2021年四川省广安市中考数学试卷及答案解析

一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）16的平方根是（　　）

A．4 B．±4 C．8 D．±8

2．（3分）下列运算中，正确的是（　　）

A．a2•a5＝a10 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2    

C．（﹣3a3）2＝6a6 D．﹣3a2b+2a2b＝﹣a2b

3．（3分）到2021年6月3日，我国31个省（自治区、直辖市）和生产建设兵团，累计接种新冠疫苗约7.05亿剂次，请将7.05亿用科学记数法表示（　　）

A．7.05×107 B．70.5×108 C．7.05×108 D．7.05×109

4．（3分）下列几何体的主视图既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

5．（3分）关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）

A．a且a≠﹣2 B．a C．a且a≠﹣2 D．a

6．（3分）下列说法正确的是（　　）

A．为了了解全国中学生的心理健康情况，选择全面调查    

B．在一组数据7，6，5，6，6，4，8中，众数和中位数都是6    

C．“若a是实数，则|a|＞0”是必然事件    

D．若甲组数据的方差S甲2＝0.02，乙组数据的方差S乙2＝0.12，则乙组数据比甲组数据稳定

7．（3分）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1

8．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（　　）

A．65° B．70° C．75° D．80°

9．（3分）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路（劣弧AB）和便民路（线段AB）．已知A、B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走（　　）米．

A．6π﹣6 B．6π﹣9 C．12π﹣9 D．12π﹣18

10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②4a﹣2b+c＜0，③a﹣b≥x（ax+b），④3a+c＜0，正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置。本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）函数y的自变量x的取值范围是　                　．

12．（3分）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是 　 　．

13．（3分）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为 　   　．

14．（3分）若x、y满足，则代数式x2﹣4y2的值为 　   　．

15．（3分）如图，将三角形纸片ABC折叠，使点B、C都与点A重合，折痕分别为DE、FG．已知∠ACB＝15°，AE＝EF，DE，则BC的长为 　              　．

16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线yx上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2也落在直线yx上，以此进行下去…若点B的坐标为（0，3），则点B21的纵坐标为 　                　．

三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）

17．（5分）计算：（3.14﹣π）0|1|+4sin60°．

18．（6分）先化简：（a），再从﹣1，0，1，2中选择一个适合的数代入求值．

19．（6分）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE＝DF，连接CE、CF．求证：CE＝CF．

20．（6分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象交于A（﹣1，n），B（3，﹣2）两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标．

四、实践应用题（本大题共4个小题，第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分）

21．（6分）在中国党成立100周年之际，我市某中学开展党史学习教育活动．为了了解学生学习情况，在七年级随机抽取部分学生进行测试，并依据成绩（百分制）绘制出以下两幅不完整的统计图．请根据图中信息回答下列问题：

（1）本次抽取调查的学生共有 　   　人，扇形统计图中表示C等级的扇形圆心角度数为 　   　．

（2）A等级中有2名男生，2名女生，从中随机抽取2人参加学校组织的知识问答竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．

22．（8分）国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示．

（1）求x的值；

（2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？

23．（8分）图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄AB与地面DE平行，踏板CD长为1.5m，CD与地面DE的夹角∠CDE＝15°，支架AC长为1m，∠ACD＝75°，求跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，1.73）

24．（8分）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段AB的端点都在格点上．要求以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形

五、推理论证题（9分）

25．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为5，tan∠EAD，求BC的长．

六、拓展探索题（10分）

26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．

（1）求b、c的值．

（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？

（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2021年四川省广安市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）16的平方根是（　　）

A．4 B．±4 C．8 D．±8

【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．

解：∵（±4）2＝16，

∴16的平方根是±4．

故选：B．

【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

2．（3分）下列运算中，正确的是（　　）

A．a2•a5＝a10 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2    

C．（﹣3a3）2＝6a6 D．﹣3a2b+2a2b＝﹣a2b

【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式分别判断即可．

解：A、a2•a5＝a7，故选项错误；

B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项错误；

C、（﹣3a3）2＝9a6，故选项错误；

D、﹣3a2b+2a2b＝﹣a2b，故选项正确；

故选：D．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，解题的关键是掌握各自的运算法则．

3．（3分）到2021年6月3日，我国31个省（自治区、直辖市）和生产建设兵团，累计接种新冠疫苗约7.05亿剂次，请将7.05亿用科学记数法表示（　　）

A．7.05×107 B．70.5×108 C．7.05×108 D．7.05×109

【分析】根据科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．即可将题目中的数据用科学记数法表示出来．

解：7.05亿＝705000000＝7.05×108，

故选：C．

【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（3分）下列几何体的主视图既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】先判断主视图，再根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

解：A、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；

B、主视图是是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；

C、主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；

D、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；

故选：B．

【点评】本题考查了几何体的三视图，中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．

5．（3分）关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）

A．a且a≠﹣2 B．a C．a且a≠﹣2 D．a

【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+2≠0且△≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．

解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，

∴△≥0且a+2≠0，

∴（﹣3）2﹣4（a+2）×1≥0且a+2≠0，

解得：a且a≠﹣2，

故选：A．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．

6．（3分）下列说法正确的是（　　）

A．为了了解全国中学生的心理健康情况，选择全面调查    

B．在一组数据7，6，5，6，6，4，8中，众数和中位数都是6    

C．“若a是实数，则|a|＞0”是必然事件    

D．若甲组数据的方差S甲2＝0.02，乙组数据的方差S乙2＝0.12，则乙组数据比甲组数据稳定

【分析】根据抽样调查及普查，众数和中位数，随机事件，方差的意义分别判断即可．

解：A、为了了解全国中学生的心理健康情况，人数较多，应采用抽样调查的方式，故不符合题意；

B、在一组数据7，6，5，6，6，4，8中，众数和中位数都是6，故符合题意；

C、|a|≥0，则“若a是实数，则|a|＞0”是随机事件，故不符合题意；

D、若甲组数据的方差S甲2＝0.02，乙组数据的方差S乙2＝0.12，则甲组数据比乙组数据稳定，故不符合题意；

故选：B．

【点评】此题主要考查了抽样调查及普查，众数和中位数，随机事件，方差的意义，解答本题的关键是熟练掌握各个知识点．

7．（3分）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1

【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．

解：∵反比例函数中k＜0，

∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．

∵﹣3＜0，﹣1＜0，

∴点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）位于第二象限，

∴y1＞0，y2＞0，

∵﹣3＜﹣1＜0，

∴0＜y1＜y2．

∵2＞0，

∴点C（2，y3）位于第四象限，

∴y3＜0，

∴y3＜y1＜y2．

故选：A．

【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．

8．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（　　）

A．65° B．70° C．75° D．80°

【分析】由旋转的性质可得∠BAD＝55°，∠E＝∠ACB＝70°，由直角三角形的性质可得∠DAC＝20°，即可求解．

解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，

∴∠BAD＝55°，∠E＝∠ACB＝70°，

∵AD⊥BC，

∴∠DAC＝20°，

∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝75°．

故选：C．

【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．

9．（3分）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路（劣弧AB）和便民路（线段AB）．已知A、B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走（　　）米．

A．6π﹣6 B．6π﹣9 C．12π﹣9 D．12π﹣18

【分析】作OC⊥AB于C，如图，根据垂径定理得到AC＝BC，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A，从而得到OC和AC，可得AB，然后利用弧长公式计算出的长，最后求它们的差即可．

解：作OC⊥AB于C，如图，

则AC＝BC，

∵OA＝OB，

∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠AOB）＝30°，

在Rt△AOC中，OC＝OA＝9米，

AC米，

∴AB＝2AC米，

又∵米，

∴走便民路比走观赏路少走()米，

故选：D．

【点评】本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．

10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②4a﹣2b+c＜0，③a﹣b≥x（ax+b），④3a+c＜0，正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y轴交点可得a，b，c的符号，从而判断②；再根据二次函数的对称性，与x轴的交点可得当x＝﹣2时，y＞0，可判断②；再根据x＝﹣1时，y取最大值可得a﹣b+c≥ax2+bx+c，从而判断③；最后根据x＝1时，y＝a+b+c，结合b＝2a，可判断④．

解：∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵对称轴为直线x＝﹣1，即，

∴b＝2a，则b＜0，

∵抛物线与y轴交于正半轴，

∴c＞0，

∴abc＞0，故①正确；

∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，

则与x轴的另一个交点在﹣2和﹣3之间，

∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故②错误；

∵x＝﹣1时，y＝ax2+bx+c的最大值是a﹣b+c，

∴a﹣b+c≥ax2+bx+c，

∴a﹣b≥ax2+bx，即a﹣b≥x（ax+b），故③正确；

∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，b＝2a，

∴a+2a+c＝3a+c＜0，故④正确；

故选：C．

【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．

二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置。本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）函数y的自变量x的取值范围是　x　．

【分析】根据二次根式中被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．

解：根据题意得：2x﹣1≥0，

解得：x．

故答案为：x．

【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

12．（3分）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是 　八　．

【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．

解：设多边形的边数是n，根据题意得，

（n﹣2）•180°＝3×360°，

解得n＝8，

∴这个多边形为八边形．

故答案为：八．

【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写．

13．（3分）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为 　12　．

【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝4，然后利用三角形三边的关系得到三角形第三边的长为4，从而得到计算三角形的周长．

解：x2﹣6x+8＝0，

（x﹣2）（x﹣4）＝0，

x﹣2＝0或x﹣4＝0，

所以x1＝2，x2＝4，

而2+3＝5，

所以三角形第三边的长为4，

所以三角形的周长为3+4+5＝12．

故答案为12．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．也考查了三角形三边的关系．

14．（3分）若x、y满足，则代数式x2﹣4y2的值为 　﹣6　．

【分析】根据方程组中x+2y和x﹣2y的值，将代数式利用平方差公式分解，再代入计算即可．

解：∵x﹣2y＝﹣2，x+2y＝3，

∴x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝3×（﹣2）＝﹣6，

故答案为：﹣6．

【点评】本题主要考查方程组的解及代数式的求值，观察待求代数式的特点与方程组中两方程的联系是解题关键．

15．（3分）如图，将三角形纸片ABC折叠，使点B、C都与点A重合，折痕分别为DE、FG．已知∠ACB＝15°，AE＝EF，DE，则BC的长为 　　．

【分析】由折叠的性质得出BE＝AE，AF＝FC，∠FAC＝∠C＝15°，得出∠AFE＝30°，由等腰三角形的性质得出∠EAF＝∠AFE＝30°，证出△ABE是等边三角形，得出∠BAE＝60°，求出AE＝BE＝2，证出∠BAF＝90°，利用勾股定理求出AF，即CF，可得BC．

解：∵把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，

∴BE＝AE，AF＝FC，∠FAC＝∠C＝15°，

∴∠AFE＝30°，又AE＝EF，

∴∠EAF＝∠AFE＝30°，

∴∠AEB＝60°，

∴△ABE是等边三角形，∠AED＝∠BED＝30°，

∴∠BAE＝60°，

∵DE，

∴AE＝BE＝AB2，

∴BF＝BE+EF＝4，∠BAF＝60°+30°＝90°，

∴FC＝AF2，

∴BC＝BF+FC，

故答案为：．

【点评】此题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质；根据折叠的性质得出相等的边和角是解题关键．

16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线yx上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2也落在直线yx上，以此进行下去…若点B的坐标为（0，3），则点B21的纵坐标为 　　．

【分析】计算出△AOB的各边，根据旋转的性质，求出OB1，B1B3，...，得出规律，求出OB21，再根据一次函数图像上的点求出点B21的纵坐标即可．

解：∵AB⊥y轴，点B（0，3），

∴OB＝3，则点A的纵坐标为3，代入，

得：，得：x＝﹣4，即A（﹣4，3），

∴OB＝3，AB＝4，OA5，

由旋转可知：

OB＝O1B1＝O2B2＝...＝3，OA＝O1A＝O2A1＝…＝5，AB＝AB1＝A1B1＝A2B2＝…＝4，

∴OB1＝OA+AB1＝4+5＝9，B1B3＝3+4+5＝12，

∴OB21＝OB1+B1B21＝9+（21﹣1）÷2×12＝129，

设B21（a,），则OB21，

解得：a或（舍），

则，即点B21的纵坐标为，

故答案为：．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，求出△OAB的各边，计算出OB21的长度是解题的关键．

三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）

17．（5分）计算：（3.14﹣π）0|1|+4sin60°．

【分析】根据零指数幂，二次根式的运算法则，去绝对值，特殊角的三角函数值化简各项，再计算加减法．

解：原式

＝0．

【点评】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．

18．（6分）先化简：（a），再从﹣1，0，1，2中选择一个适合的数代入求值．

【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再取使得分式有意义的a的值代入计算即可．

解：原式

由原式可知，a不能取1，0，﹣1，

∴a＝2时，原式．

【点评】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．

19．（6分）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE＝DF，连接CE、CF．求证：CE＝CF．

【分析】由四边形ABCD是菱形，得出BC＝CD，∠ABC＝∠ADC，根据等角的补角相等得出∠CBE＝∠CDF，从而△CDF≌△CBE(SAS)即可．

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴BC＝CD,∠ABC＝∠ADC，

∵∠ABC+∠CBE＝180°，

∠ADC+∠CDF＝180°，

∴∠CBE＝∠CDF，

在△CDF和△CBE中，

，

∴△CDF≌△CBE(SAS)，

∴CE＝CF．

【点评】本题主要考查了菱形的性质，以及全等三角形的判定与性质，证出∠CBE＝∠CDF是解题的关键．

20．（6分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象交于A（﹣1，n），B（3，﹣2）两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标．

【分析】（1）根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将A，B代入一次函数解析式；

（2）设点P的坐标为（a，0），求出直线AB与x轴交点，再结合△ABP的面积为4得到关于a的方程，解之即可．

解：（1）由题意可得：

点B（3，﹣2）在反比例函数图像上，

∴，则m＝﹣6，

∴反比例函数的解析式为，

将A（﹣1，n）代入，

得：，即A（﹣1，6），

将A，B代入一次函数解析式中，得

，解得：，

∴一次函数解析式为y1＝﹣2x+4；

（2）∵点P在x轴上，

设点P的坐标为（a，0），

∵一次函数解析式为y1＝﹣2x+4，令y＝0，则x＝2，

∴直线AB与x轴交于点（2，0），

由△ABP的面积为4，可得：

|a﹣2|＝4，即|a﹣2|＝4，

解得：a＝1或a＝3，

∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）．

【点评】本题考查一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．

四、实践应用题（本大题共4个小题，第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分）

21．（6分）在中国党成立100周年之际，我市某中学开展党史学习教育活动．为了了解学生学习情况，在七年级随机抽取部分学生进行测试，并依据成绩（百分制）绘制出以下两幅不完整的统计图．请根据图中信息回答下列问题：

（1）本次抽取调查的学生共有 　50　人，扇形统计图中表示C等级的扇形圆心角度数为 　108°　．

（2）A等级中有2名男生，2名女生，从中随机抽取2人参加学校组织的知识问答竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．

【分析】（1）由B等级的人数和所占百分比求出本次抽取调查的学生人数，即可解决问题；

（2）画树状图，共有12种等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．

解：（1）本次抽取调查的学生共有的人数为：24÷48%＝50（人），

∴扇形统计图中表示C等级的扇形圆心角度数为：360°108°，

故答案为：50，108°；

（2）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有8种，

∴恰好抽到一男一女的概率为．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

22．（8分）国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示．

（1）求x的值；

（2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？

【分析】（1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可；

（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（100﹣m）千克，利润为y，列出y关于m的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m的范围，再利用一次函数的性质求出最大值．

解：（1）由题意可知：

，

解得：x＝16；

（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（100﹣m）千克，利润为y，

由题意可知：

y＝（20﹣16）m+（25﹣16﹣4）（100﹣m）＝﹣m+500，

∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，

∴m≥100﹣m，

解得：m≥50，即50≤m＜100，

在y＝﹣m+500中，﹣1＜0，则y随m的增大而减小，

∴当m＝50时，y最大，且为﹣50+500＝450元，

∴购进甲种水果50千克，则乙种水果50千克，获得最大利润450元．

【点评】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式．

23．（8分）图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄AB与地面DE平行，踏板CD长为1.5m，CD与地面DE的夹角∠CDE＝15°，支架AC长为1m，∠ACD＝75°，求跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，1.73）

【分析】过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根据三角函数可求CF，在Rt△CDG中，根据三角函数可求CG，再根据FG＝FC+CG即可求解．

解：如图，过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．

∵CD与地面DE的夹角∠CDE为15°，∠ACD为75°，

∴∠ACF＝∠FCD﹣∠ACD＝∠CGD+∠CDE﹣∠ACD＝90°+15°﹣75°＝30°，

∴∠CAF＝60°，

在Rt△ACF中，CF＝AC•sin∠CAFm，

在Rt△CDG中，CG＝CD•sin∠CDE＝1.5·sin15°，

∴FG＝FC+CG1.5·sin15°≈1.3m．

故跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离约为1.3m．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是正确构造直角三角形．

24．（8分）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段AB的端点都在格点上．要求以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形

【分析】根据平行四边形的判定画出图形即可．

解：如图，四边形ABCD即为所求．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型．

五、推理论证题（9分）

25．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为5，tan∠EAD，求BC的长．

【分析】（1）连接OE，由题意可证OE∥AD，且DE⊥AF，即OE⊥DE，则可证CD是⊙O的切线；

（2）连接BE，证明△ADE∽△AEB，得到，根据tan∠EAD，在△ABE中，利用勾股定理求出BE和AE，可得AD和DE，再证明△COE∽△CAD，得到，设BC＝x，解方程即可求出BC．

解：（1）连接OE，

∵OA＝OE，

∴∠OAE＝∠OEA，

∵AE平分∠BAF，

∴∠OAE＝∠DAE，

∴∠OEA＝∠EAD，

∴OE∥AD，

∵ED⊥AF，

∴OE⊥DE，

∴CD是⊙O的切线；

（2）连接BE，∵AB为直径，

∴∠AEB＝90°＝∠D，

又∠DAE＝∠BAE，

∴△ADE∽△AEB，

∴，

又tan∠EAD，

∴，则AE＝2BE，又AB＝10，

在△ABE中，AE2+BE2＝AB2，即（2BE）2+BE2＝102，

解得：BE，则AE，

∴，

解得：AD＝8，DE＝4，

∵OE∥AD，

∴△COE∽△CAD，

∴，设BC＝x，

∴，解得：x，

经检验：x是原方程的解，

故BC的长为．

【点评】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，作出辅助线，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．

六、拓展探索题（10分）

26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．

（1）求b、c的值．

（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？

（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）过点P作PE⊥x轴，垂足为E，利用S四边形BCPQ＝S△ABC﹣S△APQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；

（3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明△PFM≌△QEP，得到MF＝PE＝t，PF＝QE＝4﹣2t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标．

解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0），

则 ，

解得：；

（2）由（1）得：抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），

∴△OAC是等腰直角三角形，由点P的运动可知：

APt，

过点P作PE⊥x轴，垂足为E，

∴AE＝PEt，即E（3﹣t，0），

又Q（﹣1+t，0），

∴S四边形BCPQ＝S△ABC﹣S△APQ

，

∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，

AC，AB＝4，

∴0≤t≤3，

∴当t＝2时，四边形BCPQ的面积最小，即为；

（3）∵点M是线段AC上方的抛物线上的点，

如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，

∵△PMQ是等腰直角三角形，PM＝PQ，∠MPQ＝90°，

∴∠MPF+∠QPE＝90°，又∠MPF+∠PMF＝90°，

∴∠PMF＝∠QPE，

在△PFM和△QEP中，

，

∴△PFM≌△QEP（AAS），

∴MF＝PE＝t，PF＝QE＝4﹣2t，

∴EF＝4﹣2t+t＝4﹣t，

又OE＝3﹣t，

∴点M的坐标为（3﹣2t，4﹣t），

∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，

∴4﹣t＝﹣（3﹣2t）2+2（3﹣2t）+3，

解得：t或（舍），

∴M点的坐标为（，）．

【点评】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键．