灰色预测模型介绍

课程报告

题目：灰色预测模型介绍

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二0一一年六月

1. 模型功能介绍

预测模型为一元线性回归模型，计算公式为Y=a+b。一元非线性回归模型：Y=a+blx+b2x2+…+bmxm。式中：y为预测值；x为自变量的取值；a,b1,b2……bm为回归系数。当自变量x与因变量y之间的关系是直线上升或下降时，可采用一元线性预测模型进行预测。当自变量x和因变量y之间呈曲线上升或下降时，可采用一元非线性预测模型中的y=a+b1x+b2x2+…+bmxm这个预测模型。当自变量x和因变量y之间关系呈上升一下降一再上升一再下降这种重复关系时，可采用一元线性预测模型中的Y=a+bx这个模型来预测。其中我要在这里介绍灰色预测模型。

灰色预测是就灰色系统所做的预测，灰色系统(Grey System)理论是我国著名学者邓聚龙教授20世纪80年代初创立的一种兼备软硬科学特性的新理论［95］96］。所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。 　　

灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。 

灰色系统的基本原理

公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。

公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。

公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。

公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。

公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。

公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。 　　

灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

灰色预测模型实际上是一个微分方程, 称为GM模型。GM（1，N）表示1阶的，N个变量的微分方程型模型；则是1阶的,1个变量的微分方程型模型。在实际进行预测时, 一般选用GM(1,1) 模型, 因为这种模型求解较易, 计算量小, 计算时间短, 精度较高。

现在下面简单介绍有关于灰色预测的相关知识点：

为了弱化原始时间序列的随机性

　　在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。灰色系统常用的数据处理方式有累加和累减两种。

关联度

　　1、关联系数

GM（1，1）模型的建立

(1)、设时间序列有n个观察值，，通过累加生成新序列， 则GM（1，1）模型相应的微分方程为：

其中：α称为发展灰数；μ称为内生控制灰数。

(2)、设为待估参数向量， ，可利用最小二乘法求解。解得：

求解微分方程，即可得预测模型：

 ，

(3)、模型检验

灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验。

GM（n，h）模型

(1)、残差模型：若用原始经济时间序列建立的GM（1，1）模型检验不合格或精度不理想时，要对建立的GM（1，1）模型进行残差修正或提高模型的预测精度。修正的方法是建立GM（1，1）的残差模型。

(2)、GM（n，h）模型GM（n，h）模型是微分方程模型，可用于对描述对象作长期、连续、动态的反映。从原则上讲，某一灰色系统无论内部机制如何，只要能将该系统原始表征量表示为时间序列，并有， （N表数自然数集），即可用GM模型对系统进行描述。

2．常用模型

2.1常用模型1——数列预测模型

数列预测就是对某一指标的发展变化情况所作的预测，其预测的结果是该指标在未来各个时刻的具体数值。譬如，在地理学研究中，人口数量预测、耕地面积预测、粮食产量预测、工农业总产值预测，等等，都是数列预测。

数列预测的基础，是基于累加生成数列的GM(1，1)模型。

设是所要预测的某项指标的原始数据。

一般而言，是一个不平稳的随机数列，对于这样一个随机数列，如果数据趋势无规律可循，则无法用回归预测法对其进行预测。

如果对作依次累加生成处理，即

x(1)(2)=x(0)(1)+x(0)(2)

x(1)(3)=x(0)(1)+x(0)(2)+x(0)(3)

 则得到一个新的数列。这个数列与原始数列相比较，其随机性程度大大弱化，平稳程度大大增加。对于这样的新数列，其变化趋势可以近似地用如下微分方程描述：

在(1)式中，a和u可以通过如下最小二乘法拟合得到：

在(2)式中，YM为列向量YM=[x(0)(2)，x(0)(3)，…，x(0)(M)]T；B为构造数据矩阵：

微分方程(1)式所对应的时间响应函数为：

(3)式就是数列预测的基础公式，由(3)式对一次累加生成数列的预测值

可以求得原始数的还原值：

在（4）式中，t=1,2,…,M,并规定。原始数据的还原值与其观测值之间的残差值ε(0)(t)和相对误差值q(t)如下：

对于预测公式(3)，我们所关心的问题是它的预测精度。这一预测公式是否达到精度要求，可按下述方法进行精度检验。

首先计算：

其次计算：方差比c=s2/s1    

及小误差概率：

一般地，预测公式(3)的精度检验可由表10-2给出。如果p和c都在允许范围之内，则可以计算预测值。否则，需要通过对残差序列的分析对(3)式进行修正，灰色预测常用的修正方法有残差序列建模法和周斯分析法两种。

2.2常用模型2——灾变预测模型

一般地，如果表征系统行为特征的指标超出了某个阈值(临界值)，则称发生了灾害。因此，所谓灾变是相对于所研究的问题的表征变量而言的。是否发生灾变要依据有关的表征变量的数值大小而定。譬如，旱灾和涝灾是相对于农作物生长过程中，作物需水与大气降水的差值大小而言的。如果以降水量作为旱涝灾害标征指标，则只有当降水量小于(或大于)某一阈值时，才认为发生了旱(或涝)灾。灾变预测就是指对灾变发生的年份的预测。

对于表征系统行为的指标数列：

{x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(N)}                 (7)

规定一个灾变阈值ξ，x(0)(i)中那些≤ξ(或≥ξ)的点被认为是具有异常值的点(灾变发生点)，把它们按原来的编序挑选出来组成一个新的数据序列

             （8）

则式(8)称之为下限(或上限)灾变数列。

作灾变映射

p∶{i′}→{q}                             (9)

则灾变预测就是按灾变日期序列

p={p(1′)，p(2′)，…，p(n′)}           (10)

建立GM(1，1)预测模型所进行的灾变日期预测。

譬如，某地区连续17年的降水量数据如表10-4所示。若规定降水量ξ≤320mm的年份为旱灾年份，试用灾变预测法预测下次旱灾发生的年份。

表1-1  某地区年降水量(单位：mm)

 (1)首先作灾变映射，建立GM(1，1)模型。

作映射

p∶{i′}→{q}

对灾变日期序列

p={p(1′)，p(2′)，p(3′)，p(4′)，p(5′)}

={3，8，10，14，17}

建立GM(1，1)模型

为了书写方便，不妨将p(i′)记为p(i)(i=1，2，3，4，5)将p中的数据作一次累加处理：

p(1)(1)=p(1)=3

p(1)(2)=p(1)+p(2)=11

p(1)(3)=p(1)+p(2)+p(3)=21

p(1)(4)=p(1)+p(2)+p(3)+p(4)=35

p(1)(5)=p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)=52

p(1)(t)可用下述微分方程拟合：

而系统辨识参数为

(12)式中：

因此(5)式就为：

(13)式的时间响应为：

p(1)(i+1)=27.677e-0.25361i-24.677       (14)

(2)误差分析：灾变日期数列的预测计算值与实际值的相对误差计算如下：

计算值            实际值         相对误差

p(2)=7.999        p(2)=8         q(2)=0.125％

p(3)=10.286       p(3)=10        q(3)=-2.86％

p(4)=13.268       p(4)=14        q(4)=5.1％

p(5)=17.099       p(5)=17        q(5)=-0.582％

显然，最大相对误差为5.1％。所以上述模型(14)式可用于预测。

(3)预测：

将i=5，和i=6分别代入(14)式得：

p(1)(5)=51.662，p(1)(6)=73.342

因此：p(6)=p(1)(6)-p(1)(5)=21.68

由于从n=17算起，21.68与17之差为4.68，所以从现在算起将在4年左右发生下一次旱灾。

2.3常用模型3——系统预测模型

灰色系统是指部分信息未知、部分信息已知的系统。灰色系统理论所要考察的是对信息不完备的系统,通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的,研究的是信息不完全的对象,内涵不确定的概念,关系不明确的机制。按其具体对象而言,可分为工程技术系统、农业系统、生态系统、社会系统等,除工程技术系统外其余系统称为本征性系统。灰色系统理论就是研究本征性灰色系统的量化问题,即研究系统的建模、预测、分析、决策和控制。用灰色系统模型进行预测的步骤如下。

2.3.1  累加生成序列

灰色模型通常不直接运用原始序列进行预测,因为原始数据中伴有随机量或噪声,所以先要对原始数据进行去噪处理,使之呈现一定的规律性。累加生成可使上下波动的时间序列变成单调升,并带有线性或指数规律的序列。

     设原始序列：

X= { x(1) , x(2) , x(3) , ⋯, x(k) } 　(1)

 一次累加生成序列:

     X= { x(1) , x(2) , x(3) , ⋯, x((k) }   (2)

式中,    x(1) = x(1) ,

         x(2) = x(1) + x(2)… ,

         x(k) = 

　　n 次累加生成序列:

X = { x(1) , x(2) , x(3) ,…, x(k) } 　(3)

x(k)=             （4）

2.3.2  灰色系统建模与预测方法

  灰色系统建模是利用较少的或不确切的表示系统行为特征的原始数据序列作生成变换后建立微分方程,目的是求得随机性弱化、规律性强化的新序列。灰色系统模型进行预测要求原始时间序列的时间间隔具有周期性,否则需要将其转换成周期性时间间隔的时间序列,然后再对其进行建模建立微分方程。GM(1 ,1) 模型是最基础的一种只包含单变量的一阶微分方程模型。

由一阶累加生成序列x构成的微分方程为:

            + ax =  b           （5）

写成离散形式为:

         = =x(k+1)-x(k)        (6)

将(6) 式代入(5) 式,其中x =[x(k+1)+x(k)] 得：

         x(k+1)-x(k) + a[x(k+1)+x(k)] = b    (7)

写成矩阵形式:

 =  ╳          (8)

简化(8) 式得:

                   Y = XB                                (9)

由最小二乘原理解得 B =  = (XX)(XY),

将a , b 代入微分方程便可得到预测模型:

x( k + 1) = [ x(1) -]e +                     (10)

2.3.3  累减生成序列

     经过累加生成算法得到的时间序列已失去其原来的物理意义和经济意义,所以经过方

程求解的结果必须还原到原序列,即通过累减生成算法得到原序列。

    对n 次累加生成序列进行一次累减生成:

a[ x( k) ] = x( k) - x( k - 1) =

 -  =

x( k)                                 （11）      

同理推得:

                   （12）

式中a表示经过i 次累减运算算子。

2.3.4  后验差检验

   预测模型得到的预测值必须经过统计检验才能确定其预测精度等级。预测精度等级评价

标准和准则有多种,下面以后验差比值为例讨论灰色模型的预测精度等级。

   后验差比值( C) 是预测残差方差S与原始数据方差S之比,即:

                   C=                     （13）

式中, S = ，S = ；为预测误差均值; x 为原始数据均值。

根据C 值的大小,可将预测精度分为四级,见表1-2。

             表1-2  精度等级

2.4常用模型4——拓扑预测模型

  GM(1，1)模型的特点是能反映事物的发展变化趋势，然而它形状简单，是一特定的指数曲线，不能反映变幅度大，波形起伏大，不规则的任意波形。拓扑预测是灰色预测方法之一，它的实质是对系统(原始数据)行为的变化波形进行预测，从现有波形来预测未来发展变化的波形，因此它弥补了单一GM(1，1)模型的不足之处，故当原始数据频频波动且摆动幅度较大时，通常采用拓扑预测。拓扑预测又称图形预测，是根据系统特征值分层次用GM(1，1)模型群进行预测。将现有数据做成曲线图，取定一组阈值，在曲线上寻找与阈值相对应的时刻数据，用时刻数据分别建立GM(1，1)模型，以预测这些阈值未来出现的时刻。将各个未来发生的阈值联成曲线， 以了解整个数据曲线未来的发展变化。其基本步骤如下：

(1)根据原始数列x(k)，以时间为横坐标，数据为纵坐标，在平面上作(k，x(k))发展曲线。

(2)取其阈值ζ(i=1,2，⋯，m)，

   且Minx≤ζ≤Maxx

(3)在折线图上作高度为ζ的水平线，得交点横坐标数列x={x，x，…，x}

(4)对序列x建立GM(1，1)模型群

x（k+1)=(x-)e+

(5)检验模型群精度，模型精度分级标准见表1。

(6)将未来发生时刻预测值与阈值组成的点在平面上描绘成曲线，即得拓扑预测曲线。

灰色拓扑改进预测算法

灰色拓扑改进预测算法是结合灰色预测理论GM(1 ,1) 模型、拓扑预测与最小二乘法提出来的一种新方法. 基本思想:

(1) 根据已有的数据作最小二乘法,求出一条拟合直线y = kx + b ;

(2) 作平行于拟合直线的2 条直线yi = kxi +bi ( i = 1 ,2) ,使这2 条直线和已有的数据折线至少有4 个交点,并使这2 条直线的距离越大越好;

(3) 用这2 条直线和已有数据折线交点的横坐标,分别建立GM(1 ,1) 模型,求下一个交点;

(4) 通过两个预测交点,可以得到一条预测直线,代入数据即可求出预测值.

3．本功能模型的发展展望

  自邓聚龙教授提出灰色系统理论以来，灰色系统模型已广泛应用于工业、农业、水利、地质、科教、军事等众多领域。在灰色系统理论发展过程中，很多学者通过理论分析和实践检验对其基础模型——GM（1,1）模型进行了深入研究，提出不少有益的改进方法，主要包括：残差修正法，优化灰导数法，中心逼近法，背景值构造法，时间响应函数优化法等。

   灰色预测方法的特点表现在：首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。

   与普通的预测方法比较, 灰色预测方法有着独特的优点。一般系统理论只能建立差分方程模型, 从而也就只能按阶段进行分析系统的发展, 也就只能用于较短时期的分析与预测。而灰色系统理论基于关联度收敛原理、生成数、灰导数及微分方程的观点和方法, 建立的是微分方程模型, 从而克服了上述不足。而且灰色模型是处理“小样本”、“贫信息”和“不确定性”问题的有效手段。

与大家熟知的概率统计方法比较, 灰色系统理论在处理数据的方式上是更好的。该理论认为一切随机量都有可以看作在一定范围内变化的灰色量。对灰色量的处理不是找概率分布, 求统计规律, 而是用数据处理的方式来找数据间的规律。这样就克服了概率统计方法因数据太多而造成计算工作量太大的缺点, 并且还扩大了解决问题的范围。

目前，灰色系统理论得到了极为广泛的应用，不仅成功地应用于工程控制、经济管理、社会系统、生态系统等领域，而且在复杂多变的农业系统，如在水利、气象、生物防治、农机决策、农业规划、农业经济等方面也取得了可喜的成就。灰色系统理论在管理学、决策学、战略学、预测学、未来学、生命科学等领域展示了极为广泛的应用前景。

如果我们能够很好的掌握预测模型，那我们就可以在实际生活中更方便的处理一些事情，如旱灾与水灾的来临，地震的监测与预测，从而减少人民的生命财产损失。让我们携手共同为灰色预测模型奋斗吧！ 

1参考文献: 

[1]邓聚龙.灰色系统理论教程[M].华中科技大学出版社，2006年.

[2]邓聚龙. 灰色控制系统[M]. 第2 版. 武汉:华中理工大学出版社,2006:368.

[3]兰孝奇，严红萍，刘精攀.灰色系统预测模型在沉降监测中的应用[J].河海大学 南京市 210098 ，2005.

[4]邓聚龙．灰色控制系统[M]．武昌：华中工学院出版社，2005

[5]陈庆吉，王殿选．GM（1,1）模型的动态特性分析[J].系统理论与实践，2007，17(12}129-133．

[6]Kong Fan-ling．The Forecast of the Epidemic Situation in the Systems Science and Applications．2009，Speciallssue：45-50

[7]杨思全，陈亚宁.亚欧桥段环境灾害的灰色拓扑预测[J]．环境科学，2009，2l(4)：1-24．

[8]徐忠昌,吴冬冬. 声场计算中一类奇异积分的数学处理[J].船电子工程(已录用,2009. 07) .

[9]Deng J L.Introduction to grey system theroy[J].The Journal of Grey System(UK),2008,1(1):1-24.

[10]Deng J L.Grey Prediction and Grey Decision[M].WuHan:Press of Huazhong University of Science&Technology,2007:43-51.

[11]刘思峰，郭天榜，党耀国，等.灰色系统理论及其应用[M].北京：科学出版设，2005:26-29.

[12]穆勇.优化灰导数白化值的无偏灰色GM（1,1）模型[J].数学的实践与认识，2008,33（3）：13-16.

[13]王义闹，刘开第.优化灰导数白化值的GM（1,1）建模法[J].系统工程理论与实践，2005,21（5）：124-128.

[14]宋中民，同小军，肖新平.中心逼近式灰色GM（1,1）模型[J].系统工程理论与实践，2005,21（5）：110-113.

[15]谭冠军.GM（1,1）模型的背景值构造方法和应用[J].系统工程理论与实践,2007,20(4):99-103.

[16]刘斌，刘思峰，翟振杰，等.GM（1,1）模型时间响应函数的最优化[J].中国管理科学，2007,5（8）：50-53.

[17]罗党，刘思峰，党耀国.灰色模型GM（1,1）优化[J].中国工程科学，2006,5（8）：50-53.

[18]邓聚龙.灰色系统基本方法（汉英对照）［M］·华中科技大学出版社，2005:2-10。