高中数学高考模拟训练系列试题(8)

理科数学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，保有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在机读卡的相应位置上.

1.设集合P={x|sinx=1,x∈R},Q={x|cosx=-1,x∈R},S={x|sinx+cosx=0,x∈R},则

    A.P∩Q=S            B.P∪Q=S            C.P∪Q∪S=R            D. (P∪Q) S

2.方程所表示的曲线的对称性是

A.关于原点对称                            B.关于两坐标轴对称

C.关于直线y=x                            D.关于直线y=-x对称

3.若复数z满足对应关系f(1-z)=2z-i，则(1+i)·f(1-i)=

    A.1+I                B.-1+i                C.2                    D.0

4.数列{}中，若(n≥2, n∈N)，则的值为

A.-1                    B.                C.1                    D.2

5.已知两圆⊙和都经

   A.2x-y+2=0                                B.x-2y-2=0

   C.x-2y+2=0                                D.2x+y-2=0

6.若关于x的方程4cos x-cosx+m-3=0恒有实数解，则实数m的取值范围是

   A.［-1，+］        B.［-1,8］            C. ［0,5］            D. ［0,8］

7.已知正方体ABCD-的棱长为1，对于下列结论：

①BD⊥平面ADC；②AC和AD所成角为45°；③点A       与点C在该正方体外接球表面上的球面距离为.其中正确结论的个数是

   A.0                B.1                        C.2                D.3

8.若函数f(x)的导函数为f′(x)=-x(x+1)，则函数g(x)=f(logx)(0   A.［-1,0］                                B. ［］

   C. ［1，］                                D. (-)［，+］

9.将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若 点P满足=-，则||的值为

   A.                        B.2

   C.                D. 

10.反复抛掷一个骰子，依次记录下每一次抛掷落地时向上的点数，当记有三个不同点数时即停止抛掷，若抛掷五次恰好停止，则记有这五次点数的所有不同记录结果的种数有

   A.360种            B.840种                C.600种                D.1680种

11.已知直线y=kx(k>0)与函数y=2sin(x-)的图象(如图所示)有且仅有两个公共点，若这两个公共点的横坐标分别为α、β，且β<α，则下列结论中正确的是

   A.tan(α-)=β                        B.tan(β-)=α

   C.tan(α-)=α                        D.tan(β-)=β

12.已知点、为双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点，P为右支上一点，点P到右准线的距离为d,若|P|、|P|、d依次成等差数列，则此双曲线离心率取值范围是

   A.                         B. (1，］

   C.［2+，+)                D.［2-,2+］

二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

把答案填在题中横线上.

13.已知，则实数m的值为___________.

14.作为首批“中国最佳旅游城市”的成都，市民们喜欢节假日到近效休闲和旅游.去年，相关部们对成东“五朵金花”之一的某景区在“五一”黄金周中每天的游客人数作了统计，其频率分如下表所示：

15.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量.在平面直角坐标中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(2,1)且法向量为n=(-1，2)的直线(点法式)方程为-(x-2)

+2(y-1)=0，化简后得x-2xy=0.类比以上求法，在空间直角坐标系中，经过点A(2,1，3)，且法向量为n=(-1，2,1)的平面(点法式)方程为__________________ (请写出化简后的结果).

16.定义在R上的函数f(x)满足f(x+)+ f(x)=0，且函数f(x+)为奇函数，给出下列结论：①函数f(x)的最小正周期是；②函数f(x)的图象关于点(，0)对称；③函数f(x)的图象关于直线x=对称；④函数f(x)的最大值为f().

其中正确结论的序号是_________________________.(写出所有你认为正确的结论的符号)

三、解答题：(本大题共6小题，共74分)

17.(本小题满分12分)

在锐角三角形ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且tanB.

(Ⅰ)若求A、B、C的大小；

  (Ⅱ)已知向量，求|3m-2n|的取值范围.

18.(本小题满分12分)

如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC-ABC中，侧面AACC⊥底面ABC，        

∠AAC=60°.

(Ⅰ)求侧棱AA与平面ABC所成角的大小；

(Ⅱ)已知点D满足，在直线AA上是否存在点P，使DP∥平面ABC？

若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由.

19.(本小题满分12分)

一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为q.若第k次出现“○”，则a=1；出现“×”，则a=-1.令S=a+a+…+a.

(Ⅰ)当p=q=时，记ξ=|S|，求ξ的分布列及数学期望；

(Ⅱ)当p=，q=时，求S=2且S≥0(i=1,2，3,4)的概率.

20.(本小题满分12分)

已知数列{ a}的前n项和为S，a=1，S=2S+3n+1(n∈N*).

(Ⅰ)证明：数列{ a+3}是等比数列；

(Ⅱ)对k∈N*，设f(n)=求使不等式f(m)>f(2m)成立的自然数m的最小值.

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)= (m∈R，e=2.718 28…是自然数对数的底数).

(Ⅰ)求函数f(x)的极值；

(Ⅱ)当x>0时，设f(x)的反函数为f (x)，对022.(本小题满分14分)

   如图，与抛物线x=-4y相切于点A(-4，-4)的直线l分别交x 轴、y轴于点F、E，过点E作y轴的垂线l.

(Ⅰ)若以l为一条准线，中心在坐标原点的椭圆恰与直线l也相切，切点为T，求椭圆的方程及点T的坐标；

(Ⅱ)若直线l与双曲线6x-λy=8的两个交点M、N，且点A为线段MN的中点，又过点E的直线与该双曲线的两支分别交于P、Q两点，记在x轴正方向上的投影为p，且()P=m，m∈［］，求(Ⅰ)中切点T到直线PQ的距离的最小值.

高中数学高考模拟训练系列试题（8）

理科数学

参及评分意见

一、选择题：(每小题5分，共60分)

1.D.由sinx=1,由cosx=-1,其中k∈Z,∴P∩Q=.

2.D.以-x换y,以-y换x，方程不变，故曲线关于直线y=-x对称.

3.B.令z=I，则f(1-i)=I,∴(1+i)·f(1-i)=(1+i)·i=-1+i.

4.A.a1=,…,可推测数列{an}以3为周期，∵2007=3×639，

∴a2007=a3=-1.也可直接推出an+3=an.

5.A.将点A(2，-1)代入方程，得即直线2x-y+2=0过点(D1，E1)和点(D2，E2).

6.D.方程可变形为m=cos2x-4+3=(cosx-2)2-1∈［0，8］

7.C.由三垂线定理易证BD1⊥A1D，BD1⊥A1C1；②中夹角应为60°；正方体外接球半径为，点A与点C1的球面距离恰为大圆周长的一半，即π.故①③正确.

8.C.函数y=logax(09.D.由题意，翻折后AC=AB=BC，∴∠ABC=60°,解得.

10.B前四次抛掷只出现了两上不同点数，第五次恰 出现第三个不同点数，∴C

11.C.直线y=kx(k>0)与函数y=2sin(x-)的图象相切，y′=2cos(x-),所以切线方程为y=2xcos (α-).∴tan(α-)=α.

12.A.设P(x0,y0)，则x0≥a.∵2|PF2|=d+|PF1|,|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF2|=d+2a，故ex0-a=x0-.

二、填空题：(每小题4分，共16分)

13.0或2.m的可能取值为0、1、2，仅当m=0或2时， 

14. 48 .步率0.3是0.05的6倍，所以游客人数最多的那一天(5月5日)的营业额约为48万元.

15.x-2y-z+3=0 .设平面内任意一点坐标为P(x,y,z)，则由可得.

16.②③.∵f(x)=-f(x+),∴f(x+),∴f(x+)=-f(x+5),即f(x)=f(x+5),

∴T=5,又f(-x+)=-f(x+),即-f(x)=f(2×-x),f(x)的图象关于点(，0)对称，由f(x)=-f(-x)=- f-(+x),∴f(x)的图象关于直线x=对称，但不一定在x=时取得最大值.

三、解答题：(共74分)

17.解：∵，又△ABC为锐角三角形，

∴.

∵0∴A-B=，0∴A-B=.

(Ⅰ)∵a2-ab=c2-b2，

∴cosC=

由解得A=

∴A=.

(Ⅱ)|3m-2n|2=9m2+4n2-12m·n=13-12(sinAcosB+cosAsinB)

          =13-12sin(A+B)=13-12sin(2B+).

∵△ABC为锐角三角形，A-B=，

∴C=π-A-B<<2B+<.

∴sin(2B+)∈(,1).

∴|3m-2n|2∈(1,7).

∴|3m-2n|的取值范围是(1，).

18.解：∵侧面A1ACC1⊥底面ABC，作A1O⊥AC于点O，

∴A1O⊥平面ABC.

又∠ABC=∠A1AC=60°，且各棱长都相等，

∴AO=1，OA1=OB=，BO⊥AC.

故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则

A(0，-1，0)，B(，0，0)，A1(0，0，)，C(0，1，0)， 

∴.

设平面AB1C的法向量为n=(x,y,1)

则

解得=(-1,0,1).

由cos<>=

而侧棱AA1与平面AB1C所成角，即是向量与平面AB1C的法向量所成锐角的余角，

∴侧棱AA1与平面AB1C所成角的大小为arcsin

(Ⅱ)∵而

∴

又∵B(，0，0)，∴点D的坐标为D(-，0，0).

假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P(0，y，z).

∴

∵DP∥平面AB1C， =(-1，0，1)为平面AB1C的法向量，

∴由，得

又DP平面AB1C，

故存在点P，使DP∥平面AB1C，其从标为(0，0，)，即恰好为A1点.

19.解(Ⅰ)∵ξ=|S3|的取值为1、3，又p=q=

∴P(ξ=1)=C

∴ξ的分布列为ξ  1  3  P    

∴Eξ=1×+3×=.

(Ⅱ)当S8=2时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知Si≥0(I=1,2,3,4),

若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；

若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次.

故此时的概率为P= (或).

20.解：(Ⅰ)∵a1=1,Sn+1=2Sn+3n+1,

∴S2=2S1+4=a1+a2.∴a2=5.

又当n≥2时，Sn=2Sn-1+3(n-1)+1,

∴Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+3，即得an+1=2an+3.

可变形为an+1+3=2(an+3),∴

而

(Ⅱ)由(Ⅰ)，知an+3=4·2n-1.

∴an=2n+1-3,Sn=

∴f(n)=.

(1)当m为偶数时，∵f(m)>m+1,f(2m2)=2m2+1,

∴不存在自然数m，使f(m)>f(2m2)恒成立.

(2)当m为奇数时，f(m)=2m+1-1,f(2m2)=2m2+1,而f(m)>f(2m2),

当m=1时，f(m)=21+1-1=3=f(2m2)=3；

当m=3时，f(m)=23+1-1=15当m=5时，f(m)=25+1-1=63>f(2m2)=51；

又当m≥5时，f(m)=2m+1-1=2·2m-1=2(1+C)-1

                              ≥2m2+2m+3>2m2+1=f(2m2).

即当≥5且为奇数时，f(m)为奇数时，f(m)>f(2m2)成立，此时m的最小值为5.

(也可用数学归纳法证蜎上述结果)

综上可知，使f(m)>f(2m2)成立的自然数m的最小值为5.

21.解：(Ⅰ)∵当x>0时，f(x)=ex-1在(0，+∞)上单调增，且f(x)=ex-1>0；

当x≤0时，f(x)=，此时f′(x)=x2+2mx=x(x+2m).

(1)若m=0时，f′(x)=x2≥0，则f(x)=在(-∞，0)上单调递增，且f(x)=ex-1>0；

又f(0)=0，可知函数f(x)在R上单调递增，无极值.

(2)若m<0，令f′(x)=x(x+2m)>0x<0或x>-2m(舍去).

函数f(x)=在(-∞，-2m)上单调递增，

同理，函数f(x)在R上单调递 增，无极值；

(3)若m>0，令f′(x)=x(x+2m)>0或x<-2m.

函数f(x)=在(-∞，-2m)上单调递增，在(-2m,0)上单调递减.

此时函数f(x)在x=-2m处取得极大值：f(-2m)=；

又f(x)在(0，+∞)上单谳递增，故在x=0处取得极小值；f(0)=0.

综上可知，当m>0进，f(x)的极大值为极小值为0；当m≤0时，f(x)无极值.

(Ⅱ)当x>0时，设y=f(x)=ex-1.

∴f -1(x)=ln(x+1)(x>0).

(1)比较f(q-p)与f-1(q-p)的大小.

记g(x)=f(x)-f-1(x)=ex-ln(x+1)-1(x>0).

∵g′(x)=ex-在(0，+∞)上是单调递增函数

∴g′(x)>g′(0)=e0-恒成立.

∴函数g(x)在(0，+∞)上单调递增.

∴g(x)>g(0)=e0-ln(0+1)-1=0.

当00，

∴g(q-p)=eq-p-ln(q-p+1)-1>0

(2)比较f  (q-p)与f  (q)- f  (p)的大小.

ln(q-q+1)-［ln(q+1)-ln(p+1)］=ln(q-p+1)-ln(q+1)+ln(p+1)

=lnln

=ln=ln=ln［］.

∵00.

即f  (q-p)> f  (q)- f  (p).……②

(注：也可用分析法或考察函数h(x)=ln(x-p+1)-ln(x+1)+ln(p+1)，x∈(p，+∞).求导可知h(x)在(p，+∞)上单调递增，∴h(x)>h(p)恒成立.而h(p)=0，∴h(x)>0在x∈(p，+∞)上恒成立.∵q∈(p,+ ∞)，∴h(q)>0恒成立.)

∴由①②可知，当0 f  (q-p)> f  (q)- f  (p).         ……3分

22.解：抛物线中，∵导数y′=-，

∴直线l的斜率为y′|=2.

故直线l的方程为y=2x+4。

∴点F、E的坐标分别为F(-2，0)、E(0，4).                      ……1分

(Ⅰ)∵直线l的方程是y=4，

∴以l为一条准线，中心在坐标原点的椭圆方程可设为.

则.

由.

∵直线l与椭圆相切，∴△=16.

而，，解得.

∴所求椭圆方程为.                                ……3分

此时，，即切点T的坐标为T(-).……1分

(Ⅱ)设l与双曲线6x-λy=8的两个交点为M()、N()，显然.

∵点A为线段MN的中点，∴.

由.

而.

∴双曲线的方程为6，即.                     ……1分

∵在x轴正方向上的投影为P,

∴.             ……1分

∴.

而∴.

由.

∵P、Q两点分别在双曲线的两支上，∴6-3k≠0.

∴

∴-

此时.

∴

=                                    ……4分

=

∴

∴.

又-，∴即              ……1分

而切点T到直线PQ的距离为

设

则

令.

∴上单调递增，在［-］上单调递减.

又

∴，即切点T到直线PQ的距离的最小值为2-.     ……2分