2019年人教版高中数学必修二考点练习：与圆有关的轨迹问题含答案解析

1. 动点P 与定点A(-1,0)，B(1,0)的连线的斜率之积为-1，则点P 的轨迹为（

）

A.

B. 221x y +=()

2211x y x +=≠±C.

D.

()

2211x y x +=≠()

2210x y x +=≠2. 点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)

A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1

B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4

C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4

D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1

3. 设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则点P 的轨迹方程为(　　)

A ．y 2＝2x

B ．(x －1)2＋y 2＝4

C ．y 2＝－2x

D ．(x －1)2＋y 2＝2

4. 已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足|P A|＝2|P B|，则点P 的轨迹所包围的图形的面

积等于________．

5. 自A(4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．

6. 已知动点M 到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半．

(1)求动点M 的轨迹方程；

(2)若N 为线段A M 的中点，试求点N 的轨迹．

7. 已知线段AB 的长为4，且端点A ，B 分别在x 轴与y 轴上，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为________．

8. 点P （4，﹣2）与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（　　）

A. （x ﹣2）2+（y +1）2=1

B.（x ﹣2）2+（y +1）2=4

C. （x +4）2+（y ﹣2）2=1

D.（x +2）2+（y ﹣1）2=1

9. 已知△ABC 的边AB 长为2a ，若BC 边上的中线为定长m ，求顶点C 的轨迹．

10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为2，在y 轴上截得线段长为2.

23(1)求圆心P 的轨迹方程；

(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为，求圆P 的方程．

2

211. 已知圆的方程是x 2＋y 2－2ax ＋2(a －2)y ＋2＝0，其中a ≠1，且a ∈R.

(1)求证：a 取不为1的实数时，圆过定点；(2)求圆心的轨迹方程．

12. 设定点M (－3，4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形

MONP ，求点P 的轨迹.

13. 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．

(1)求线段AP 中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．

14. 已知线段AB 的端点B 在圆C 1：x 2＋(y －4)2＝16上运动，端点A 的坐标为(4，0)，线段AB 的中点为M .

(1)试求M 点的轨迹C 2的方程；

(2)若圆C 1与曲线C 2交于C ，D 两点，试求线段CD 的长.

15. 已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB 的中点为M，O为坐标原点.

(1)求M的轨迹方程；

(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.

参与圆有关的轨迹问题

1. 【答案】B

2.

解析：选A 　设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则Error!即Error!代入x 2＋y 2＝4，得

(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4.化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.

3. 解析：选D 　设P (x ，y )，则由题意知，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)、半径为1，∵PA 是圆的切线，且|PA |＝1，∴|PC |＝，即(x －1)2＋y 2＝2，∴点P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.

24. 【解析】设点P (x ，y )，由题意知(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，

配方得(x －2)2＋y 2＝4. 可知圆的面积为4π.

5. 【解析】设P (x ，y )，O 为原点，连接OP ，

∵当x ≠0时，OP ⊥A P ，即k OP ·k A P ＝－1，∴

·＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0.①y x 4

y x -当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．

设P (x ，y )，O 为原点，连接OP ，

∵当x ≠0时，OP ⊥A P ，即k OP ·k A P ＝－1，∴·＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0.①y x 4

y x -当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，

∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．

6. 【解析】(1)设动点M 的坐标为(x ，y )，

∵A(2,0)，B(8,0)，|M A|＝

|M B|，∴(x －2)2＋y 2＝[(x －8)2＋y 2]．121

4

化简得x 2＋y 2＝16，即动点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝16.(2)设点N 的坐标为(x ，y )，

∵A(2,0)，N 为线段A M 的中点，∴点M 的坐标为(2x －2,2y )．又点M 在圆x 2＋y 2＝16上，∴(2x －2)2＋4y 2＝16，即(x －1)2＋y 2＝4.∴点N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．

7. 【解析】 设M 点坐标为(x ，y )，A 点坐标为(x 0,0)，B 点坐标为(0，y 0)．

∵点M 是线段AB 的中点，

∴，即∴A(2x,0)，B(0,2y )．又∵|AB|＝4，000202x x y y +⎧⎫=⎪⎪⎪⎪⎨+⎪⎪=⎪⎪⎩

⎭0022.x x y y =⎧⎨

=⎩＝4，即x 2＋y 2＝4.

()()

22

2002x y -+-8. 【解析】设圆上任意一点为（x 1，y 1），中点为（x ，y ），

则 得:，代入x 2+y 2=4得（2x ﹣4）2+（2y +2）

2=4，

化简得（x ﹣2）2+（y +1）2=1．故选A ．

9. 【解析】

以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系(如右图)，则A(－a,0)，B(a,0)，设C(x ，y )，BC 中点D(x 0，y 0)．故x 0＝

，y 0＝.①2x a +2

y

∵|AD|＝m ，∴(x 0＋a )2＋y ＝m 2.② 将①代入②，整理得(x ＋3a )2＋y 2＝4m 2.

2

0∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.

综上，点C 的轨迹是以(－3a,0)为圆心，以2m 为半径的圆，除去(－3a ＋2m,0)和(－3a －2m,0)两点．

10. 解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .

由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.

(2)设P (x 0，y 0)．由已知得＝. 又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，

|x 0－y 0|

2

2

2从而得Error!由Error!得Error!

此时，圆P 的半径r ＝.

3由Error!得Error!此时，圆P 的半径r ＝.3故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.

11. 【解析】(1)证明：将方程x 2＋y 2－2ax ＋2(a －2)y ＋2＝0，整理得x 2＋y 2－4y ＋2－a (2x －2y )

＝0(a ≠1，且a ∈R)．

令Error!解得Error!所以a 取不为1的实数时，圆过定点(1,1)．

(2)由题意知圆心坐标为(a,2－a )，且a ≠1，又设圆心坐标为(x ，y )，则有Error!消去参数a ，得x ＋y －2＝0(x ≠1)，即为所求圆心的轨迹方程．

12.

解　如图所示，

设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为，

(x 2，y 2)

线段MN 的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，(x 0－32

，

y 0＋4

2)

故＝，＝.从而x 2x 0－32y 2y 0＋4

2{x 0＝x ＋3，

y 0＝y －4.

)

又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.

因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点和

(点P 在直线OM (－95，125)(－215，

285)

上时的情况).

13. [解]　(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．

因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.

(2)设PQ 的中点为N (x ，y )．在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.

设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.

故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.

14. 解　(1)设M (x ，y )，B (x ′，y ′)，则由题意可得

解得{x ＝x ′＋4

2，

y ＝y ′2，

)

{x ′＝2x －4，y ′＝2y ，

)

∵点B 在圆C 1：x 2＋(y －4)2＝16上，

∴(2x －4)2＋(2y －4)2＝16，即(x －2)2＋(y －2)2＝4.∴M 点的轨迹C 2的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.

(2)由方程组得直线CD 的方程为x －y －1＝0，

{（x －2）2＋（y －2）2＝4，

x 2＋（y －4）2＝16，)

圆C 1的圆心C 1(0，4)到直线CD 的距离d ＝

＝，|－4－1|

2522又圆C 1的半径为4，

∴线段CD 的长为2＝.

42－

(522)2 1415. 解　(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.

设M (x ，y )，则＝(x ，y －4)，＝(2－x ，2－y ).

CM → MP → 由题设知·＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，

CM → MP → 即(x －1)2＋(y －3)2＝2.

由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，为半径的圆.由于|OP |＝|OM |，故O 在线段2PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .

因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－，

1

3故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝2，O 到l 的距离为，

24105所以|PM |＝，S △POM ＝××＝，41051241054105165故△POM 的面积为.165