电势差与电场强度的关系知识要点和常见题型

【知识要点】

要点一 公式U＝Ed的适用范围和电场强度表达式的对比

公式U＝Ed虽然是由匀强电场导出来的，但该结论具有普遍意义，尽管该公式一般只适用于匀强电场的计算，但对其他非匀强电场亦可用于定性判断．下表是电场强度的三个公式对比：

1．公式E＝反映了匀强电场中电场强度与电势差之间的关系，由公式可知，电场强度的方向就是电场中电势降低最快的方向．

2．公式中d可理解为电场中两等势面之间的距离，由此可得出一个结论：在匀强电场中，两长度相等且相互平行的线段的端点间的电势差相等．

3．对于非匀强电场，用公式E＝可以定性分析某些问题．例如E越大处，等差等势面距离d越小．因此可以断定，等势面越密的地方电场强度也越大．

4．E＝适用于匀强电场的计算，但对于某些非匀强电场问题，有时也可以进行定性地分析.

    【问题探究】

1.电场强度、电势和电势差的区别与联系是什么

描述电场的物

2．电场线是直线的电场有哪些常见情况

(1)点电荷电场(如图1－6－3所示)

图1－6－3

(2)等量异种电荷连线(如图1－6－4所示)

图1－6－4

(3)匀强电场(如图1－6－5所示)

图1－6－5

可见，一条电场线是直线，不一定是匀强电场．

只有在匀强电场中可以直接应用U＝Ed，在非匀强电场中只能对有关问题进行定性分析.

    【例题分析】

一、匀强电场中电势差与电场强度的关系

【例1】 图1－6－6所示是匀强电场中的一组等势面，若A、B、C、D相邻两点间距离都是2 cm，则该电场的场强为________ V/m，到A点距离为 cm的P点电势为________ V.

图1－6－6

答案　　－

解析　因为电场是匀强电场，所以可用E＝求解，但必须明确d是指A、B两点在电场线方向上的距离，且各单位必须用国际单位制中的单位．

所以E＝＝＝ V/m＝ V/m

UBP＝Esin 60°＝×× V＝ V

φP＝－ V

二、非匀强电场中的电场线

【例2】 (1)如图1－6－7是一非匀强电场，某一电场线上A、B、C三点＝，比较UAB和UBC的大小．

图1－6－7

(2)如图1－6－8所示，在同一幅等差等势面图中，为什么等势面越密的地方场强越大

图1－6－8

答案　(1)UAB>UBC　(2)见解析

解析　(1)由电场线分布可知，AB段的任一点的场强都大于BC段任一点的场强，故AB段场强的平均值E1大于BC段场强的平均值E2，又UAB＝E1·；UBC＝E2·，故UAB>UBC.

(2)在同一幅等差等势面图中，我们往往把每个相邻等势面间的电势差取一个定值，如果相邻等势面的间距越小(等势面越密)，那么场强E＝U/d就越大.

    【对点练习】

1.下列公式适用于任何电场的是(　　)

A．W＝qU　　B．U＝Ed　　C．E＝　　D．E＝k

2．如图1－6－9所示是一个匀强电场的等势面，

图1－6－9

每两个相邻等势面相距2 cm，由此可以确定电场强度的方向和数值是(　　)

A．竖直向下，E＝100 V/m

B．水平向左，E＝100 V/m

C．水平向左，E＝200 V/m

D．水平向右，E＝200 V/m

3．如图1－6－10中

图1－6－10

a、b、c是一条电场线上三个点，电场线的方向由a到c，a、b间的距离等于b、c间的距离，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，可以断定(　　)

A．φa>φb>φc        B．Ea>Eb>Ec

C．φa－φb＝φb－φc   D．Ea＝Eb＝Ec

4．如图1－6－11所示

图1－6－11

的匀强电场中有a、b、c三点，＝5 cm，＝12 cm，其中ab沿电场方向，bc和电场方向成60°角．一个电荷量为q＝4×10－8 C的正电荷从a移到b，静电力做功为W1＝×10－7 J．求：

(1)匀强电场的场强．

(2)电荷从b移到c，静电力做的功．

(3)a、c两点间的电势差．

    【常见题型】

题型一 利用匀强电场中电场线和等势面的关系求解问题

匀强电场中有a、b、c三点，在以它们为顶点的三角形中，∠a＝30°、∠c＝90°.电场方向与三角形所在平面平行．已知a、b和c点的电势分别为(2－) V、(2＋) V和2 V．该三角形的外接圆上最低电势、最高电势分别为(　　)

A．(2－) V、(2＋ ) V　　　　　B．0 V、4 V

C．(2－) V、(2＋) V         D．0 V、 V

[思维步步高]  作出三点位置关系图象．在匀强电场中电场线和等势面的分布情况是什么样的直角三角形内各个边之间的数值关系是什么如何找出等势线从而找出电场线

[解析]　如右图所示，

根据匀强电场的电场线与等势面都是平行等间距排列，且电场线与等势面处处垂直，沿着电场线方向电势均匀降落，取ab的中点O，即为三角形的外接圆的圆心，且该点电势为2 V，故Oc为等势面，MN为电场线，方向为MN方向，，UON∶UOP=2∶，故UON=2 V，N点电势为零，为最低电势点，同理M点电势为4 V，为最高电势点．

[答案]　B

[拓展探究]如图1所示，

图1

在地面上方有一个匀强电场，在该电场中取点O作为圆心，以R＝10 cm为半径，在竖直平面内做一个圆，圆平面平行于匀强电场的电场线，在O点固定一个电荷量为Q＝－5×10－4 C的电荷．当把一个质量为m＝3 g，电荷量为q＝2×10－10 C带电小球放在圆周上的a点时，它恰好能静止不动，那么匀强电场的电场线跟Oa线夹角为________．若将带电小球从a点缓慢移到圆周上最高点b，外力做功W＝________ J.

[答案]　arctan　9×10－3

[解析]　分析带电粒子的受力，粒子受到自身的重力，方向竖直向下，圆心处电荷的吸引力和匀强电场的静电力，三个力处于平衡状态，根据三力平衡之间的关系求出相应的角度，在移动电荷的过程中，圆心处电荷对电荷不做功，有静电力做功和重力做功．

[方法点拨]

确定电场线可以用等势面，根据是电场线和等势面垂直；同样，判断等势面也可以用电场线，理由相同，这是高考在电场知识的考查的主要方向之一. 

题型二 公式E＝的理解

匀强电场中的三点A、B、C是一个三角形的三个顶点，

图2

AB的长度为1 m，D为AB的中点，如图2所示．已知电场线的方向平行于△ABC所在平面，A、B、C三点的电势分别为14 V、6 V和2 V．设场强大小为E，一电荷量为1×10－6 C的正电荷从D点移到C点静电力所做的功为W，则(　　)

A．W＝8×10－6 J，E>8 V/m

B．W＝6×10－6 J，E>6 V/m

C．W＝8×10－6 J，E≤8 V/m

D．W＝6×10－6 J，E≤6 V/m

[思维步步高]  D点电势跟A、B两点间的电势有什么关系怎样根据这个关系求出D点的电势从D移动到C静电力做功和什么因素有关怎样求解静电力做的功电场线的方向怎样确定AB方向是不是电场线方向

[解析]　电场是匀强电场，所以AB中点处D点的电势是AB间电势的中间值，为10 V，DC间的电势差为8 V，静电力做功W＝qUDC＝8×10－6 J；由图及各点电势可知，电场线不平行于AB，根据E＝，其中d为沿着电场线方向的距离，所以电场强度E>＝8 V/m.

[答案]　A

[拓展探究]a、b、c、d是匀强电场中的四个点，

图3

它们正好是一个矩形的四个顶点．电场线与矩形所在的平面平行．已知a点的电势是20 V，b点的电势是24 V，d点的电势是4 V．如图3所示，由此可知，c点的电势为(　　)

A．4 V               B．8 V

C．12 V              D．24 V

[答案]　B

[解析]　匀强电场中，ab之间的电势差等于dc之间的电势差，可知c点电势为8 V.

[方法点拨]

在匀强电场中，电势差和电场强度存在E＝，但要注意的是d不是两点之间的距离，而是两点所处等势面的距离，或者说是两点沿着电场线方向的距离. 

【课后作业】

一、选择题

1．下列说法正确的是(　　)

A．匀强电场中各处场强相等，电势也相等

B．等势体各点电势相等，场强也相等

C．沿电场线方向电势一定越来越低

D．电势降低的方向就是电场线的方向

2．下列关于匀强电场中场强和电势差的关系，正确的说法是( 　)

A．在相同距离上的两点，电势差大的其场强也必定大

B．场强在数值上等于每单位距离上的电势降落

C．沿着电场线方向，任何相同距离上的电势降落必定相等

D．电势降低的方向必定是电场强度的方向

3．下图中，A、B、C是匀强电场中的三个点，各点电势φA＝10 V、φB＝2 V、φC＝6 V，A、B、C三点在同一平面上，下列各图中电场强度的方向表示正确的是(　　)

4．如图4所示，匀强电场场强E＝100 V/m，A、B两点相距10 cm，A、B连线与电场线夹角为60°，则UBA之值为(　　)

图4

A．－10 V　　　B．10 V　　　C．－5 V　　　D．－5  V

5．如图5所示，

图5

A、B、C三点都在匀强电场中，已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，BC＝20 cm，把一个电荷量q＝10－5 C的正电荷从A移到B，静电力做功为零；从B移到C，静电力做功为－×10－3 J，则该匀强电场的场强大小和方向为(　　)

A．865 V/m，垂直AC向左

B．865 V/m，垂直AC向右

C．1 000 V/m，垂直AB斜向上

D．1 000 V/m，垂直AB斜向下

6．如图6所示，

图6

在沿着x轴正方向的匀强电场E中，有一动点A以O点为圆心、以r为半径逆时针转动，θ为OA与x轴正方向之间的夹角，则O、A两点之间的电势差为(　　)

A．UOA＝Er

B．UOA＝Ersin θ

C．UOA＝Ercos θ

D．UOA＝

7．如图7所示，

图7

在电场强度E＝2×103 V/m的匀强电场中有三点A、M和B，AM＝4 cm，MB＝3 cm，AB＝5 cm，且MA边平行于电场线，把一电荷量q＝2×10－9 C的正电荷从B移动到M点，再从M点移动到A点，静电力做功为(　　)

A．×10－6 J          B．×10－6 J

C．－×10－6 J        D．－×10－6 J

二、计算论述题

8．如图8所示，

图8

MN板间匀强电场E＝×104 N/C，方向竖直向上．电场中A、B两点相距10 cm，AB连线与电场方向夹角θ＝60°，A点和M板相距2 cm.

(1)此时UBA等于多少

(2)一点电荷Q＝5×10－8 C，它在A、B两点电势能之差为多少若M板接地，A点电势是多少B点电势是多少

9.

图9

在一个匀强电场中有A、B、C三点，AB长为5 cm，AC长为3 cm，BC长为4 cm，如图9所示．电场强度方向平行于纸面，电子在静电力作用下由C运动到A，动能减少120 eV，质子在静电力作用下由C运动至B，动能增加120 eV，求该匀强电场的大小和方向．

10．如图10所示的电场，

图10

等势面是一簇互相平行的竖直平面，间隔均为d，各等势面的电势已在图中标出．现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动．问：

(1)小球应带何种电荷电荷量是多少

(2)在入射方向上小球最大位移是多少(电场足够大)

参

【对点练习】

1.答案　AC

2.答案　B

解析　电场线和等势面的关系是相互垂直的，所以电场线是水平方向的，又因为电势随着电场线方向逐渐降低，所以电场强度方向水平向左．根据E＝＝＝100 V/m.

3.答案　A

解析　一条电场线可以判断电势的高低，但是不能判断场强的大小．因为一条电场线无法确定疏密程度．

4.答案　(1)60 V/m　(2)×10－7 J　(3) V

解析　(1)设a、b间距离为d，由题设条件有W1＝qUab＝qEd，所以E＝＝ V/m＝60 V/m.

(2)W2＝qE·cos 60°＝4×10－8×60×12×10－2× J＝×10－7 J

(3)电荷从a移到c静电力做功：W＝W1＋W2，又W＝qUac，所以Uac＝＝ V＝ V 

【课后作业】

一、选择题

1.答案　C

2.答案　C

3.答案　D

4.答案　C

5.答案　D

解析　把电荷q从A移到B，静电力不做功，说明A、B两点在同一等势面上，因该电场为匀强电场，等势面应为平面，故图中直线AB即为等势线，场强方向应垂直于直线AB，可见，选项A、B不正确．

UBC＝＝ V＝－173 V

B点电势比C点低173 V，因电场线指向电势降低的方向，所以场强方向必垂直于AB斜向下，场强大小E＝＝＝ V/m＝1 000 V/m

6.答案　C

解析　OA之间沿电场线方向的距离是d＝rcos θ，根据U＝Ed＝Ercos θ，选项C正确．

7.答案　C

 二、计算题

8.答案　(1)－1 200 V　(2)6×10－5 J　－480 V　－1 680 V

解析　(1)在匀强电场中等势面与电场线垂直，且φA大于φB，所以UBA＝φB－φA为负值．又因为在匀强电场中E＝，则UAB＝E·dAB.题目中已知AB连线与电场线夹角60°，则AB连线与等势面夹角为30°，dAB＝xAB·sin 30°＝xAB＝5 cm＝ m，UAB＝×104× V＝1 200 V，则UBA＝－1 200 V.

(2)正电荷在电势高处电势能大，电势能差为：ΔEp＝EpA－EpB＝qUAB＝5×10－8 C×1 200 V＝6×10－5 J．若M板接地，M板电势为0，A点电势比零低，UMA＝φM－φA＝EdMA＝480 V，则φA＝－480 V，φB＝－480 V－1 200 V＝－1 680 V.

9.答案　×103 V/m　场强方向垂直AB的直线斜向上

解析　电子由C运动到A，减少的动能转化为电子的电势能，因电子带负电，则可知C点电势高于A点，两点间电势差为120 V．质子由C点移到B点，减少的电势能转化为动能，则C点电势高于B点，两点间电势差亦为120 V，由此可知A、B两点位于同一等势面上．

因为该电场为匀强电场，根据电场线与等势面的关系可知，场强方向垂直AB的直线斜向上，如右图所示，场强方向可用CD来表示．由已知条件得，所以场强大小为 V/m.

10.答案　(1)正电　　(2)

解析　(1)作电场线如下图(a)所示，由题意，只有小球受到向左的静电力，静电力和重力的合力与初速度才可能在一条直线上．如图(b)所示，只有当F合与v0在一条直线上才可能使小球做直线运动．所以小球带正电，小球沿v0方向做匀减速运动．由图(b)知qE＝mg.相邻等势面间的电势差用U表示，所以E＝，所以q＝＝.

(2)由图(b)知

F合=  = mg(因为qE=mg) 

由动能定理合· =

所以