关于斐波那契数列差分方程模型的建立

摘要

本文主要对斐波那契数列差分方程模型的建立问题做了相关叙述。针对模型建立过程中斐波那契数列的差分方程以及通项公式求解问题，首先，通过分析建立出模型；其次，利用代数方法和matlab求解该模型对应的特征方程，特征根以及方程通解各项系数，最后得到所求差分方程及通项公式。

关键词：差分方程，特征方程，特征根，通解，通项公式

目录

一、问题重述    2

二、问题分析    2

（1）问题1的分析    2

（2）问题2的分析    2

三、模型假设    2

四、定义与符号说明    3

五、模型的建立与求解    3

（1）模型建立    3

（2）模型求解    3

六、模型评价与推广    4

七、附录    4

一、问题重述

假设在某年第一月初有雌雄各一的一对小兔。假定两个月后这对小兔长成成兔，同时（即第三个月）开始在每月月初产下雌雄各一的一对小兔，新增的小兔也按此规律繁殖。设在第n个月月末共有对兔子，试建立关于的差分方程，并求的通项公式。

二、问题分析

（1）问题1的分析

通过对问题1分析可知，当月兔子的对数由两部分组成，一部分是上个月的兔子对数，另一部分是本月新生兔子的对数；另第一个月的兔子对数为1，第二个月兔子对数也为1。由此容易得出：本月兔子对数=上月兔子对数+本月新生兔子对数，从而建立所求差分方程的模型。

（2）问题2的分析

通过对问题2分析可知，要想求出的通项公式，必须求出问题1中差分方程的特征根以及其通解各项的系数。利用高等数学相关知识，可求出差分方程的特征根以及其通解各项的系数，进而求出的通项公式。

三、模型假设

（1）假设雌雄兔子同时正常成长；

（2）假设成兔和小兔同步成长，且彼此互不影响；

（3）假设所有兔子的成长环境稳定，不受外界干扰，并严格按照生长规律繁殖。

四、定义与符号说明

n表示第几个月份,(n=1,2,3...)；

表示第n个月末时兔子的对数；

表示特征方程的特征根；

，表示差分方程通解的各项系数。

五、模型的建立与求解

（1）模型建立

（2）模型求解

特征方程：

方程的特征根：

由于特征根互异,所以差分方程的通解为:

由，可求得： 

所以： 

故的通项公式为： 

六、模型评价与推广

本模型能给出题目所需求的通项；但此模型基于的是我们的假设，比如：假设雌雄两兔同时出生长大，其繁殖生长不受环境影响且具有严格规律性。这样在模型的改进方面可以考虑这些方面对模型的影响。

七、附录

Matlab源程序

（1）

clc,clear;

tic

a=1;

b=-1;

c=-1;

d=b*b-4*a*c;

x=[(-b+sqrt(d))/(2*a),(-b-sqrt(d))/(2*a)]

toc

clc,clear;

（2）

tic

syms c1c2; %定义两个符号变量

[c1,c2]=solve('(c1*(1+sqrt(5)))/2+(c2*(1-sqrt(5)))/2=1','(c1*(3+sqrt(5)))/2+(c2*(3-sqrt(5)))/2=1');%定义一个 2x1 的数组，存放c1，c2

A=[(1+sqrt(5))/2,(1-sqrt(5))/2;(3+sqrt(5))/2,(3-sqrt(5))/2]; 

B=[1;1];

C=A\\B  %可以看成将（*）式左边都除以系数矩阵A

toc