高三数学周期性和对称性试题

1. 函数图像的对称中心是                       ．

【答案】

【解析】因为函数为奇函数，对称中心是，因此函数图像的对称中心是.

【考点】奇函数性质，图像变换

2. 定义在R上的函数满足，则的值为(    ) 

【解析】由已知得，，，

，，

，，，

所以函数的值以6为周期重复性出现．所以，故选C．

3. 定义在R上的函数满足．当时，，当时，．

则（   ） 

【解析】由，可知函数的周期为6，

所以，，，，所以在一个周期内有，

所以

4. x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R上为(　　) 

【解析】因为f(x+1)=(x+1)-[x+1]

=(x+1)-([x]+1)=x-[x]=f(x).

所以f(x)是周期函数,故选D.

5. 设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图像，则f(2 014)＋f(2 015)＝(　　)

【解析】因为f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，

所以f(2 014)＋f(2 015)＝f(671×3＋1)＋f(672×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由图像可知f(1)＝1，f(－1)＝2，所以f(2 014)＋f(2 015)＝1＋2＝3.

6. 已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点成中心对称，对任意实数x都有f(x)＝－，且f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(0)＋f(1)＋…＋f(2013)＝________.

【答案】－2

【解析】由函数关于点对称可知，f(x)＋f＝0，所以f(1)＋f＝0，又f(x)＝－，所以＝＝－1，所以f(1)＝1，因为f(x)＝－，所以，所以f(1)＝1，因为f(x)＝－，所以f(x－3)＝－＝f(x)，即f(x)是以3为周期的函数，故f(3)＝f(0)＝－2，f(2)＝f(－1)＝1，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋(2013)＝f(0)＋[f(1)＋f(2)＋f(3)]×671＝f(0)＝－2.

7. 若对任意，，（、）有唯一确定的与之对应，称为关于、的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”:

（1）非负性:，当且仅当时取等号；

（2）对称性:；

（3）三角形不等式:对任意的实数z均成立.

今给出四个二元函数:①；②；③；

④.能够成为关于的、的广义“距离”的函数的所有序号是（     ） 

【解析】①对于函数：满足非负性：，当且仅当时取等号；满足对称性：；

∵，对任意的实数均成立，因此满足三角形不等式：．可知能够成为关于的、的广义“距离”的函数．

②，但是不仅时取等号，也成立，因此不满足新定义：关于的、的广义“距离”的函数；

③，若成立，则不一定成立，即不满足对称性；

④同理不满足对称性．

综上可知：只有①满足新定义，能够成为关于的、的广义“距离”的函数．

故选A．

【考点】新定义，函数的概念与表示.

8. 设定义如下面数表，数列满足，且对任意自然数均有，则 的值为___________________。

【答案】1.

【解析】寻找循环节是本题关键点，这类题几乎都是这样处理.有表格可得对任意自然数均有所以，，，，，，….所以该函数具有以4为周期的性质.所以.故填1.要从开始运算.并且要注意递推式的含义.

【考点】1.数列的思想.2.函数的周期性的知识.

9. 设函数的定义域为R，且是以3为周期的奇函数，,,,且，则实数的取值范围是          .

【答案】

【解析】因为是以3为周期的奇函数，所以，即，所以由，得，，即，所以，即或，解得或，故答案为：．

【考点】函数的周期性与奇函数性．

10. 定义在上的函数满足，若关于x的方程有5个不同实根，则正实数的取值范围是(   ) 

【解析】因为，函数满足所以，函数是周期为4的周期函数，做出的图象，使之有5个交点，即方程有5个不同实根.由图象可知，，

即在（3,5）有两个实数解，则，再由方程在（5,6）无解，得，故正实数的取值范围是，选D.

【考点】函数的周期性，函数与方程

11. 已知函数是上的奇函数,且的图象关于直线对称,当时,，则             .

【答案】

【解析】由函数是上的奇函数,且的图象关于直线对称，则知的周期为4，且，所以.

【考点】1.函数的周期性与对称性；2.函数求值.

12. 已知定义在R上的函数对任意的都满足，当 时，，若函数至少6个零点，则取值范围是（      ） 

【解析】由得，因此，函数周期为2.因函数至少6个零点，可转化成与两函数图象交点至少有6个，需对底数进行分类讨论.当时：得，即.当时：得，即.所以取值范围是.

【考点】1.函数周期；2.函数零点问题.

13. 给出下列五个命题：

①函数在区间上存在零点；

②若，则函数在处取得极值；

③“”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件；

④函数的图像与函数的图像关于轴对称；

⑤满足条件AC=，AB =1的三角形△ABC有两个．其中正确命题的是       .

【答案】①③④

【解析】

①,,则在处取得极值.故正确;

②如函数 ， ，而在R上无极值.故错误；

③当时，即 为奇函数；由在定义域上是奇函数有，则 . 故正确.

④设函数的图像上一点 ，则关于轴的对称点为，此点在图像上,故正确；

⑤ ，而 ，故 .则这样的三角形只有1个，故错误.

【考点】1.函数的零点；2.函数的极值；3.奇函数的判定；4.解三角形解的个数；5.命题的真假.

14. 若函数对于任意的都有，且，则（   ） 

【解析】由可知函数周期，当时可知，，，因此. 故选B.

【考点】函数的周期性.

15. 在平面直角坐标系中，若P，Q满足条件：（1）P,Q都在函数f（x）的图象上；（2）P,Q两点关于直线y=x对称，则称点对{P,Q}是函数f(x)的一对“可交换点对”.（{P,Q}与{Q,P}看作同一“可交换点”.试问函数的“可交换点对有（    ） 

【解析】设p（x，y）是满足条件的“可交换点”,则对应的关于直线y=x的对称点Q是（y，x），所以=,由于函数y=和y=的图象由两个交点，因此满足条件的“可交换点对”有两个，故选C.

【考点】函数的性质

16. 若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.

【答案】16；

【解析】依题意，为偶函数，

展开式中的系数为，故，的系数为，故，令，得，由对称轴为-2可知，将该式分解为，可知其在和处取到最大值，带入，可知最大值为16.

【考点】本题考查函数的性质，考查学生的化归与转化能力以及基本运算能力.

17. 定义在上的函数，对任意都有，当 时，，则           ．

【答案】 

【解析】因为对任意都有，所以函数是以3为周期的周期函数，所以.

【考点】周期函数.

18. 设是定义在上的奇函数，且的图像关于直线对称，则=         ．

【解析】的图像关于直线对称，所以，又是定义在上的奇函数，所以，，，所以.

【考点】函数图象的中心对称和轴对称.

19. 已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意的实数，都有，且当时，，则的值为                   （   ） 

【解析】由已知为上奇函数且周期为2，对于任意的实数，都有，

.

【考点】函数的性质.

20. 已知函数，，有下列4个命题：

①若，则的图象关于直线对称；

②与的图象关于直线对称；

③若为偶函数，且，则的图象关于直线对称；

④若为奇函数，且，则的图象关于直线对称.

其中正确的命题为___ ____ .

【答案】 ①②③④

【解析】①中令则化为则的图象关于直线对称；②中关于直线对称的函数解析式就是将原式中的换成就行了，即是所以②正确；③中为偶函数,且用换得，所以的图象关于直线x=2对称是对的；④中， ，说明函数图象关于直线对称。为奇函数，它的图象关于原点对称，所以函数图象也关于直线x=1对称，④正确.

【考点】函数的对称性，函数的奇偶性.

21. 设是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图像，则＋＝（    ）

【解析】,,所以＋＝.

【考点】函数的周期性.

22. 若对任意的，函数满足，且，则（ ） 

【解析】由，且，令，可知令，可知依次类推，可得

【考点】本小题主要考查抽象函数及其应用.

点评：解决抽象函数问题的主要方法是“赋值法”，而且此类问题一般和函数的周期性结合考查.

23. 已知是上最小正周期为的周期函数，且当时，，则函数在区间上的图像与轴的交点个数为（  ） 

【解析】当时，,与轴有两个交点，因为是上最小正周期为的周期函数，所以当和时分别有两个交点，另外当时也有一个交点，所以与轴的交点个数为7个.

【考点】本小题主要考查函数的周期性的应用，考查函数图象与轴交点个数的判断，考查学生的推理判断能力.

点评：函数的周期性也是常考的内容，要结合图象进行判断.

24. 已知是定义在R上的函数,都有,若函数的图象关于直线对称,且,则(    ) 

【解析】因为函数f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，

所以函数f（x）的图象关于直线x=0对称，即函数f（x）是偶函数，故有f（-x）=f（x）．

∵对任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+2f（3），

∴f（-3+6）=f（-3）+2f（3）⇒f（-3）+f（3）=0⇒2f（3）=0⇒f（3）=0,

∴f（x+6）=f（x）+2f（3）=f（x）．即函数周期为6．

∴f（2012）=f（6×335+2）=f（2）=f（-2）=2012.．

25. 已知函数满足：，，则…等于（   ） 

【解析】令x=1,y=0,则令x=n,y=1,

所以,所以,

所以

,,

所以f(n)的周期为6,因为f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,所以…

.

26. 若函数 , ，且关于x的方程有2个不等实数根、，则  

【解析】解：因为函数 , ，且关于x的方程有2个不等实数根、，关于对称轴对称，因此则 ，选B

27. 定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为 

【解析】,

,,当时，,

当时，;当时，,所以当n<3时，.

当n=3时，取到最小值为.

28. 设函数，则(　) 

【解析】函数.在单调递减，其图象关于直线对称.

29. 已知定义在R上的奇函数满足，且时，，甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：甲：；乙：函数在[-6，-2]上是增函数；丙：函数关于直线对称；丁：若，则关于x的方程在[-8,8]上所有根之和为-8，其中正确的是 

【解析】解：因为定义在R上的奇函数满足，说明周期为8，且时，，那么利用抽象函数的性质可知正确的命题为甲和丁，选D

30. 定义在上的偶函数满足且，则的值为 

【解析】由，所以。

所以，选C。

31. 已知为R上的奇函数，且，若，则

【解析】故选D

32. 函数的图像关于（    ）对称 

【解析】略

33. 将一张坐标纸折叠一次，使点（10，0）与（－6，8）重合，则与点（－4，2）重合的点是                                                  （   ） 

【解析】略

34. 若函数y=f(x)的图象与函数y=e2-x的图像关于直线y=x对称，则f(x)=   

【解析】本题考查对称性,图像关于直线对称的概念.

设函数的图像上任意点点关于直线的对称点为则又函数的图像与函数的图像关于直线对称，所以点在函数的图像上，则把代入得；所以所以故选D

35. 已知函数是周期为4的函数，

其部分图象如右图，给出下列命题：①是奇函数；

②的值域是；③关于的方程

必有实根；

④关于的不等式的解集非空。其中正确命题的个数为（ ▲ ） 

【解析】略

36. 已知函数的图象关于原点对称，则________________．

【答案】-1

【解析】此题答案应为-1

根据函数f(x)=的图象关于原点对称知，函数为奇函数，再有特殊点代入即：f（-1）=-f（1）可得到b的值．

解：∵f(-1)= =-f(1)=-

∴b=-1．

故答案为：-1．

37. 下列函数为周期函数的是：            （    ） 

【解析】根据周期函数定义，结合图像。故选D.

选项A                                选项B

选项C                                  选项D

【考点】函数的周期性.

38. 设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数为函数的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：

①如果“似周期函数”的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；

②函数是“似周期函数”；

③函数是“似周期函数”；

④如果函数是“似周期函数”，那么“”．

其中是真命题的序号是           ．（写出所有满足条件的命题序号）

【答案】①③④

【解析】①如果“似周期函数”的“似周期”为-1，则，则，所以它是周期为2的周期函数；

②假设函数是“似周期函数”，则存在非零常数，使对于恒成立，即

，即恒成立，则且,显然不成立；

③设，即,易知存在非零常数，使成立，所以函数是“似周期函数”；

④如果函数是“似周期函数”，则，由诱导公式，得，当时，,当时，,所以“”；故选①③④.

【考点】新定义题目.

39. 定义在R上的函数满足，当时，，当时，．则（  ） 

【解析】根据题意函数的周期为，所以，

，所以：

，所以答案为：B．

【考点】1．函数的周期性；2．分段函数．

40. 已知函数满足，关于轴对称，当时，，则下列结论中正确的是（  ） 

【解析】∵关于y轴对称，∴是以4为周期的周期函数，其图象的对称轴为，∵当时，，∴在区间是增函数；∴，∵，且函数在区间上是增函数，∴，即，故选：A．

【考点】抽象函数．