最新初中数学圆的基础测试题及解析

一、选择题

1．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交BC于点D，连接AD，若∠DAC＝30°，DC＝1，则⊙O的半径为（  ）

A．2 ． ．2﹣ ．1

【答案】B

【解析】

【分析】

先由圆周角定理知∠BDA=∠ADC=90°，结合∠DAC=30°，DC=1得AC=2DC=2，∠C=60°，再由AB=ACtanC=2可得答案．

【详解】

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BDA＝∠ADC＝90°，

∵∠DAC＝30°，DC＝1，

∴AC＝2DC＝2，∠C＝60°，

则在Rt△ABC中，AB＝ACtanC＝2，

∴⊙O的半径为，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角和三角函数的应用．

2．如图，在矩形中，，以为圆心，长为半径画弧交于点，以为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，则图中阴影部分的面积是（ ）

A． ． ． ．

【答案】C

【解析】

【分析】

先分别求出扇形FCD和扇形EAD的面积以及矩形ABCD的面积，再根据阴影面积＝扇形FCD的面积﹣（矩形ABCD的面积﹣扇形EAD的面积）即可得解．

【详解】

解：∵S扇形FCD，S扇形EAD，S矩形ABCD，

∴S阴影＝S扇形FCD﹣（S矩形ABCD﹣S扇形EAD）

＝9π﹣（24﹣4π）

＝9π﹣24+4π

＝13π﹣24

故选：C．

【点睛】

本题考查扇形面积的计算，根据阴影面积＝扇形FCD的面积﹣（矩形ABCD的面积﹣扇形EAD的面积）是解答本题的关键．

3．已知下列命题：

①若a＞b，则ac＞bc；

②若a=1，则=a；

③内错角相等；

④90°的圆周角所对的弦是直径．

其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（　　）

A．1个 ．2个 ．3个 ．4个

【答案】A

【解析】

【分析】

先对原命题进行判断，再判断出逆命题的真假即可．

【详解】

解:①若a＞b，则ac＞bc是假命题，逆命题是假命题；

②若a=1，则=a是真命题，逆命题是假命题；

③内错角相等是假命题，逆命题是假命题；

④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题；

其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个；

故选A．

点评：主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

4．如图，△ABC的外接圆是⊙O，半径AO=5，sinB=，则线段AC的长为（ ）

A．1 ．2 ．4 ．5

【答案】C

【解析】

【分析】

首先连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD，由CD是⊙O的直径，可得∠CAD=90°，又由⊙O的半径是5，sinB=，即可求得答案．

【详解】

解：连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD，

由CD是⊙O的直径，可得∠CAD=90°，

∵∠B和∠D所对的弧都为弧AC，

∴∠B=∠D，即sinB=sinD=，

∵半径AO=5，

∴CD=10，

∴，

∴AC=4，

故选：C.

【点睛】

本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.

5．如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（　　）

A．4.5 ．4 ．3 ．2

【答案】B

【解析】

【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．

【详解】连接AI、BI，

∵点I为△ABC的内心，

∴AI平分∠CAB，

∴∠CAI=∠BAI，

由平移得：AC∥DI，

∴∠CAI=∠AID，

∴∠BAI=∠AID，

∴AD=DI，

同理可得：BE=EI，

∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，

即图中阴影部分的周长为4，

故选B．

【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．

6．如图，是的直径，是上一点（、除外），，则的度数是（ ）

A． ． ． ．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平角得出的度数，进而利用圆周角定理得出的度数即可．

【详解】

解：，

，

，

故选：．

【点睛】

本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的度数的一半是解答此题的关键．

7．如图，在⊙O，点A、B、C在⊙O上，若∠OAB＝54°，则∠C(　　)

A．54° ．27° ．36° ．46°

【答案】C

【解析】

【分析】

先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后利用圆周角解答即可.

【详解】

解：∵OA＝OB，

∴∠OBA＝∠OAB＝54°，

∴∠AOB＝180°﹣54°﹣54°＝72°，

∴∠ACB＝∠AOB＝36°．

故答案为C．

【点睛】

本题考查了三角形内角和和圆周角定理,其中发现并正确利用圆周角定理是解题的关键.

8．如图，在扇形中，，点是弧上的一个动点（不与点、重合），、分别是弦，的中点．若，则扇形的面积为（  ）

A． ． ． ．

【答案】A

【解析】

【分析】

如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题．

【详解】

解：如图作OH⊥AB于H．

∵C、D分别是弦AP、BP的中点．

∴CD是△APB的中位线，

∴AB＝2CD＝，

∵OH⊥AB，

∴BH＝AH＝，

∵OA＝OB，∠AOB＝120°，

∴∠AOH＝∠BOH＝60°，

在Rt△AOH中，sin∠AOH＝，

∴AO＝，

∴扇形AOB的面积为：，

故选：A．

【点睛】

本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

9．如图，已知AB是⊙O是直径，弦CD⊥AB，AC=2，BD=1，则sin∠ABD的值是(　　)

A．2 ． ． ．3

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据垂径定理，可得BC的长，再利用直径对应圆周角为90°得到△ABC是直角三角形，利用勾股定理求得AB的长，得到sin∠ABC的大小，最终得到sin∠ABD

【详解】

解：∵弦CD⊥AB，AB过O，

∴AB平分CD，

∴BC=BD，

∴∠ABC=∠ABD，

∵BD=1，

∴BC=1，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

由勾股定理得：AB=，

∴sin∠ABD=sin∠ABC=

故选：C．

【点睛】

本题考查了垂径定理、直径对应圆周角为90°、勾股定理和三角函数，解题关键是找出图形中的直角三角形，然后按照三角函数的定义求解

10．如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD等于(　　)

A．20° ．25° ．30° ．32.5°

【答案】A

【解析】

【分析】

连接OD，根据三角形内角和定理和等边对等角求出∠DOB＝40°，再根据圆周角定理即可求出∠BAD的度数．

【详解】

解：连接OD，

∵OC⊥AB，

∴∠COB＝90°，

∵∠AEC＝65°，

∴∠OCE＝180°﹣90°﹣65°＝25°，

∵OD＝OC，

∴∠ODC＝∠OCD＝25°，

∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，

∴∠DOB＝∠DOC﹣∠BOC＝130°﹣90°＝40°，

∴由圆周角定理得：∠BAD＝∠DOB＝20°，

故选：A．

【点睛】

本题考查了圆和三角形的问题，掌握三角形内角和定理、等边对等角、圆周角定理是解题的关键．

11．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（ ）

A． ． ． ．1

【答案】B

【解析】

【分析】

根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得底面周长，进而即可求得底面的半径长．

【详解】

圆锥的底面周长是：π；

设圆锥的底面半径是r，则2πr=π．

解得：r=．

故选B．

【点睛】

本题考查了圆锥的计算，正确理解理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．

12．如图，用半径为，面积的扇形无重叠地围成一个圆锥，则这个圆锥的高为（ ）

A．12cm ．6cm ．6√2 cm ．6 cm

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据扇形的面积公式计算出扇形的圆心角，再利用周长公式计算出底面圆的周长，得出半径．再构建直角三角形，解直角三角形即可．

【详解】

72π=

解得n=180°，

∴扇形的弧长==12πcm．

围成一个圆锥后如图所示：

因为扇形弧长=圆锥底面周长

即12π=2πr

解得r=6cm，即OB=6cm

根据勾股定理得OC=cm，

故选D．

【点睛】

本题综合考查了弧长公式，扇形弧长=用它围成的圆锥底面周长，及勾股定理等知识，所以学生学过的知识一定要结合起来．

13．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过的图形面积为（　　）

A． ． ．6π ．以上答案都不对

【答案】D

【解析】

【分析】

从图中可以看出，线段AB扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是AC，小圆半径是BC，圆心角是60度，所以阴影面积=大扇形面积-小扇形面积．

【详解】

阴影面积=π．

故选D．

【点睛】

本题的关键是理解出，线段AB扫过的图形面积为一个环形．

14．如图，将边长为cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动8次后，正方形的中心O经过的路线长是（ ）cm．

A．8 ．8 ．3π ．4π

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意可得翻转一次中心O经过的路线长就是1个半径为1，圆心角是90°的弧长，然后进行计算即可解答．

【详解】

解：∵正方形ABCD的边长为cm，

∴对角线的一半＝1cm，

则连续翻动8次后，正方形的中心O经过的路线长＝8×＝4π．

故选：D．

【点睛】

本题考查了弧长的计算，审清题意、确定点O的路线和长度是解答本题的关键．

15．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，OC交⊙O于点D，若∠ABD＝24°，则∠C的度数是（　　）

A．48° ．42° ．34° ．24°

【答案】B

【解析】

【分析】

根据切线的性质求出∠OAC，结合∠C＝42°求出∠AOC，根据等腰三角形性质求出∠B＝∠BDO，根据三角形外角性质求出即可．

【详解】

解：∵∠ABD＝24°，

∴∠AOC＝48°，

∵AC是⊙O的切线，

∴∠OAC＝90°，

∴∠AOC+∠C＝90°，

∴∠C＝90°﹣48°＝42°，

故选：B．

【点睛】

考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，解此题的关键是求出∠AOC的度数，题目比较好，难度适中．

16．如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半径为6m的半圆，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程长为（　　）

A．3m ．m ．m ．4m

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】

如图，由题意得：AP=3，AB=6，  

∴在圆锥侧面展开图中 

故小猫经过的最短距离是

故选C.

17．如图，在圆O中，直径AB平分弦CD于点E，且CD=4，连接AC，OD,若∠A与∠DOB互余，则EB的长是（ ）

A．2 ．4 ． ．2

【答案】D

【解析】

【分析】

连接CO，由直径AB平分弦CD及垂径定理知∠COB=∠DOB，则∠A与∠COB互余，由圆周角定理知∠A=30°，∠COE=60°，则∠OCE=30°，设OE=x,则CO=2x,利用勾股定理即可求出x，再求出BE即可.

【详解】

连接CO，∵AB平分CD，

∴∠COB=∠DOB，AB⊥CD，CE=DE=2

∵∠A与∠DOB互余，

∴∠A+∠COB=90°，

又∠COB=2∠A，

∴∠A=30°，∠COE=60°，

∴∠OCE=30°，

设OE=x,则CO=2x,

∴CO2=OE2+CE2

即(2x)2=x2+(2)2

解得x=2，

∴BO=CO=4，

∴BE=CO-OE=2.

故选D.

【点睛】

此题主要考查圆内的综合问题，解题的关键是熟知垂径定理、圆周角定理及勾股定理.

18．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O是△ABC的内切圆，连接AO，BO，则图中阴影部分的面积之和为（　　）

A．10﹣ ．14﹣π ．12 ．14

【答案】B

【解析】

【分析】

根据勾股定理求出AB，求出△ABC的内切圆的半径，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．

【详解】

解：设⊙O与△ABC的三边AC、BC、AB的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，

在Rt△ABC中，AB＝＝10，

∴△ABC的内切圆的半径＝＝2，

∵⊙O是△ABC的内切圆，

∴∠OAB＝∠CAB，∠OBA＝∠CBA，

∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝135°，

则图中阴影部分的面积之和＝，

故选B．

【点睛】

本题考查的是三角形的内切圆与内心、扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．

19．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形(如图)，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形. 图是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图. 

图 图

有如下四个结论：

①勒洛三角形是中心对称图形

②图中，点到上任意一点的距离都相等

③图中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等

④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，会发生上下抖动

上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）

A．①② ．②③ ．②④ ．③④

【答案】B

【解析】

【分析】

逐一对选项进行分析即可.

【详解】

①勒洛三角形不是中心对称图形，故①错误；

②图中，点到上任意一点的距离都相等，故②正确；

③图中，设圆的半径为r

∴勒洛三角形的周长= 

圆的周长为

∴勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故③正确；

④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故④错误

故选B

【点睛】

本题主要考查中心对称图形，弧长公式等，掌握中心对称图形和弧长公式是解题的关键.

20．已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；

（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；

（3）连接OM，MN．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）

A．∠COM=∠COD ．若OM=MN，则∠AOB=20°

C．MN∥CD ．MN=3CD

【答案】D

【解析】

【分析】

由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．

【详解】

解：由作图知CM=CD=DN，

∴∠COM=∠COD，故A选项正确；

∵OM=ON=MN，

∴△OMN是等边三角形，

∴∠MON=60°，

∵CM=CD=DN，

∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B选项正确；

∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°，

∴∠OCD=∠OCM=80°，

∴∠MCD=160°，

又∠CMN=∠AON=20°，

∴∠MCD+∠CMN=180°，

∴MN∥CD，故C选项正确；

∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，

∴3CD＞MN，故D选项错误；

故选：D．

【点睛】

本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．