按年龄分组的种群增长模型

实验目的

1、利用常差分方程建立实际问题的数学；

2、学会用MATLAB软件计算出模型的相关问题。

实验内容

1、用常差分方程建立按年龄分组的种群增长模型；

2、用MATLAB软件求按年龄分组的种群模型的一些问题。

实验步骤

问题  野生或饲养的动物因繁殖而增加，因自然死亡和人为而减少，不同年龄动物的繁殖率、死亡率有较大差别，因此在研究某一种群数量的变化时，需要考虑按年龄分组的种群增长。

将种群按年龄等间隔地分成若干个年龄组，时间也离散化为时段，给定各年龄组种群的繁殖率和死亡率（在稳定环境下不妨假定它们与时段无关），建立按年龄分组的种群增长模型，预测未来各年龄组的种群数量，并讨论时间充分长以后的变化趋势。

模型及其求解  设种群按年龄等间隔地分成个年龄组，记，时段记作，且年龄组区间与时段长度相等（若5岁为一个年龄组，则5年为一个时段）。以雌性个体为研究对象比较方便，以下种群数量均指其中的雌性。

记第年龄组在时段的数量为；第年龄组的繁殖率为，表示每个（雌性）个体在一个时段内繁殖的数量；第年龄组的死亡率为，表示一个时段内死亡数与总数的比。是存活率。

为建立的变化规律，我们注意到:第1年龄组在时候的数量为各年龄组在第时段繁殖的数量之和，即

                                    (22.1)

而第年龄组在时段的数量是第年龄组在时段存活的数量，即

                        (22.2)

记在时段种群各年龄组的数量为

            。                            (22.3)

这样，有

                                            (22.4)

将归一化后的向量记做,称种群按年龄的分布向量。给定在0时段，各年龄组的初始数量，就可以预测任意时段各年龄组的数量。

设一种群分成5个年龄组, 已知繁殖率存活率。各年龄组现有数量都是100只，下面我们用MATLAB计算。

% 按年龄分组的种群增长

clear all

b=[0,0.2,1.8,0.8,0.2];

s=diag([0.5,0.8,0.8,0.1]);        % 对角阵，对角元素为0.5,0.8,0.8,0.1

L=[b;s,zeros(4,1)];             % 构造矩阵L

x(:,1)=100*ones(5,1);           % 赋初值

K=45;

for k=1:K

 x(:,k+1)=L*x(:,k);           %迭代计算

end

round (x), 

y=diag([1./sum(x)]);            % 为向量x归一化做的计算

z=x*y,                        % z是向量x的归一化

k=0:K;                      

subplot(1,2,1), plot(k,x),grid  % 在一个图形窗内画两张图

subplot(1,2,2), plot(k,z),grid

将归一化后的向量记做，称为种群按年龄分组的分布向量，即各年龄组在时段在数量上占总数的百分比。

y=diag(1./sum(x));             %sum(x) 对列求和

Z=x*y

subplot(1,2,2),plot(k,z),grid

subplot(1,2,2),plot(k,z),grid

得到的结果见表22-1、表22-2和图22.1、图22.2。

表22-1的部分计算结果

矩阵有单特征根，对应特征向量为

                                       （22.5）

对于的其他特征根有，且由（22.4）式确定的满足

                    ，                                     （22.6）

其中是与，，有关的常数（请读者在矩阵可对角化的条件下证明（22.6）式）。

图22.1的图形        图22.2从上到下依次为到的图形

由上述性质可以对时间充分长以后的，做出如下分析（以下记作）；

(1)记归一化的特征向量为，则

                                                            （22.7）

与无关，即按年龄组的分布向量趋向稳定分布。

(2)因为，所以

                                                        （22.8）

即各年龄组的数量按照同一比例增减，称固有增长率。

(3)由的特征方程

                                （22.9）

可知，当

                                    （22.10）

时固有增长率，各年龄组的数量不变，且由（22.5）式知特征向量

                    ，                        （22.11）

再注意到，（22.11）式给出

                                                        （22.12）

即存活率等于同一时段相邻年龄组的数量之比。

（4）用本例的数据对上面的稳态分析作验证。

1）用MATLAB可得矩阵的全部特征根，其中最大的为，由（22.5）式容易计算特征向量，归一化得，与表2.6的计算结果相近，即（22.7）式。

2）在的计算结果中（表22.1），对于大的和的值在附近（的值较小，取整后计算误差较大），即（22.8）式。

3）因比1略大可以由表22-1或表22-2对于大的近似验证（22.12）式。

问题与思考

练习1 Leslie种群年龄结构的差分方程模型

已知一种昆虫每两周产卵一次，六周以后死亡（给出了变化过程的基本规律）。孵化后的幼虫2周后成熟，平均产卵100个，四周龄的成虫平均产卵150个。假设每个卵发育成2周龄成虫的概率为0.09（称为成活率），2周龄成虫发育成4周龄成虫的概率为0.2。

1)假设开始时，0~2，2~4，4~6周龄的昆虫数目相同，计算2周、4周、6周后各种周龄的昆虫数目；

2)讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目的演变趋势：各周龄的昆虫比例是否有一个稳定值？昆虫是无限地增长还是趋于灭亡？

3)假设使用了除虫剂，已知使用了除虫剂后各周龄的成活率减半，问这种除虫剂是否有效？

练习2 按年龄分组的种群增长一般模型及灵敏性分析

对于某种群建立数学模型分析其数量变化规律。这里分析的对象是特定的种群，变化过程可以按相等间隔的时段末来记录。为了精确表现种群的变化，自然需要将种群进行分类，不妨按与时间段长度相同的年龄进行分组。为了简化模型，对每一时段的种群取相同的最大年龄，这里相当于认为很大年龄的那部分视作为相同年龄，在下一个时段全部消失。考虑每一时段中不同年龄组种群数量构成的向量、不同年龄组的繁殖率和存活率。

1）建立差分方程分析种群的变化规律；

2）进行种群数量的稳定性分析，即时间充分长以后种群年龄结构及数量变化；

3）对和关于种群的增减进行灵敏性分析（提示：考虑由和所构作的新参数，解释这个参数的实际意义，并利用它进行灵敏性分析 ）。

补充知识

如下矩阵称为Leslie矩阵

， 

基本概念：设矩阵的特征值为，将它们的模按从大到小的顺序排列（不妨设为）：，则称为矩阵的主特征值，如果，则称为严格主特征值。

Leslie矩阵的几个基本性质：

（1） Leslie矩阵有唯一的正单特征值（重数为1），且为主特征值；若L矩阵第一行有两个相邻元素非零，则它的唯一正特征根为严格主特征值。

（2）如果为矩阵的一个非零特征值，则为与对应的一个特征向量。

（3）若是L矩阵中第一列中非零元素所处的列数，且互素，则为严格主特征值。

进一步阅读和学习材料

1．姜启源等编著. 大学数学实验[M]，北京：清华大学出版社，2005年。