广东省广州市番禺区2016_2017学年高二数学上学期期末考试试题文

A 1

C 1

广东省广州市番禺区2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题 文

一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有

一项是符合题目要求的． 1.集合

{}{}R

x y y B R x x y y A x ∈==∈+==,2,,1,则A B ⋂等于 ( )

A. ()+∞,0

B. {}1,0

C. {}1,2

D. {})2,1(),1,0(

2．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 ( )

A. 74y x =+

B. 72y x =+

C. 4y x =-

D.2y x =-

3. 下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是 （ ）

A ．()3x

f x = B.()12

f x x = C.()3

f x x = D.()12x

f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭

4．以下四个命题中，其中真命题的个数为 （ ）

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

②对于命题p: R x ∈∃,使得012

<++x x .则:p x R ⌝∀∈,均匀012

≥++x x ③“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的充分不必要条件； ④“若0=+y x ，则x ，y 互为相反数”的逆命题 A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

5．若直线:1l y kx =+被圆C ：2

2230x y x +--=截得的弦最短，则直线l 的方程是（ ） A ．0x = B ．1y = C ．10x y +-= D ．10x y -+= 6.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321

,

,22a a a 成等差数列，则

8

10a a （ ）

A

．3- C

．3+

7．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是CC 1的中点，F 是

（第9题图）

正视图

侧视图

俯视图

A 1

B 的中点，且βα+=，则( )

A ．1,21-==

βα B ．1,2

1

=-=βα C ．21,1-==βα D ．2

1

,1=-=βα

8．抛物线y 2=4x 的焦点到双曲线x 2﹣y 2=2的渐近线的距离是（ ） A ． B ． C ． D ．2

9．已知某锥体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该锥体的体积为 ( )

A ．23

cm B ．43

cm C ．63

cm D ．83

cm

10.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）

A ．15

B ．16

C ．17

D ．18

11．已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则

某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是（ ） A ．1﹣

B ．1﹣

C ．1﹣

D ．1﹣

12．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1

2

e =，右焦点为F （c, 0），方程20ax bx c +-=的两

个实根分别为x 1和x 2，则点P （x 1, x 2）（ ） A ．必在圆222x y

+

=内

B ．必在圆222x y +=上

S=0 , n=1

D ．以上三种情形都有可能

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上

13.已知向量,a b 的夹角为45

，且||1a =

，|2|a b - ||b = .

14．已知样本7，5，x ，3，4的平均数是5，则此样本的方差为 . ． 15．球O 内有一个内接正方体，正方体的全面积为24，则球O 的体积是

16.记不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪

+≥⎨⎪+≤⎩

所表示的平面区域为D ，若直线(1)y a x =+与D 有公共点，则a 的取

值范围是 .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （满分10分） 己知函数)2

0,0)(cos(2)(π

ϕωϕω<

<>+=x x f 的最小正周期为π，直线

24

π

-

=x 为它的图象的一条对称轴．

(1)求ω，φ的值；

(2)在c b a ABC ,,中∆分别为角C B A ,,的对应边，若3,2)2

(==-a A

f ，c b +=6，求b ，c 值．

18．（满分12分）某中学对高三年级进行身高统计，测量随机抽取的20名学生的身高，其频率分布

直方图如下（单位:cm ）.

（1）根据频率分布直方图,求出这20名学生身高中位数的估计值和平均数的估计值. （2）在身高为140～160的学生中任选2个,求至少有一人的身高在150～160之间的概率.

19．（满分12分）已知递增的等差数列{}n a 中，2a 、5a 是方程027122=+-x x 的两根，数列{}

n b

cm ）

为等比数列，

12328,.327b b b =+=

⑴求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

⑵记n n n b a c ⋅=，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：n T 2<

20. （本小题满分12分）在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2的正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，D 、E 分别是线段BB 1、AC 1的中点． （1）求证：DE ∥平面A 1B 1C 1；

（2）若平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，BB 1=4，求三棱锥A ﹣DCE 的体积．

21. （本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，离心率e =

，且其中一个焦点与抛物线2

14

y x =

的焦点重合. （1）求椭圆C 的方程；

（2）过点1(,0)3

S -的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，

使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.

22. （本小题满分12分）已知函数f （x ）=ax+xlnx （a ∈R ） （1）当a=2时，求函数f （x ）的单调区间。

（2）当a=1且k ∈Z 时，不等式k （x ﹣1）＜f （x ）在x ∈（1，+∞）上恒成立，求k 的最大值．

2016学年第一学期期末考试高二年级数学（文科）参

一、选择题：ADABD CABAB CA

11解：∵三角形的三边长分别是5，5，6，∴三角形的高AD=4， 则三角形ABC 的面积S=×6×4=12，

则该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2，

对应的区域为图中阴影部分，三个小扇形的面积之和为一个

整圆的面积的，圆的半径为2，则阴影部分的面积为S 1=12﹣×π×22

=12﹣2π， 则根据几何概型的概率公式可得所求是概率为=1﹣

，故选：C ．

二、填空题：

13. ． 2 ． 15．． 16. ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，4

三、解答题

17. （本题满分10分）

解：（Ⅰ）函数)(x f 的最小正周期为π2,2=∴=

ωω

π

, ……2分

24

π

-

=x 为)(x f 的图象的一条对称轴,∴12

)2

0()24

(2π

ϕπ

ϕπϕπ

=

∴<

<=+-

⨯k ……5分

（Ⅱ）2)12

cos(2)2(=-=-

π

A A f ，22)12cos(=

-∴πA

…………7分

, 即bc=9 。 ……9分

又b+c=6，解得到b=c=3. ……10分 18．（本题满分12分）

解： (1)中位数的左边和右边的直方图的面积相等,由此可以估计中位数的值,

0.10.30.04 2.50.5++⨯= ，所以中位数的估计值为162.5.…………………………3分

平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.则平均数的估计值为1450.11550.31650.41750.2162⨯+⨯+⨯+⨯=……6分

(2)这20名学生中,身高在140～150之间的有2个,分别为A,B,身高在150～160之间的有6人,分别为C,D,E,F,G,H,则从这8人中任选2个的所有基本事件有

AB,AC,AD,AE,AF,AG,AH,BC,BD,BE,BF,BG,BH,CD, CE,CF,CG,CH,DE,DF,DG,DH,EF,EG,EH,FG,FH,GH 共28个, 两个身高都在140～150之间的事件有AB 共1个, 所以至少有一个人在150～160之间的概率为12712828

P =-=.………………………12分 19. （本题满分12分）

⑴解027122=+-x x 得31=x ， 92=x ，因为{}n a 是递增，所以32=a ，95=a ……1分

解⎩⎨⎧=+==+=39412

15d a a d a a 得⎩⎨⎧==211d a ，所以12-=n a n ……2分

又由3

2

1=

b ， 23827b b +=，得q=13， ……4分

所以1

22

(3

1)

3

3

n n

n b -==

。 ……6分

⑵ n

n n n n b a c 3

2

4-=

⋅=…………………………7分 n

n n n n T 32

432)1(43234322432141321-+--⨯++-⨯+-⨯+-⨯=

- ……8分 12

2103

2

432)1(43234322432143---+--⨯++-⨯+-⨯+-⨯=

n n n n n T ……9分 两式相减得：n n n n T 32434343422121--++++=- n

n 34

44+-

=， ……10分 所以n

n n T 32

22+-

=2<……12分 20. （本题满分12分）

（1）证明：取棱A 1C 1的中点F ，连接EF 、B 1F…

则由EF 是△AA 1C 1的中位线得EF ∥AA 1，EF=AA 1 ……2分

又DB 1∥AA 1，DB 1=AA 1 ……2分

所以EF ∥DB 1，EF=DB 1

故四边形DEFB 1是平行四边形，从而DE ∥B 1F…

所以DE ∥平面A 1B 1C 1 …………6分

（Ⅱ）解：因为E 是AC 1的中点，所以V A ﹣DCE =V D ﹣ACE =…

过A 作AH ⊥BC 于H…

因为平面平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，所以AH ⊥平面BB 1C 1C ，…

所以== ……10分

所以V A ﹣DCE =V D ﹣ACE == …………12分

21．（本题满分12分） 解：（1）设椭圆的方程为()222210x y a b b a +=>>

，离心率c e a ==，—1分 又抛物线21

4y x =的焦点为()0,1

，所以1,1c a b ===， ——3分

∴椭圆C 的方程是2

212y x +=. ——4分

（2）若直线l 与x 轴重合，则以AB 为直径的圆是221x y +=，若直线l 垂直于x 轴， 则以AB 为直径的圆是2

21

16

39x y ⎛⎫

++= ⎪⎝⎭. ——5分 由222

21,

116,39x y x y ⎧

+=⎪⎨⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎩解得1,

0.x y =⎧⎨=⎩即两圆相切于点

()1,0.

因此所求的点T 如果存在，只能是()1,0. ——6分[

当直线l 不垂直于x 轴时，可设直线1:3l y k x ⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭. ——7分

由221,

31,

2y k x y x ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩消去y 得()2222

2122039k x k x k +++-=. ——8

分

设()()1122,,,A x y B x y ，则2

1222

12223

,

2

12

9

.

2k x x k k x x k ⎧-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩ ——9分

又因为()()11221,,1,TA x y TB x y =-=- ，()()121211TA TB x x y y ∴⋅=--+

——10分

()()()2221212222222211

111

3912211

93111

2329k x x k x x k k k k k k k k ⎛⎫

=++-+++ ⎪⎝⎭--⎛⎫=+⋅+-⋅++ ⎪++⎝⎭

0,= ——11分

TA TB ∴⊥,即以AB 为直径的圆恒过点()1,0T . 故在坐标平面上存在一个定点()1,0T 满足条件. ——12分

22. （本题满分12分）

解：（1）∵a=2，∴f （x ）=2x+xlnx ，定义域为（0，+∞）。 ……1分

∴f′（x ）=3+lnx ，由f′（x ）〉0得到x 〉e -3 ，由f′（x ）〈0得到x 〈e -3 ………3分

∴函数f （x ）=2x+xlnx 的增区间为（e -3，+∞），减区间为（0，e -3）. ……4分

（2）当x ＞1时，x ﹣1＞0，故不等式k （x ﹣1）＜f （x ）⇔k ＜，

即对任意x ＞1恒成立． ……5分 令 则， ……6分 令h （x ）=x ﹣lnx ﹣2（x ＞1），

则在（1，+∞）上单增．

∵h （3）=1﹣ln3＜0，h （4）=2﹣ln4＞0，

∴存在x 0∈（3，4）使h （x 0）=0，

当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，

∴g（x）在（1，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增．……10分令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，

=x0∈（3，4），……11分

∴k＜g（x）min=x0且k∈Z，

即k max=3．……12分