《整式的乘法与因式分解》单元测试带答案

《整式的乘法与因式分解》单元测试

(时间：120分钟　　满分：150分)

一、选择题(共12小题，总分36分)

1.计算（﹣a2b）3的结果是（　　）

A. ﹣a6b3    B. a6b    C. 3a6b3    D. ﹣3a6b3

2.在中，括号内应填写的代数式是（ ）

A.     B.     C.     D. 

3.下列运算中，正确是(　  　)

A. 3a·2a＝6a2    B. (a2)3＝a9    C. a6－a2＝a4    D. 3a＋5b＝8ab

4.下面运算正确的是(　   )

A. 3ab·3ac＝6a2bc    B. 4a2b·4b2a＝16a2b2

C. 2x2·7x2＝9x4    D. 3y2·2y2＝6y4

5. 下列变形，是因式分解的是（ ）

A. x(x-1)=x2-x    B. x2-x+1 = x(x-1)+1

C. x2-x =" x(x-1)"    D. 2a(b+c)=2ab+2ac

6.如果（x+1）(5x+a)乘积中不含x的一次项,则a为（     ）

A. 5    B. －5    C.     D. 

7.多项式a2－9与a2－3a的公因式是（　　）

A. a＋3    B. a－3    C. a＋1    D. a－1

8.通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等式是（    ）

A     B. 

C.     D. 

9.已知a＋b＝4，ab＝3，则代数式(a＋2)(b＋2)的值是(　 　)

A. 7    B. 9    C. 11    D. 15

10.下列各式可以分解因式的是（　　）

A. x2﹣（﹣y2）    B. 4x2+2xy+y2    C. ﹣x2+4y2    D. x2﹣2xy﹣y2

11.已知x2+mx+25是完全平方式，则m的值为（　　）

A. 10    B. ±10    C. 20    D. ±20

12.如图①，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图②.这个拼成的长方形的长为30，宽为20，则图②中Ⅱ部分的面积是(　　)

A. 60    B. 100    C. 125    D. 150

二、填空题(共6小题，总分18分)

13.计算：2a2·a3＝_______．

14.(－b)2·(－b)3·(－b)5= _____________.

15.已知(xm)n＝x5，则mn(mn－1)的值为_______．

16.若x＋5，x－3都是多项式x2－kx－15的因式，则k＝_______．

17.多项式x2－9与x2－6x＋9有相同的因式是_______．

18.若实数a、b满足a＋b＝5，a2b＋ab2＝－10，则ab的值是_______．

三、解答题(共8小题，总分66分)

19.计算：

(1)2a(b2c3)2·(－2a2b)3；

(2)(2x－1)2－x(4x－1)；

 (3)632＋2×63×37＋372.(用简便方法)

20.分解因式：

(1)2a3－4a2b＋2ab2；

(2)x4－y4.

21.若am＋1bn＋2·a2n－1b2m＝a5b3，则m＋n的值为________．

22.已知：(x＋y)2＝6，(x－y)2＝2，试求：

(1)x2＋y2值；

(2)xy的值．

23.如图，某市有一块长为（3a+b）米、宽为（2a+b）米的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为（a+b）米的正方形雕像．

（1）试用含a、b的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）．

（2）若a=3，b=2，请求出绿化部分的面积．

24.若(x2－3x－2)(x2＋px＋q)展开后不含x3和x2项，求p，q的值．

25.动手操作：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．

提出问题：

(1)观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积：_____________，_____________；

(2)请写出三个代数式(a＋b)2，(a－b)2，ab之间的一个等量关系：___________________________；

问题解决：根据上述(2)中得到的等量关系，解决下列问题：已知x＋y＝8，xy＝7，求x－y的值．

26.常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：

==

这种分解因式方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：

（1）分解因式： ①；②2x﹣2y﹣x2+y2

（2）三边a，b，c 满足，判断的形状．

参

一、选择题(共12小题，总分36分)

1.计算（﹣a2b）3的结果是（　　）

A. ﹣a6b3    B. a6b    C. 3a6b3    D. ﹣3a6b3

【答案】A

【解析】

利用积的乘方性质：（ab）n=an•bn，幂的乘方性质：（am）n=amn，直接计算．

解：（﹣a2b）3=﹣a6b3．

故选A．

2.在中，括号内应填写的代数式是（ ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】B

【解析】

【详解】解：a3+2+6=a3×a2×（a6）=a11．

故括号里面的代数式应当是a6．

故选B．

【点睛】

本题考查同底数幂的乘法．

3.下列运算中，正确的是(　  　)

A. 3a·2a＝6a2    B. (a2)3＝a9    C. a6－a2＝a4    D. 3a＋5b＝8ab

【答案】A

【解析】

【分析】

根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方的性质进行计算，找到正确的答案．

【详解】解：A、3a•2a=6a2，故正确；

B、（a2）3=a6，故错误；

C、不是同类项不能合并，故错误；

D、不是同类项不能合并，故错误；

故选A．

【点睛】本题考查了单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方，熟记计算法则是解题的关键．

4.下面运算正确的是(　   )

A. 3ab·3ac＝6a2bc    B. 4a2b·4b2a＝16a2b2

C. 2x2·7x2＝9x4    D. 3y2·2y2＝6y4

【答案】D

【解析】

【分析】

根据单项式乘单项式法则计算逐一分析即可.

【详解】解:A. 3ab·3ac＝9a2bc,故此答案不正确;    

B. 4a2b·4b2a＝16a3b3,故此答案不正确;

C. 2x2·7x2＝14x4 ,故此答案不正确;  

D. 3y2·2y2＝6y4,故此答案正确;

故选:D.

【点睛】本题考查了单项式乘单项式,掌握单项式乘单项式法则是解决问题的关键.

5. 下列变形，是因式分解的是（ ）

A. x(x-1)=x2-x    B. x2-x+1 = x(x-1)+1

C. x2-x =" x(x-1)"    D. 2a(b+c)=2ab+2ac

【答案】C

【解析】

试题分析：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；

B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；

C、是符合因式分解的定义，故本选项正确；

D、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；

故选C．

考点：因式分解的意义．

6.如果（x+1）(5x+a)的乘积中不含x的一次项,则a为（     ）

A. 5    B. －5    C.     D. 

【答案】B

【解析】

【分析】

把式子展开，找到所有x项的系数，令其为0，求解即可．

【详解】解：∵（x+1）（5x+a）=5x2+ax+5x+a=5x2+（a+5）x+a，

又∵乘积中不含x一次项，

∴a+5=0，解得a=-5．

故选B．

【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．

7.多项式a2－9与a2－3a的公因式是（　　）

A. a＋3    B. a－3    C. a＋1    D. a－1

【答案】B

【解析】

a2－9= ，a2－3a= ，故选B.

8.通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等式是（    ）

A     B. 

C.     D. 

【答案】A

【解析】

【分析】

根据阴影部分面积的两种表示方法，即可解答．

【详解】图1中阴影部分的面积为：，

图2中的面积为：，

则

故选：A.

【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是表示阴影部分的面积．

9.已知a＋b＝4，ab＝3，则代数式(a＋2)(b＋2)的值是(　 　)

A. 7    B. 9    C. 11    D. 15

【答案】D

【解析】

【分析】

先将原式利用多项式乘以多项式法则变形，再将a+b、ab的值代入计算可得．

【详解】解：（a+2）（b+2）

=ab+2a+2b+4

=ab+2（a+b）+4

当a+b=4、ab=3时，

原式=3+2×4+4

=3+8+4

=15，

故选D．

【点睛】本题主要考查代数式求值，解题的关键是掌握多项式乘多项式的法则及整体代入思想的运用．

10.下列各式可以分解因式的是（　　）

A. x2﹣（﹣y2）    B. 4x2+2xy+y2    C. ﹣x2+4y2    D. x2﹣2xy﹣y2

【答案】C

【解析】

熟悉平方差公式的特点：两个平方项，且两项异号．完全平方公式的特点：两个数的平方项，且同号，再加上或减去两个数的积的2倍．根据公式的特点，就可判断．A、原式＝x2＋y2，不符合平方差公式的特点；B、第一个数是2x，第二个数是y，积的项应是4xy，不符合完全平方公式的特点；C、正确；D、两个平方项应同号．

考点：因式分解-运用公式法．

点评：本题考查了公式法分解因式，掌握平方差公式，完全平方公式结构特征是解决本题的关键．

11.已知x2+mx+25是完全平方式，则m的值为（　　）

A. 10    B. ±10    C. 20    D. ±20

【答案】B

【解析】

【分析】

根据完全平方式的特点求解：a2±2ab+b2.

【详解】∵x2+mx+25是完全平方式，

∴m=±10，

故选B．

【点睛】本题考查了完全平方公式:a2±2ab+b2,其特点是首平方，尾平方，首尾积的两倍在，这里首末两项是x和1的平方，那么中间项为加上或减去x和1的乘积的2倍．

12.如图①，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图②.这个拼成的长方形的长为30，宽为20，则图②中Ⅱ部分的面积是(　　)

A. 60    B. 100    C. 125    D. 150

【答案】B

【解析】

【分析】

分析图形变化过程中的等量关系，求出变化后的长方形Ⅱ部分的长和宽即可．

【详解】解：如图：

∵拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a-b），

∴，解得a=25，b=5，

∴长方形Ⅱ的面积=b（a-b）=5×（25-5）=100．

故选B．

【点睛】本题考查了完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2的几何背景，解题的关键是找出图形等积变化过程中的等量关系．

二、填空题(共6小题，总分18分)

13.计算：2a2·a3＝_______．

【答案】2a5

【解析】

【分析】

根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．

【详解】解：2a2·a3=(2×1)( a2·a3)= 2a5.

故答案为2a5.

【点睛】此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

14.(－b)2·(－b)3·(－b)5= _____________.

【答案】 b10 

【解析】

试题分析：同底数幂乘法，底数不变，指数相加，原式=

考点：同底数幂的计算

15.已知(xm)n＝x5，则mn(mn－1)的值为_______．

【答案】20

【解析】

【分析】

由（xm）n=x5，即可求得mn=5，然后将其代入求解，即可求得mn（mn-1）的值．

【详解】解：∵（xm）n=x5，

∴xmn=x5，

∴mn=5，

∴mn（mn-1）=5×（5-1）=5×4=20．

故答案为20．

【点睛】此题考查了幂的乘方的性质．此题难度不大，注意掌握整体思想的应用．

16.若x＋5，x－3都是多项式x2－kx－15的因式，则k＝_______．

【答案】－2

【解析】

【分析】

根据因式分解与多项式相乘是互逆运算，把多项式乘法展开再利用对应项系数相等即可求解．

【详解】解：根据题意得

（x+5）（x-3）

=x2+2x-15，

=x2-kx-15，

∴-k=2，

解得k=-2．

【点睛】本题主要考查了因式分解与整式的乘法是互为逆运算，并且考查了代数式相等条件：对应项的系数相同．

17.多项式x2－9与x2－6x＋9有相同的因式是_______．

【答案】x-3

【解析】

试题分析：首先将各多项式分解因式进而找出公因式得出答案．

试题解析：∵x2－9=(x+3)(x-3)，x2－6x＋9=（x-3）2，

∴多项式x2－9与x2－6x＋9有相同的因式是：x-3．

考点：公因式．

18.若实数a、b满足a＋b＝5，a2b＋ab2＝－10，则ab的值是_______．

【答案】－2

【解析】

【分析】

先提取公因式ab，整理后再把a+b的值代入计算即可．

【详解】解：a+b=5时，

原式=ab（a+b）=5ab=-10，

解得：ab=-2．

故答案为-2.

【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知条件的形式是解本题的关键，也是难点．

三、解答题(共8小题，总分66分)

19.计算：

(1)2a(b2c3)2·(－2a2b)3；

(2)(2x－1)2－x(4x－1)；

 (3)632＋2×63×37＋372.(用简便方法)

【答案】(1) －16a7b7c6；(2) －3x＋1;(3) 10 000

【解析】

【分析】

（1）直接利用积乘方运算法则化简进而得出答案；

（2）直接利用完全平方公式化简得出答案；

（3）利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．

【详解】(1) 解：原式＝2ab4c6·(－8a6b3)

＝－16a7b7c6；

(2) 解：原式＝4x2－4x＋1－4x2＋x

＝－3x＋1；

(3) 解：原式＝(63＋37)2

＝1002

＝10 000.

【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及完全平方公式，正确掌握运算法则是解题关键．

20.分解因式：

(1)2a3－4a2b＋2ab2；

(2)x4－y4.

【答案】(1) 2a(a－b)2；(2) (x2＋y2)(x＋y)(x－y)

【解析】

【分析】

（1）先提取公因式2a，再利用完全平方公式进行二次因式分解；

（2）两次利用平方差公式分解因式即可；

【详解】(1)解：原式＝2a(a2－2ab＋b2)

＝2a(a－b)2；

(2)解：原式＝(x2＋y2)(x2－y2)

＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y)．

【点睛】本题考查了提公因式法与公式分解因式，（1）提取公因式后再利用完全平方公式继续进行二次因式分解；（2）连续运用平方差公式进行二次因式分解.

21.若am＋1bn＋2·a2n－1b2m＝a5b3，则m＋n的值为________．

【答案】2

【解析】

【分析】

根据单项式的乘法的法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加的性质计算，然后再根据相同字母的次数相同列出方程组，整理即可得到m+n的值．

【详解】am+1bn+2•a2n-1b2m=am+1+2n-1•bn+2+2m=am+2n•bn+2m+2=a5b3，

∴，

两式相加，得3m+3n=6，

解得m+n=2．

故答案为2．

【点睛】本题主要考查单项式的乘法的法则和同底数幂的乘法的性质，根据数据的特点两式相加求解即可，不需要分别求出m、n的值．

22.已知：(x＋y)2＝6，(x－y)2＝2，试求：

(1)x2＋y2的值；

(2)xy的值．

【答案】(1)4;(2)1

【解析】

【分析】

（1）已知两式利用完全平方公式展开，相加即可求出x2+y2的值；

（2）已知两式利用完全平方公式展开，相减即可求出xy的值．

【详解】解：(1)∵(x＋y)2＋(x－y)2＝x2＋2xy＋y2＋x2－2xy＋y2＝2(x2＋y2)，

∴x2＋y2＝＝×(6＋2)＝4；

(2)∵(x＋y)2－(x－y)2＝x2＋2xy＋y2－x2＋2xy－y2＝4xy，

∴xy＝＝×(6－2)＝1.

【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

23.如图，某市有一块长为（3a+b）米、宽为（2a+b）米的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为（a+b）米的正方形雕像．

（1）试用含a、b的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）．

（2）若a=3，b=2，请求出绿化部分的面积．

【答案】（1）5a2+3ab；（2）63.

【解析】

【分析】

（1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化面积即可；

（2）将a与b的值代入计算即可求出值．

【详解】解：（1）根据题意得：

（3a+b）（2a+b）-（a+b）2

=6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2

=5a2+3ab；

（2）当a=3，b=2时，

原式=.

【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的法则是解本题的关键．

24.若(x2－3x－2)(x2＋px＋q)展开后不含x3和x2项，求p，q的值．

【答案】p＝3，q＝11

【解析】

分析】

根据多项式乘多项式的运算法则先把式子展开，找到所有x2和x3项的系数，令其为0，可求出p，q的值．

【详解】解：∵(x2－3x－2)(x2＋px＋q)＝x4＋(p－3)x3＋(q－3p－2)x2－(3q＋2p)x－2q.

又∵乘积中不含x3和x2项，

∴p－3＝0，q－3p－2＝0，

∴p＝3，q＝11.

【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．

25.动手操作：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．

提出问题：

(1)观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积：_____________，_____________；

(2)请写出三个代数式(a＋b)2，(a－b)2，ab之间的一个等量关系：___________________________；

问题解决：根据上述(2)中得到的等量关系，解决下列问题：已知x＋y＝8，xy＝7，求x－y的值．

【答案】(1) (a－b)2；(a＋b)2－4ab;(2) (a＋b)2－4ab＝(a－b)2，问题解决： x－y＝±6

【解析】

【分析】

（1）第一种方法为：大正方形面积-4个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分正方形的面积；

（2）可得等量关系为：（a+b）2-4ab=（a-b）2；利用（a+b）2-4ab=（a-b）2可求解．

【详解】解：提出问题：(1) (a－b)2；(a＋b)2－4ab.

(2) (a＋b)2－4ab＝(a－b)2

问题解决：由(2)得(x－y)2＝(x＋y)2－4xy.

∵x＋y＝8，xy＝7，

∴(x－y)2＝－28＝36.

∴x－y＝±6.

【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．本题更需注意要根据所找到的规律做题．

26.常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：

==

这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：

（1）分解因式： ①；②2x﹣2y﹣x2+y2

（2）三边a，b，c 满足，判断的形状．

【答案】(1) (x－y＋4)(x－y－4)；(2)△ABC的形状是腰和底不相等的等腰三角形或等边三角形，理由见解析

【解析】

试题分析：（1）类比题目中的解题方法可得，将这个多项式的前三项组合，组成完全平方式，利用完全平方公式分解因式，再和第四项利用平方差公式分解因式即可；（2）类比题目中的解题方法可得，将a2﹣ab﹣ac+bc的前两项以及后两项组合，两次利用提取公因式法分解因式可得（a﹣b）（a﹣c），所以（a﹣b）（a﹣c）=0，即可得a=b或a=c，即可判断△ABC的形状．

试题解析：解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16

=（x﹣y）2﹣42

=（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；

（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc=0

∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）=0，

∴（a﹣b）（a﹣c）=0，

∴a=b或a=c，

∴△ABC的形状是等腰三角形．

考点：阅读理解题；等腰三角形的判定．