2019-2020学年江苏省无锡市江阴市九年级(上)期末数学试卷解析版

一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内）

1．sin60°＝（　　）

A． B． C． D．

2．若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比为（　　）

A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4

3．体育课上，某班两名同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生成绩的（　　）

A．平均数 B．频数分布 C．中位数 D．方差

4．方程x2﹣3x＝0的根是（　　）

A．x＝3 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝，x2＝﹣ D．x1＝3，x2＝﹣3

5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（　　）

A．2cm B．3cm C．5cm D．8cm

6．将抛物线y＝x2向上平移1个单位，就得到抛物线（　　）

A．y＝x2+1 B．y＝（x+1）2 C．y＝x2﹣1 D．y＝（x﹣1）2

7．某人沿着坡度为1：2.4的斜坡向上前进了130m，那么他的高度上升了（　　）

A．50m B．100m C．120m D．130m

8．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕A逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，是图中阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣6 B．π C．π﹣3 D．+π

9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，对称轴为过点（﹣，0）且平行于y轴的直线，则下列结论中正确的是（　　）

A．abc＞0 B．a+b＝0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b

10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，点P是△ABC外一点，BP＝6，CP＝3，则线段OP的最大值为（　　）

A．9 B．4.5 C．3 D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在题中的横线上）

11．如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是5.8cm，那么A、B两地的实际距离是　   　km．

12．已知x＝1是关于x的一元二次方程2x2﹣x+a＝0的一个根，则a的值是　   　．

13．二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为　   　．

14．已知某小区的房价在两年内从每平方米8100元增加到每平方米12500元，设该小区房价平均每年增长的百分率为x，根据题意可列方程为　   　．

15．若圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则此圆锥的侧面积是　   　cm2．

16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表：

17．如图，▱ABCD中，点E、F分别是边AD、CD的中点，EC、EF分别交对角线BD于点H、G，则DG：GH：HB＝　   　．

18．如图，已知射线BP⊥BA，点O从B点出发，以每秒1个单位长度沿射线BA向右运动；同时射线BP绕点B顺时针旋转一周，当射线BP停止运动时，点O随之停止运动．以O为圆心，1个单位长度为半径画圆，若运动两秒后，射线BP与⊙O恰好有且只有一个公共点，则射线BP旋转的速度为每秒　   　度．

三、解答题（本大题共10小题，共84分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（1）计算：2sin60°﹣3tan45°+；

（2）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．

20．某校为了深入学习社会主义核心价值观，对本校学生进行了一次相关知识的测试，随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计（根据成绩分为A、B、C、D、E五个组，x表示测试成绩，A组：90≤x≤100；B组：80≤x＜90；C组：70≤x＜80；D组：60≤x＜70；E组：x＜60），通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：

（1）抽取的学生共有　   　人，请将两幅统计图补充完整；

（2）抽取的测试成绩的中位数落在　   　组内；

（3）本次测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，若该校初三学生共有1200人，请估计该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人？

21．现有A、B两个不透明的盒子，A盒中装有红色、黄色、蓝色卡片各1张，B盒中装有红色、黄色卡片各1张，这些卡片除颜色外都相同．现分别从A、B两个盒子中任意摸出一张卡片．

（1）从A盒中摸出红色卡片的概率为　   　；

（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的两张卡片中至少有一张红色卡片的概率．

22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，﹣1），请解答下列问题：

（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A1的坐标为　   　；

（2）在网格内以点（1，1）为位似中心，把△A1B1C1按相似比2：1放大，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；若边AC上任意一点P的坐标为（m，n），则两次变换后对应点P2的坐标为　   　．

23．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD于E．

（1）求证：CD2＝DE•DA；

（2）当∠BED＝47°时，求∠ABC的度数．

24．如图，某数学社团成员想利用所学的知识测量广告牌的高度（即图中线段MN的长），在地面A处测得点M的仰角为60°、点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为30°，AB＝5m，MN⊥AB于点P，且B、A、P三点在同一直线上．求广告牌MN的长（结果保留根号）．

25．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）当BD＝2，sinD＝时，求AE的长．

26．某商场将进货单价为30元的商品以每个40元的价格售出时，平均每月能售出600个，调查表明：这种商品的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．

（1）为了使平均每月有10000元的销售利润且尽快售出，这种商品的售价应定为每个多少元？

（2）当该商品的售价为每个多少元时，商场销售该商品的平均月利润最大？最大利润是多少？

27．如图，已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线AC交二次函数图象的对称轴于点D，若点C为AD的中点．

（1）求m的值；

（2）若二次函数图象上有一点Q，使得tan∠ABQ＝3，求点Q的坐标；

（3）对于（2）中的Q点，在二次函数图象上是否存在点P，使得△QBP∽△COA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

28．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E、F分别在边BC、AD上，将四边形ABEF沿直线EF翻折，点A、B的对称点分别记为A′、B′．

（1）当BE＝时，若点B′恰好落在线段AC上，求AF的长；

（2）设BE＝m，若翻折后存在点B′落在线段AC上，则m的取值范围是　   　．

2019-2020学年江苏省无锡市江阴市九年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内）

1．【解答】解：sin60°＝．

故选：C．

2．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，

∴△ABC与△DEF的周长比为1：2．

故选：B．

3．【解答】解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生了5次短跑训练成绩的方差．

故选：D．

4．【解答】解：x2﹣3x＝0，

x（x﹣3）＝0，

x＝0，x﹣3＝0，

x1＝0，x2＝3，

故选：B．

5．【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝8cm，

∴CE＝CD＝4cm．

在Rt△OCE中，OC＝5cm，CE＝4cm，

∴OE＝＝＝（cm），

∴AE＝AO+OE＝5+3＝8（cm）．

故选：D．

6．【解答】解：将抛物线y＝x2向上平移1个单位得到的抛物线是y＝x2+1．

故选：A．

7．【解答】解：如图，

根据题意知AB＝130米，tanB＝＝1：2.4，

设AC＝x，则BC＝2.4x，

则x2+（2.4x）2＝1302，

解得x＝50（负值舍去），

即他的高度上升了50m，

故选：A．

8．【解答】解：∵AB＝5，AC＝3，BC＝4，

∴△ABC为直角三角形，

由题意得，△AED的面积＝△ABC的面积，

由图形可知，阴影部分的面积＝△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积，

∴阴影部分的面积＝扇形ADB的面积＝＝π，

故选：B．

9．【解答】解：由图象可得，

a＞0，b＞0，c＜0，

故abc＜0，故选项A错误；

∵对称轴为直线x＝﹣，

∴﹣，得a＝b，a﹣b＝0，故选项B错误；

∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，

∴2b+c＜0，故选项C错误；

∵对称轴为直线x＝﹣，当x＝1时，y＜0，

∴x＝﹣2时的函数值与x＝1时的函数值相等，

∴x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，

∴4a+c＜2b，

故选项D正确；

故选：D．

10．【解答】解：如图，连接OB，OC，

∵∠A＝60°，

∴∠BOC＝120°，

∴将△POC绕点O顺时针旋转120°，得到△HOB，连接PH，过点O，作OE⊥PH，

∴PC＝BH＝3，OH＝OP，∠POH＝120°，

∴∠OHP＝∠OPH＝30°，且OE⊥PH，

∴PE＝EH＝OP，

∴PH＝OP，

在△BPH中，PH≤BP+BH＝9，

∴OP≤3，

∴OP的最大值为3，

故选：C．

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在题中的横线上）

11．【解答】解：根据题意，5.8÷＝5800000厘米＝58千米．

即实际距离是58千米．

故答案为：58．

12．【解答】解：将x＝1代入方程得：2﹣1+a＝0，

解得：a＝﹣1，

故答案为：﹣1．

13．【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＝0，

解得m＝1．

故答案为1．

14．【解答】解：设该小区房价平均每年增长的百分率为x，

依题意，得：8100（1+x）2＝12500．

故答案为：8100（1+x）2＝12500．

15．【解答】解：圆锥的底面周长＝4πcm，

圆锥的侧面积＝lr＝×4π×5＝10πcm2，

故答案为10π．

16．【解答】解：由表格可知，

二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，该函数开口向上，

则当y＝﹣5对应的x的值是x＝﹣1或x＝﹣3，

故当y＜5时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，

故答案为：﹣1＜x＜3．

17．【解答】解：连接AC交BD于O，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AD∥BC，

∴△BCH∽△DEH，

∴＝，

∵点E、F分别是边AD、CD的中点，

∴BC＝AD＝2DE，EF是△ACD的中位线，

∴＝＝，EF∥AC，EF＝AC＝OA＝OC，

∴DG＝OG，EG是△AOD的中位线，△EGH∽△COH，

∴EG＝OA＝OC，＝＝，

∴OH＝2GH，DG＝OG＝3GH，OB＝OD＝6GH，

∴HB＝8GH，

∴DG：GH：HB＝3：1：8；

故答案为：3：1：8．

18．【解答】解：∵射线BP与⊙O恰好有且只有一个公共点，

∴射线BP与⊙O相切，

如图，当BP′与⊙O相切于D，连接OD，

则OD＝1，OB＝2，OD⊥BP′，

∴∠OBD＝30°，

∵BP⊥BA，

∴∠ABP＝90°，

∴∠PBP′＝60°，

∵＝30°，

∴射线BP与⊙O恰好有且只有一个公共点，则射线BP旋转的速度为每秒30°，

当BP″与⊙O相切于E，连接OE，

同理∠ABP″＝30°，

∴∠PBP″＝120°，

∵＝60°，

∴射线BP与⊙O恰好有且只有一个公共点，则射线BP旋转的速度为每秒60°，

综上所述，射线BP与⊙O恰好有且只有一个公共点，则射线BP旋转的速度为每秒30°或60°，

故答案为：30或60．

三、解答题（本大题共10小题，共84分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．【解答】解：（1）原式＝2×﹣3+3＝．

（2）∵x2﹣4x﹣1＝0，

∴x2﹣4x+4＝5，

∴（x﹣2）2＝5，

∴x＝2±

20．【解答】解：（1）本次抽取的学生共有：40÷10%＝400（人），

故答案为：400；

A所占的百分比为：100÷400×100%＝25%，

C所占的百分比为：80÷400×100%＝20%，

B组的人数为：400×30%＝120，

补全的统计图如右图所示；

（2）由扇形统计图可知，

抽取的测试成绩的中位数落在B组内，

故答案为：B；

（3）1200×（25%+30%）＝660（人），

答：该校初三测试成绩为优秀的学生有660人．

21．【解答】解：（1）从A盒中摸出红色卡片的概率为，

故答案为：．

（2）画树状图如下：

由树状图知，共有6种等可能结果，其中摸出的两张卡片中至少有一张红色卡片的有4种结果，

∴摸出的两张卡片中至少有一张红色卡片概率为．

22．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；点A1的坐标为（2，1）；

故答案为：（2，1）；

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；P2的坐标为（﹣2m+3，2n+3）．

故答案为：（﹣2m+3，2n+3）．

23．【解答】证明（1）∵CE⊥AD，

∴∠CED＝∠ACB＝90°，

∵∠CDE＝∠ADC，

∴△CDE∽△ADC，

∴CD：AD＝DE：CD，

∴CD2＝DE•AD．

（2）∵D是BC的中点，

∴BD＝CD；

∵CD2＝DE•AD，

∴BD2＝DE•AD，

∴BD：AD＝DE：BD；

又∵∠ADB＝∠BDE，

∴△BDE∽△ADB，

∴∠BED＝∠ABC，

∵∠BED＝47°，

∴∠ABC＝47°．

24．【解答】解：∵在Rt△APN中，∠NAP＝45°，

∴PA＝PN，

在Rt△APM中，tan∠MAP＝，

设PA＝PN＝x米，

∵∠MAP＝60°，

∴MP＝AP•tan∠MAP＝x，

在Rt△BPM中，tan∠MBP＝，

∵∠MBP＝30°，AB＝5，

∴＝，

∴x＝，符合题意，

∴MN＝MP﹣NP＝x﹣x＝（米），

答：广告牌的宽MN的长为米．

25．【解答】（1）证明：连接OC，如图，

∵点C为弧BF的中点，

∴弧BC＝弧CF．

∴∠BAC＝∠FAC，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC．

∴∠OCA＝∠FAC，

∴OC∥AE，

∵AE⊥DE，

∴OC⊥DE．

∴DE是⊙O的切线；

（2）∵sinD＝＝，

∴设OC＝3x，OD＝5x，

则5x＝3x+2，

∴x＝1，

∴OC＝3，OD＝5，

∴AD＝8，

∵sinD＝＝＝，

∴AE＝．

26．【解答】解：（1）设该商品售价x元，根据题意得：

（40+x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]＝10000，

解得x1＝50，x2＝80（不合题意舍去），

答：为了尽快售出，这种商品的售价应定为每个50元；

（2）该商品的利润为：y＝（40+x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]

＝﹣10x2+130x﹣3000；

＝﹣10（x﹣65）2+12250

∵当售价为65元时，可得最大利润12250元．

27．【解答】解：（1）设对称轴交x轴于点E，交对称轴于点D，

函数的对称轴为：x＝1，点C为AD的中点，则点A（﹣1，0），

将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：m＝﹣3，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；

（2）tan∠ABQ＝3，点B（3，0），

则AQ所在的直线为：y＝±3x（x﹣3）…②，

联立①②并解得：x＝﹣4或3（舍去）或2，

故点Q（﹣4，21）或（2，﹣3）；

（3）不存在，理由：

△QBP∽△COA，则∠QBP＝90°

①当点Q（2，﹣3）时，

则BQ的表达式为：y＝﹣（x﹣3）…③，

联立①③并解得：x＝3（舍去）或﹣，故点P（﹣，），

此时BP：PQ≠OA：OB，故点P不存在；

②当点Q（﹣4，21）时，

同理可得：点P（﹣，），

此时BP：PQ≠OA：OB，故点P不存在；

综上，点P不存在．

28．【解答】解：（1）由翻折的性质得：AB＝A′B′＝1，BE＝B′E＝，AF＝A′F，∠A′＝∠BAD＝90°，

过点B′作B′H⊥BC于H，延长HB′交AD于Q，连接B′F，如图所示：

则四边形ABHQ与四边形CDQH是矩形，

∴HQ＝AB＝1，∠EHB′＝∠B′QF＝90°，B′H∥AB，

∴△CHB′∽△CBA，

∴＝，

设B′H＝a，

即＝，

∴CH＝2a，

∴EH＝BC﹣BE﹣CH＝2﹣﹣2a＝﹣2a，

在Rt△EHB′中，EH2+B′H2＝B′E2，

即（﹣2a）2+a2＝（）2，

解得：a＝或a＝（不合题意舍去），

∴B′H＝，EH＝，B′Q＝HQ﹣B′H＝1﹣＝，

设AF＝x，

∵四边形ABCD与四边形CDQH是矩形，

∴AD＝BC＝2，DQ＝CH＝，

∴FQ＝AD﹣DQ﹣AF＝2﹣﹣x＝﹣x，

B′F2＝A′F2+A′B′＝x2+1，

在Rt△FQB′中，x2+1＝（﹣x）2+（）2，

解得：x＝，

∴AF＝；

（2）当F与A重合时，如图2所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，

∴AC＝＝＝，

由折叠的性质得：B'E＝BE＝m，AB'＝AB＝1，∠AB'E＝∠B＝90°，

∴CE＝BC﹣BE＝2﹣m，∠CB'E＝90°，

∴CB'＝AC﹣AB'＝﹣1，

在Rt△CEB'中，由勾股定理得：m2+（﹣1）2＝（2﹣m）2，

解得：m＝；

当B'与C重合时，E为BC的中点，如图3所示：

m＝BC＝1；

若翻折后存在点B′落在线段AC上，m的取值范围是≤m≤1；

故答案为：≤m≤1．