关于抛物线的

对称轴对称，过点B 作直线BH ⊥x 轴，交x 轴于点H ． （1）求抛物线的表达式；

（2）直接写出点C 的坐标，并求出△ABC 的面积； （3）点P 是抛物线上一动点，且位于第四象限， 当△ABP 的面积为6时，求出点P 的坐标．

【考点】抛物线与x 轴的交点；二次函数图象与几何变换．

【分析】（1）把A 点和B 点坐标分别代入y=ax 2+bx 中得到关于a 、b 的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；

（2）计算函数值为3所对应的自变量的值即可得到C 点，然后根据三角形面积公式计算△ABC 的面积；

（3）作PD ⊥BH ，如图，设P （m ，﹣m 2+4m ），则利用S △ABH +S 梯形APDH

=S △PBD +S △ABP 可得

到关于m 的方程，然后解方程求出m 即可得到P 点坐标． 【解答】

解：（1）把点A （4，0），B （1，3）代入抛物线y=ax 2+bx 中，得

101

34

a b a a b b +==-⎧⎧⎨⎨

+==⎩⎩，解得

∴抛物线表达式为：y=﹣x 2

+4x ；

（2）点C 的坐标为（3，3），

又∵点B 的坐标为（1，3）， ∴BC=2， ∴S △ABC =

1

2

×2×3=3； （3）过P 点作PD ⊥BH 交BH 于点D ，

设点P （m ，﹣m 2

+4m ），

根据题意，得：BH=AH=3，HD=m 2

﹣4m ，PD=m ﹣1，

∴S △ABP =S △ABH +S 四边形HAPD ﹣S △BPD ， 6=

12×3×3+12（3+m ﹣1）（m 2﹣4m ）﹣12

（m ﹣1）（3+m 2﹣4m ）， ∴3m 2

﹣15m=0，

m 1=0（舍去），m 2=5， ∴点P 坐标为（5，﹣5）．

【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：对于二次函数y=ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0），△=b 2﹣4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数：△=b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．