2022年高考数学解题技巧及规范答题：数列大题

数列大题

【规律方法】

1. 等差（比）数列运算问题的一般方法：

（1）等差（比）数列运算问题的一般求法是设出首项和公差（公比），然后由通项公式或前项和公式转化为方程(组)求解；

（2）等差（比）数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，，（），n，，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.

2.数列求和的常用方法：

（1）分组求和法：

若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减；

（2）裂项相消法：

①把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.

②常见的裂项技巧：

（i）

（ii）

（iii）

（iv）

（v）

（3）错位相减法：

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的。

【核心素养】

数列问题是高考的必考题，往往从等差数列、等比数列的定义和基本计算入手，考查的核心素养是 “数算”；数列的前n项和是高考重点考查的知识点，尤其错位相减法、列项抵消法是高考考查的重点，突出考查“逻辑推理”及“数算”的核心素养.

【典例】【2020年天津】

已知为等差数列，为等比数列，．

（1）求和的通项公式；

（2）记的前项和为，求证：；

（3）对任意的正整数，设，

求数列的前项和．

【评分展示】

（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．

由，，可得，

从而的通项公式为．

【全求对，得2分，错一项减一分，扣至0分】

由，又，

可得，解得，

从而的通项公式为．

【全求对，得2分，错一项减一分，扣至0分】

（2）证明：由（Ⅰ）可得， 

故，

【求对得1分，求对及各得1分】

从而，

所以．

【作差正确并正确得出结论等1分，否则不得分】

（3）解：当为奇数时，；

当为偶数时，．

【正确分组和裂项，得2分，错一项减1分】

对任意的正整数，有，

和．        ①

【裂项求和结果正确和偶数项和书写正确，得2分，错一项减1分】

由①得．        ②

由①②得，

从而得．

【正确利用错位相减法求和且结果正确得2分，仅变形正确但结果错误得1分】

因此，．

所以，数列的前项和为．

【正确合并，得到正确结果得1分，否则不得分】

【评分细则】

①求对的通项公式得2分.

②求对的通项公式得2分.

③求对，得3分.

④求对的结果并证出结论得1分.

⑤求对n为奇数和偶数时，得2分.

⑥求对时和时，得2分.

⑦用错位相减法求对的求和得2分.

⑧求对前项和得1分.

【解题方法与步骤】

1、熟记等差、等比数列的通项公式及前n项和公式，解题时结合实际情况合理选择.如第（1）问运用了等差、等比数列的通项公式；第（2）问运用等差数列的前n项和公式.

2、第（3）问的关键有两点：一是分类分别求的通项；二是当时用裂项相消法求的和；三是当时用错位相减法求的和.

3、当时用错位相减法求的和的求法是难点，错位相减法的适用题型是求的前n项和（其中是等差数列，是以为公比的等比数列）

错位相减法求和的具体步骤是：

（1）写出，

（2）等式两边同乘等比数列的公比，即，特别要注意将两式“错项对齐”；

（3）两式相减转化为等比数列求和；

（4）两边同除，求出.

注：若等比数列的公比为参数，应分公比为1和不为1两种情况进行讨论.

【好题演练】

1. 已知等差数列的前项和为，，．

（1）求及；

（2）令，求数列的前项和．

【分析】

（1）由已知可得，解方程组求出，从而可求出及；

（2）由（1）可得，然后利用分组求和与裂项相消法求

【详解】

（1）由题意，设等差数列的公差为，

则，整理得，解得，

∴，．

（2），

∴

．

2. （2021·长春市高三基础教育质量监测中心）

设等差数列的前项和为，若，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【分析】

（1）根据题意列出式子求出首项和公差即可求出通项公式；

（2）利用错位相减法可求解.

【详解】

（1）设数列的公差为，

由题可得，解得，所以. 

（2）由（1）知，故，

①

①，②

①②得，

所以.

3. （2020·天津南开中学）

已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，.

（1）求数列与的通项公式；

（2）记，证明：.

【分析】

（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则由题意可得从而可求出，，从而可求出数列与的通项公式；

（2）由（1）可知，然后利用错位相减法可求得，从而可证得结论.

【详解】

（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由，得

由条件，得方程组

解得

所以

（2）由（）得

由①-②得：

，

即，

而当时，.

所以.

4. 已知正项等差数列的前项和为，满足，，

（1）求数列的通项公式；

（2）若，记数列的前项和，求.

【分析】

（1）当时，由，得，两式相减可得，从而可求出，当时，，求出，进而可出数列的通项公式；

（2）由（1）可得，从而可求出

【详解】

（1）设等差数列的公差为，则

由，得

相减得即，

又，所以，

由，得，

解得，(舍去)

由，得；

（2）

.

5. 已知正项数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解.若______，求的前项和.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【分析】

（1）由数列的关系运算化简可得，再由等差数列的知识即可得解；

（2）选条件①：由裂项相消法运算求解即可；

选条件②：由错位相减法运算求解即可；

选条件③：由等差数列的求和公式可得，再由裂项相消法即可得解.

【详解】

（1）因为，

所以当时，，解得；

当时，，

又，所以两式相减得，

可得，

因为，所以， 

所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，

所以；

（2）若选条件①：

则；

若选条件②：，

则，

上式两边同时乘3可得 

两式相减得

，

可得；

若选条件③：由可得，

所以，

故.