2013年高考天津卷(文)

第Ⅰ卷

一、选择题

1．已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B等于(　　)

A．(－∞，2]  B．[1,2]

C．[－2,2]  D．[－2,1]

答案　D

解析　A＝{x∈R||x|≤2}＝[－2,2]，B＝{x∈R|x≤1}＝(－∞，1]，∴A∩B＝[－2,2]∩(－∞，1]＝[－2,1]，选D.

2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为(　　)

A．－7  B．－4  C．1  D．2

答案　A

解析　

可行域如图阴影部分(含边界)

令z＝0，得直线l0：y－2x＝0，平移直线l0知，当直线l过A点时，z取得最小值．

由得A(5,3)．

∴z最小＝3－2×5＝－7，选A.

3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为(　　)

A．7  B．6

C．5  D．4

答案　D

解析　第一次运行：S＝0＋(－1)1·1＝－1<2，

第二次运行：n＝2，S＝－1＋(－1)2×2＝1<2；

第三次运行：n＝3，S＝1＋(－1)3×3＝－2<2；

第四次运行：n＝4，S＝－2＋(－1)4×4＝2，满足S≥2，

故输出的n值为4，选D.

4．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“aA．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　由(a－b)a2<0⇒a≠0且a由a5．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a等于(　　)

A．－  B．1  C．2  D. 

答案　C

解析　圆心为O(1,0)，由于P(2,2)在圆(x－1)2＋y2＝5上，∴P为切点，OP与P点处的切线垂直．

∴KOP＝＝2，又点P处的切线与直线ax－y＋1＝0垂直．∴a＝KOP＝2，选C.

6．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为(　　)

A．－1  B．－  C.  D．0

答案　B

解析　∵x∈，∴－≤2x－≤，令n＝2x－，则sin＝sin n在n∈上的最小值为sin＝－.选B.

7．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2 α)＋f(log a)≤2f(1)，则a的取值范围是(　　)

A．[1,2]  B. 

C.  D．(0,2]

答案　C

解析　由题意知a>0，又loga＝log2 a－1＝－log2 a.

∵f(x)是R上的偶函数，∴f(log2 a)＝f(－log2 a)＝f(loga)．

∵f(log2 a)＋f(log a)≤2f(1)，

∴2f(log2 a)≤2f(1)，即f(log2 a)≤f(1)．又因f(x)在[0，＋∞)上递增．

∴|log2 a|≤1，－1≤log2 a≤1，∴a∈，选C.

8．设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则(　　)

A．g(a)<0C．0答案　A

解析　对于f(x)＝ex＋x－2，f′(x)＝ex＋1>0，f(x)在R上递增，

由于f(0)＝e0－2＝－1<0，

f(1)＝e＋1－2＝e－1>0，

∴由f(a)＝0知0对于g(x)＝ln x＋x2－3(x>0)，g′(x)＝＋2x>0(∵x>0)，

∴g(x)在(0，＋∞)上也递增，

由于g(1)＝－2<0，g(2)＝ln 2＋1>0，

∴由g(b)＝0知1故f(b)>f(1)>0，g(a)第Ⅱ卷

二、填空题

9．i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________.

答案　5－5i

解析　(3＋i)(1－2i)＝3×1－1×(－2)＋(1×1－2×3)i＝5－5i.

10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为________．

答案　

解析　设正方体的棱长为a，外接球的半径为R，由题意知πR3＝，∴R3＝，而R＝.

由于3a2＝4R2，∴a2＝R2＝×2＝3，∴a＝.

11．已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．

答案　x2－＝1

解析　由y2＝8x,2p＝8，p＝4，∴其准线方程为x＝－2.

双曲线的左焦点为(－2,0)，c＝2，又e＝2，而＝2，∴a＝1，b2＝c2－a2＝3，故双曲线的方程为x2－＝1.

12．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．

答案　

解析　在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则＝，

∴＝＝－，又＝＋，

∴·＝(＋)·(－)

＝2－·＋·－2

＝||2＋||||cos 60°－||2

＝1＋×||－||2＝1.

∴||＝0，又||≠0，

∴||＝.

13．如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB＝AD＝5，BE＝4，则弦BD的长为________．

答案　

解析　由切割线定理得EB·EC＝EA2，

∴4×(4＋5)＝EA2，∴EA＝6，

由于AB＝AD＝5，AE为切线，

∴∠α＝∠β ＝∠v

在△ABE中，由余弦定理得，

42＝52＋62－2×5×6cos v，

∴cos v＝＝，而cos β＝，

∴BD＝2ABcos β＝2×5×＝.

14．设a＋b＝2b>0，则＋的最小值为________．

答案　

解析　∵a＋b＝2，b>0，显然b≠2(∵a≠0)，

∴a＝2－b.

①当00，f(b)＝＋＝＋＝－－1，

f′(b)＝－，

令f′(b)＝0，解得b＝.

当b∈时，f′(b)<0；当b>时，f′(b)>0.

∴当b＝时，f(b)最小＝.

②当b>2时，a＝2－b<0，

f(b)＝＋＝－＋1，

f′(b)＝＋，

令f′(b)＝0得b＝4.

当b∈(2,4)时，f′(b)<0，得b∈(4，＋∞)时，f′(b)>0.

故当b＝4时，f(b)最小＝.

综上f(b)最小＝.

三、解答题

15．某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：

(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；

(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品．

(ⅰ)用产品编号列出所有可能的结果；

(ⅱ)设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．

解　(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：

(2)(ⅰ)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．

(ⅱ)在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．

所以P(B)＝＝.

16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsin A＝3csin B，a＝3，cos B＝.

(1)求b的值；

(2)求sin的值．

解　(1)在△ABC中，由＝，可得bsin A＝asin B，

又由bsin A＝3csin B，可得a＝3c，又a＝3，故c＝1.

由b2＝a2＋c2－2accos B，cos B＝，可得b＝.

(2)由cos B＝，得sin B＝，进而得

cos 2B＝2cos2 B－1＝－，sin 2B＝2sin Bcos B＝.

所以sin＝sin 2Bcos－cos 2Bsin＝.

17．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．

(1)证明：EF∥平面A1CD；

(2)证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；

(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．

(1)证明　如图，

在三棱柱ABCA1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，连接ED，在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE＝AC且DE∥AC，又因为F为A1C1的中点，可得A1F＝DE，且A1F∥DE，即四边形A1DEF为平行四边形，所以EF∥DA1.

又EF⊄平面A1CD，DA1⊂平面A1CD，所以，EF∥平面A1CD.

(2)证明　由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，又由于侧棱A1A⊥底面ABC，CD⊂平面ABC，所以A1A⊥CD，又A1A∩AB＝A，因此CD⊥平面A1ABB1，而CD⊂平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.

(3)解　在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D交直线A1D于点G，连接CG.由于平面A1CD⊥平面A1ABB1，而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线，故BG⊥平面A1CD.由此得∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角．

设棱长为a，可得A1D＝，由△A1AD∽△BGD，易得BG＝.在Rt△BGC中，sin ∠BCG＝＝.

所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.

18．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值．

解　(1)设F(－c,0)，由＝，知a＝c.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有＋＝1，解得y＝±，于是＝，解得b＝，又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.

(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.

求解可得x1＋x2＝－，x1x2＝，

因为A(－，0)，B(，0)，所以

·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)

＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)

＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2

＝6＋.

由已知得6＋＝8，解得k＝±.

19．已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)证明：Sn＋≤(n∈N*)．

(1)解　设等比数列{an}的公比为q，因为－2S2，S3,4S4成等差数列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为an＝×n－1＝(－1)n－1·.

(2)证明　Sn＝1－n，Sn＋＝1－n＋＝

当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，所以Sn＋≤S1＋＝.

当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，所以Sn＋≤S2＋＝.

故对于n∈N*，有Sn＋≤.

20．设a∈[－2,0]，已知函数f(x)＝

(1)证明：f(x)在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增；

(2)设曲线y＝f(x)在点Pi(xi，f(xi))(i＝1,2,3)处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明：x1＋x2＋x3>－.

证明　(1)设函数f1(x)＝x3－(a＋5)x(x≤0)，

f2(x)＝x3－x2＋ax(x≥0)，

①f1′(x)＝3x2－(a＋5)，由a∈[－2,0]，从而当－1②f2′(x)＝3x2－(a＋3)x＋a＝(3x－a)(x－1)，由于a∈[－2,0]，所以当01时，f2′(x)>0，即函数f2(x)在区间[0,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．

综合①，②及f1(0)＝f2(0)，可知函数f(x)在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．

(2)由(1)知f′(x)在区间(－∞，0)内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增．因为曲线y＝f(x)在点Pi(xi，f(xi))(i＝1,2,3)处的切线相互平行，从而x1，x2，x3互不相等，且f′(x1)＝f′(x2)＝f′(x3)．不妨设x1<0可得3x－3x－(a＋3)(x2－x3)＝0，解得x2＋x3＝，从而0设g(x)＝3x2－(a＋3)x＋a，则g－＋，

设t＝，则a＝，因为a∈[－2,0]，所以t∈，

故x1＋x2＋x3>－t＋＝(t－1)2－≥－，即x1＋x2＋x3>－.