上海交通大学2015-1末 高数试卷(医科类)

一、选择题（本题共15分，每小题3分）

1. 设()f x 有二阶连续的导数，2sin ()()'+=x f x f x e ，且(0)1=f ，则 ( ) （A ）(0)f 是极小值； （B ）(0)f 是极大值；

（C ）(0)f 不是极值； （D ）(0,(0))f 是曲线()=y f x 的拐点。

2. 积分1

111||I dx x x -=⎰，29

20sin I xdx π=⎰，13211x x xe I dx e -=+⎰和242

sin I x xdx π

π-

=⎰中，值为0的是 ( ) （A ）2I 、3I 和4I ； （B ）1I 、2I 和3I ； （C ）1I 和2I ； （D ）2I 和3I 。

3. 设0

()x f x =⎰

，2345()g x ax bx cx dx =+++。若当0x →时()f x 与()g x 是同阶无

穷小，则 （ ) （A ）0a ≠ ； （B ）0a =，0b ≠； （C ）0a b ==，0c ≠； （D ）0a b c ===。

4. 设()f x 和()g x 在(,)-∞+∞上可导，且()()-f x g x ； （B ）0

lim ()lim ()→→（C ）()()''()()x x

f x dx

g x dx <⎰⎰。

5. 已知非负函数()f x 在[1,)+∞上连续，且1

()f x dx +∞

⎰

收敛，则关于函数1

()

()x

f t x dt t

ϕ=⎰

（[1,)x ∈+∞）的下列说法中，不正确是 （ ） （A ）可导； （B ）无界； （C ）无极值； （D ）单调。

二、填空题（本题共15分，每小题3分） 6. 设()=y f x 在任意点x 处增量2

2()1∆=

∆+∆+x

y x o x x ，且(0)1=f ，则(1)=f ________。 7. 函数32()3=-f x x x 的单调递减区间是_____________________________。 8. 微分方程()0--+=y x e dy ydx 的通解为_____________________________。 9. 设()f x 是周期为1的连续函数，且0

1

()2f x dx -=⎰。若0

21

()()F x x f x t dt -=-⎰，则

()'=F x ____________。

10. 抛物线22=y x 将圆228+=x y 分成左右两部分，则左右两部分面积之比为________。

三、计算积分（本题共24分,每小题8分）

11. 求⎰。

12. 求2|23|x x dx --⎰5-5。 13. 求2

1

⎰。

四、综合题（本题共8分）

14. 设曲线方程为x y e -=（0x ≥），在该曲线上找一点，使过此点的切线与两个坐标轴所围成

平面图形的面积最大，并求该面积值。

五、求解微分方程（本题共18分，第15小题10分，第16小题8分） 15. 求微分方程22cos ''+=+y y x x 的通解。

16. 求微分方程2(1)y y y '''=-满足(2)2y =，(2)1y '=-的解。

六、（本题共12分）

17. 全面研究函数22

2()(1)=-x f x x 的性态，并作出它的图形。

七、（本题共8分）

18. 设函数()f x 在∞∞(-,+)上可导、有界，2

[()()]()4-+--=

⎰x

x

f t x f t x dt

x x

ϕ。

（1）求0

lim ()→x x ϕ；

（2）证明：()x ϕ在∞∞(-,+)\\{0}上是有界函数。