2020届四川省绵阳市高三上学期第二次诊断性考试数学(理)试题含答案

绵阳市高中2017级第二次诊断性考试

理科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U= {x|x>0}，M={x|l    A.(1,2)    B.(2,+∞)∪[2,+∞)  D.[2,+∞) 

2.已知i为虚数单位，复数z满足z·i=1+2i，则z的共轭复数为

 ．2．l．2．i-2

3．已知两个力F1=(l，2)，F2=(-2，3)作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力F3，则F3=

 ，-．(-1，5） ．(5，-．（-5，l）

4．甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为

  A． ． ． ． 

5．已知α为任意角，则“cos2α=”是“sinα=”的

  A．充分不必要条件 ．必要不充分条件

  C.充要条件 既不充分也不必要

6．若(ax- ) 5的展开式中各项系数的和为l，则该展开式中含x3项的系数为

 ．-．-．1．80

7．己知某产品的销售额y与广告费用x之间的关系如下表：

 若根据表中的数据用最小二乘法求得y对x的回归直线方程为y= 6.5x+9，则下列说 法中错误的是

 的值是20

 该回归直线过点(2，22)

 ．产品的销售额与广告费用成正相关

 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元

8．双曲线（a>0，b>0）的右焦点为F，过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A，B两点，若四边形OAFB (O为坐标原点)的面积为bc，则双曲

线的离心率为

    B.2    C. 

9．小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分，现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为x,则X的期望为

 ．1．2．

10.已知圆C：x2 +y2 -6x-8y+9=0，点M,N在圆C上，平面上一动点P满足|PM|=|PN|且PM⊥PN,则|PC|的最大值为

    A.8    B. 8 ．4．4  

11.己知f(x)为偶函数，且当x≥0时，，则满足不等式 2m)+f()< 2f (1)的实数m的取值范围为

  A．（ ，2） ．(0，2．(0，)∪(1，2．(2，+∞)

12．函数f(x)=(2ax-1)2 -loga(ax+2）在区间[0， ]上恰有一个零点，则实数a的取值范围是

  ， ∞)∪[3, +∞

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．直线l1：ax-(a+l)y-1=0与直线4x-6y+3=0平行，则实数a的值是    ．

14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法一一随机投针法。受其启发，我们设计 如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于l的正实数对(x,y)；再统计两数的平方和小于l的数对(x,y)的个数m, 最后再根据统计数m来估计π的值，已知某同学一次试验统计出m=156，则其试验估计π为__  __．

15．函数的图象如右图所示，则f(x)在区间[-π，π]上的零点之和为____．

16．过点M(-1，0)的直线，与抛物线C: y2=4x交于A，B两点(A在M，B之间)，F是抛物线C的焦点，点N满足：，则△ABF与△AMN的面积之和的最小值是    。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

 （一）必考题：共60分。

17.  (12允)

每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查：该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t(小时)的频率分布直方图如图所示：

 求样本学生一个月阅读时间t的中位数m.

(2)已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关．

18. （12分 、

 已知等羞数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1+a2=0，S6=24．各项均为正数的等比数

列{bn}满足bl+b2=a4+1，b3=S4．

 ，求an和bn；

 求和：Tn=1+(1+b1)+(1+bl+b2)+…+（1+bl+b2+…+bn-1）．

19. (12分)

 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知(sinA+sinB)(a -b)=c(sinC+sinB).

 求A；

(2)若D为BC边上一点，且AD⊥BC, BC=2AD，求sinB．

20. (12分)

 已知椭圆C： ，直线l交椭圆C于A，B两点．

 若点P(-1，1)满足=0 (O为坐标原点)，求弦AB的长；

 若直线l的斜率不为0且过点(2，0)，M为点A关于x轴的对称点，点N(n，O)

  满足 ，求n的值．

  21．(12分)

己知函数f(x) =2lnx+x2-ax，其中a∈R．

 讨论函数f(x)的单调性；

 设函数f(x)有两个极值点xl，x2(其中x2>x1)，若f(x2)-f(xI)的最大值为2ln2-，求实数a的取值范围．

  （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题申任选一题做答。如果多做，则按所做的

  第一题计分。

  22.[选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）

在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（r>0， 为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1经过点P(2，)，曲线C2的直角坐标方程为x2-y2=1．

 求曲线C1的普通方程，曲线C2的极坐标方程；

(2)若A(ρ1，α)，B(ρ2，α-)是曲线C2上两点，当α∈(0，)时，求

的取值范围．

23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）

 已知关于x的不等式|x+l|-|2x-l|≤，其中a>0．

(1)当a=4时，求不等式的解集；

(2)若该不等式对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．