【线性代数】06-07-1线性代数(C类)及答案

一、单项选择题（每题3分，共15分）

1．设为实矩阵,则线性方程组只有零解是矩阵为正定矩阵的        

(A) 充分条件；  (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 无关条件。

2．已知为四维列向量组，且行列式 ，

，则行列式            

(A) ； (B) ； (C) ；   (D) 。

3．已知为阶可逆矩阵（），交换的第1，2列得，则          

(A) 交换伴随矩阵的第1，2行得；

(B) 交换伴随矩阵的第1，2行得（）；

(C) 交换伴随矩阵的第1，2列得；

(D) 交换伴随矩阵的第1，2列得（）。

4．对于元齐次线性方程组，以下命题中，正确的是          

(A) 若的列向量组线性无关，则有非零解；

(B) 若的行向量组线性无关，则有非零解；

(C) 若的列向量组线性相关，则有非零解；

(D) 若的行向量组线性相关，则有非零解。

5．设为阶非奇异矩阵，为的伴随矩阵，则           

(A) ； (B) ；

(C) ； (D) 。

二、填空题（每题3分，共15分）

6．设4阶矩阵满足行列式，，，则其伴随矩阵

必有一个特征值为               。

7．设阶向量，；矩阵 ,

且  ，则___    ______。

8．已知实二次型正定,则常数的

取值范围为________________。 

9．设矩阵，是中元素的代数余子式，，

，已知，则             。

10．设，，已知向量与线性相关，则＝          。

三、计算题(每题9分,共54分)

11． (1) 求方程的根，其中  ； 

(2) 计算阶行列式。

12．设矩阵， (1)  求可逆阵，使为对角阵；

(2)  求矩阵； (3)  求。

13．已知线性方程组  ，试讨论：

(1) 取何值时，方程组无解；  (2) 取何值时,方程有唯一解，并求出其解；

(3) 取何值时,方程有无穷多解，并求出其通解。

14. 设实二次型  ，

已知秩,求：（1）常数；  （2）正交变换，将化为标准型。

15. 设的基为 ，， 。

(1) 试由构造的一个标准正交基 ；

(2) 求由基  的过渡矩阵；

(3) 已知向量，求向量在基下的坐标。

16. 已知为阶矩阵，且满足方程，其中。

(1) 证明：矩阵可逆；(2) 求矩阵。

四、证明题(每题8分,共16分)

17．设向量组线性无关，且可由向量组线性表示。证明：

(1) 向量组线性无关；(2) 向量组与等价；

(3) 向量组中存在某个向量，使得向量组线性无关。

18．设是阶正定矩阵，是实对称矩阵。证明: 矩阵是正定矩阵。

线性代数（C）（05－06－2）期末试卷（A）参

一、选择题     1.(C)   2.(D)    3.(B)   4.(C)    5.(A) 

二、填空题     6．或6；  7. ；  8. ；  9．；  10. －1。

三、计算题

11．（1），1，－1，3，－3； （4分）

（2） 。 （9分）

12．(1) 的特征值为1，1/3；对应的特征向量，  (2分)

令 ， 则  (3分)

(2) ，   (5分)

   (7分)

(3)      (9分)

13．(1) 时， ，无解                            (2分)

(2)时，，唯一解 (5分)

(3) 时，，无穷多解, 通解 。    (9分)

14．解（1）由，，得；                               (3分)

（2）；     (8分)             (9分)

15．(1),,，                （3分）

(2)         （6分）

(3)                            （9分）

注：本题答案不唯一，如，，，则，

16．(1)  （4分）

(2) ，       (9分）

四、证明题

17．(1) ，故，     (2分) 

(2) ，且可由线性表示,

故向量组与等价                                     (5分)

(1)若不，则对任意， 线性相关，线性无关,故

由线性表示，，矛盾。              (8分)

18. 设，，为可逆矩阵，                           (2分)

则由      ，      

  得为正定矩阵，而与相似，的特征值与相同，也大于零，故矩阵是正定矩阵。