2010年考研数学一真题及参

一、选择题

（1）、极限（  C）

A、1   B、  C、   D、

【详解】

  （2）、设函数，由方程确定，其中F为可微函数，且，则（ B）

A、   B、  C、   D

【详解】 等式两边求全微分得：，

      所以有，，，

      其中，，，，，，，代入即可。

（3）、设是正整数，则反常积分的收敛性( D )

(A)仅与的取值有关     (B)仅与有关

(C)与都有关         (D)都无关

【详解】：显然是两个瑕点，有

对于的瑕点，当时等价于，而收敛（因是正整数），故收敛；对于的瑕点，当时，而显然收敛，故收敛。所以选择D.

（4）、( D )

A、        B、

C、            D、

【详解】：

（5）设A为型矩阵，B为型矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则（ A）

A、秩r(A)=m, 秩r(B)=m        B、秩r(A)=m, 秩r(B)=n

C、秩r(A)=n, 秩r(B)=m         D、秩r(A)=n, 秩r(B)=n

【详解】

(6) 设A为4阶实对称矩阵，且，若A的秩为3，则A相似于      （D）

A．             B. 

 C.         D. 

【详解】设的特征值为，因为为所以

即

又，A必可相似对角化，且对角阵的秩也是3.

所以正确答案为（D）

(7) 设随机变量的分布函数，则 {x=1}=    （C）

A．0   Ｂ.     C.   D. 

【详解】.所以选C

(8) 设为标准正态分布的概率密度，为上的均匀分布的概率密度，若为概率密度，则应满足：（A ）

A、  B、   C、  D、

【详解】由概率密度的性质，有

所以选A。

二、填空题

（9）、设求0     

【详解】

故

（10）、

【详解】

令原式为

（11）、已知曲线的方程为起点是终点是则曲线积分0

【详解】令

（12）、设则的形心坐标

【详解】

（13）设若由形成的向量空间维数是2，则6

【详解】由题意知向量组线性相关，而其中两个向量线性无关，所以，即

（14）设随机变量概率分布为，则2

【详解】由概率密度的性质，有

即为参数为1的泊松分布，则有

三、解答题

（15）（本题满分10分）

求微分方程的通解

 【详解】齐次方程的特征方程为由此得对应齐次方程的通解为

设非齐次方程的特解为代入原方程得从而所求解为

（16）（本题满分10分）

求函数的单调区间与极值

【 详解】由，可得，， 

         判断在区间，，，，函数单增

         在区间，，，，函数单减。

          极小值： 极大值为

单增区间

         单减区间 

（17）（本题满分10分）

（Ⅰ）比较与的大小，说明理由

（Ⅱ）设，求极限

【详解】

令

当时， 

故当时

当时

从而又由

得

由夹逼定理得

（18）（本题满分10分）

求幂级数的收敛域及和函数

【详解】

因为，所以当即时，原幂级数绝对收敛；当时，级数为，显然收敛，故原幂级数的收敛域为。

因为

设

则

因为，所以

从而

收敛域，和函数

（19）（本题满分10分）

设为椭球面上的动点，若在点处的切平面与面垂直，求点的轨迹，并计算曲面积分，其中是椭球面位于曲线上方的部分

  【详解】（1）切平面法向量，因与xOy面垂直，

              所以

             所以轨迹为

           （2）

 （所以）

                原式=

（20）（本题满分11分）

设

已知线性方程组存在2个不同的解，

（Ⅰ）求，；

（Ⅱ）求方程组通解。

【详解】（Ⅰ）由题意知，的增广矩阵为

有2个不同的解

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

等价方程组为

对应齐次线性方程组的基础解系含1个解向量，即

的一个特解为

的通解为（其中为任意常数）。

（21）（本题满分11分）

已知二次型在正交变换下的标准形为，且的第3列为

（Ⅰ）求矩阵；

（Ⅱ）证明为正定矩阵，其中为3阶单位矩阵。

【详解】（Ⅰ）由题意知,其中，则

设的其他任一列向量为

为正交矩阵

（Ⅱ）证明： 

             为实对称矩阵

又的特征值为1，1，0

的特征值为2，2，1，都大于0

为正定矩阵。

（22）（本题满分11分）

设二维随机变量的概率密度为，求常数A及条件概率密度

【详解】由概率密度的性质，可知

又知，有

（注释

）

所以，即

的边缘概率密度为

（23）（本题满分11分）

设总体的概率分布为

【详解】由题知分别服从二项分布，则有

即

（答案仅供参考，最终以教育部标准答案为准）