高一数学《数列》经典练习题_附答案

数列

1．{an}是首项a1＝1，公差为d＝3的等差数列，如果an＝2 005，则序号n等于(     )．

A．667                B．668                C．669                D．670

2．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝(     )．

A．33                B．72                C．84                D．1

3．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则(     )． 

A．a1a8＞a4a5        B．a1a8＜a4a5        C．a1＋a8＜a4＋a5    D．a1a8＝a4a5

4．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则

｜m－n｜等于(     )．

A．1                B．                C．                D．  

5．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为(     ).

A．81              B．120              C．168              D．192

6．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是(     )．

A．4 005                B．4 006                C．4 007                D．4 008 

7．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列, 则a2＝(     )．

A．－4                B．－6                C．－8                D． －10

8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(     )．

A．1                B．－1                C．2                D．

9．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是(     )．

A．                B．－                C．－或            D．

10．在等差数列{an}中，an≠0，an－1－＋an＋1＝0(n≥2)，若S2n－1＝38，则n＝(     )．

A．38                B．20                C．10                D．9

二、填空题

11．设f(x)＝，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为                     .

12．已知等比数列{an}中，

(1)若a3·a4·a5＝8，则a2·a3·a4·a5·a6＝                ．

(2)若a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝                ．

(3)若S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19＋a20＝                  .

13．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为    ．

14．在等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则此数列前13项之和为     .

15．在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝              .

16．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝         ；当n＞4时，f(n)＝       ． 

三、解答题

17．(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n，求证数列{an}成等差数列.

(2)已知，，成等差数列，求证，，也成等差数列.

18．设{an}是公比为 q 的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．

(1)求q的值；

(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．

19．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1，2，3…)．

求证：数列{}是等比数列．

参

一、选择题

1．C

解析：由题设，代入通项公式an＝a1＋(n－1)d，即2 005＝1＋3(n－1)，∴n＝699．

2．C

解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．

设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，由题意得a1＋a2＋a3＝21，

即a1(1＋q＋q2)＝21，又a1＝3，∴1＋q＋q2＝7．

解得q＝2或q＝－3(不合题意，舍去)，

∴a3＋a4＋a5＝a1q2(1＋q＋q2)＝3×22×7＝84．

3．B．

解析：由a1＋a8＝a4＋a5，∴排除C．

又a1·a8＝a1(a1＋7d)＝a12＋7a1d，

∴a4·a5＝(a1＋3d)(a1＋4d)＝a12＋7a1d ＋12d2＞a1·a8．

4．C

解析：

解法1：设a1＝，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，而方程x2－2x＋m＝0中两根之和为2，x2－2x＋n＝0中两根之和也为2，

∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4，

∴d＝，a1＝，a4＝是一个方程的两个根，a1＝，a3＝是另一个方程的两个根．

∴，分别为m或n，

∴｜m－n｜＝，故选C．

解法2：设方程的四个根为x1，x2，x3，x4，且x1＋x2＝x3＋x4＝2，x1·x2＝m，x3·x4＝n．

由等差数列的性质：若γ＋s＝p＋q，则aγ＋as＝ap＋aq，若设x1为第一项，x2必为第四项，则x2＝，于是可得等差数列为，，，，

∴m＝，n＝，

∴｜m－n｜＝．

5．B

解析：∵a2＝9，a5＝243，＝q3＝＝27，

      ∴q＝3，a1q＝9，a1＝3，

      ∴S4＝＝＝120．

6．B

解析：

解法1：由a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，知a2 003和a2 004两项中有一正数一负数，又a1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a2 003＞a2 004，即a2 003＞0，a2 004＜0.

∴S4 006＝＝＞0，

∴S4 007＝·(a1＋a4 007)＝·2a2 004＜0，

故4 006为Sn＞0的最大自然数. 选B．

(第6题)

解法2：由a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，同解法1的分析得a2 003＞0，a2 004＜0，

∴S2 003为Sn中的最大值．

∵Sn是关于n的二次函数，如草图所示，

∴2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小，

∴在对称轴的右侧．

根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点B的左侧，4 007，4 008都在其右侧，Sn＞0的最大自然数是4 006．

7．B

解析：∵{an}是等差数列，∴a3＝a1＋4，a4＝a1＋6，

又由a1，a3，a4成等比数列，

∴(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝－8，

∴a2＝－8＋2＝－6．

8．A

解析：∵＝＝＝·＝1，∴选A．

9．A

解析：设d和q分别为公差和公比，则－4＝－1＋3d且－4＝(－1)q4，

∴d＝－1，q2＝2，

∴＝＝．

10．C

解析：∵{an}为等差数列，∴＝an－1＋an＋1，∴＝2an，

又an≠0，∴an＝2，{an}为常数数列，

而an＝，即2n－1＝＝19，    

∴n＝10．

二、填空题

11．．

解析：∵f(x)＝，

∴f(1－x)＝＝＝，

∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝＝＝．

设S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)，

则S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)，

∴2S＝[f(6)＋f(－5)]＋[f(5)＋f(－4)]＋…＋[f(－5)＋f(6)]＝6，

∴S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝3．

12．（1）32；（2）4；（3）32．

解析：（1）由a3·a5＝，得a4＝2，

∴a2·a3·a4·a5·a6＝＝32．

（2），

∴a5＋a6＝(a1＋a2)q4＝4．

（3），

∴a17＋a18＋a19＋a20＝S4q16＝32．

13．216．

解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与，同号，由等比中项的中间数为＝6，插入的三个数之积为××6＝216．

14．26．

解析：∵a3＋a5＝2a4，a7＋a13＝2a10，

∴6(a4＋a10)＝24，a4＋a10＝4，

∴S13＝＝＝＝26．

15．－49．

解析：∵d＝a6－a5＝－5，

∴a4＋a5＋…＋a10

＝

＝

＝7(a5＋2d)

＝－49．

16．5，(n＋1)(n－2)．

解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，∴f(k)＝f(k－1)＋(k－1)．

由f(3)＝2，

f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，

f(5)＝f(4)＋4＝2＋3＋4＝9，

……

f(n)＝f(n－1)＋(n－1)，

相加得f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝(n＋1)(n－2)．

三、解答题

17．分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数．

证明：（1）n＝1时，a1＝S1＝3－2＝1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，

n＝1时，亦满足，∴an＝6n－5(n∈N*)．

首项a1＝1，an－an－1＝6n－5－[6(n－1)－5]＝6(常数)(n∈N*)，

∴数列{an}成等差数列且a1＝1，公差为6．

（2）∵，，成等差数列，

 ∴＝＋化简得2ac＝b(a＋c)．

 ＋＝＝＝＝＝2·，

∴，，也成等差数列．

18．解：（1）由题设2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q，

∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，

∴q＝1或－．

（2）若q＝1，则Sn＝2n＋＝．

当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝＞0，故Sn＞bn．

若q＝－，则Sn＝2n＋ (－)＝．

当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝，

故对于n∈N+，当2≤n≤9时，Sn＞bn；当n＝10时，Sn＝bn；当n≥11时，Sn＜bn．

19．证明：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，

∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，整理得nSn＋1＝2(n＋1) Sn，

所以＝．  故{}是以2为公比的等比数列．