2018线性代数复习题

一、填空题

1. 排列(7625431)的逆序数为          ；

2．是3阶矩阵，，则              .

3．四阶行列式的第一行元素为1,2,0,-4，第三行元素的代数余子式分别为6,,19,-8, 则______.

4．行列式中第4行各元素的代数余子式之和为__________.

5．设，为阶方阵，且，，则=___    ___.

6. , 则 ___    _.

7.设矩阵，若齐次线性方程组有非零解，则数=__      __．

8.如果向量组的秩为，则向量组中任何个向量                 （线性相关或线性无关）.

9.已知向量组线性无关，则数的取值必满足__       ____.

10．已知向量组线性相关，则数____  __.

11.已知线性方程组无解，则数____  __. 

12．已知向量，，与的内积为2，则数k=__      __．

13．设向量，则的长度=__________．

14. 三阶矩阵的三个特征值分别为1，-1，2， 矩阵，则的特征值为              ,．

15.设向量，，矩阵，则矩阵的非零特征值为 _    __．

16.设，，且与正交，则=__      __．

二、选择题

1.已知=3，那么=（      ）

A．-24                     B.  -12                  C.  -6                D.  12

2.若矩阵A可逆，则下列等式成立的是（      ）

A.A=    B.

C.    D.

3．设A为三阶方阵，且，则（　　　）

A．-108     B．-16     C．12     D．108

4.设A=，则（　 　）

A．-4    ．-2    ．2     ．4

5．设A，B，X，Y都是n阶方阵，则下面等式正确的是（　　　）

A．若A2=0，则A=0 ．（AB）2=A2B2

C．若AX=AY，则X=Y ．若A+X=B，则X=B-A

6．设矩阵,，为同阶方阵,且,可逆,若,则矩阵=(      )

A． B． C．  D．

7.设矩阵A的伴随矩阵A*=,则A-1

A.    

C.     

8．如果方程组有非零解，则k=（　　　）

A．-2     B．-1       C．1      D．2

9．设矩阵A=，那么矩阵A的列向量组的秩为（ ）

A．3 B．2 C．1  D．0

10．设为矩阵，则元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是（　　　）

A． ．

C． ．

11．设A为m×n矩阵，A的秩为r，则

A．r=m时，Ax=0必有非零解 ．r=n时，Ax=0必有非零解

C．r12．设是一个4维向量组，若已知可以表为的线性组合，且表示法惟一，则向量组的秩为（ ）

A．1 B．2 C．3  ．4

13．设可由向量，线性表示，则下列向量中只能是（　　　）

A．   B．    C．    D．

14．设4阶矩阵A的秩为3，为非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，c为任意常数，则该方程组的通解为（      ）

A．    B．

C．    D．

15．向量组的极大线性无关组为（ ）

A． B． C．  D．

16.设向量组，则 

A. 线性无关  不能由线性表示

C. 可由线性表示，且表示法唯一  可由线性表示，但表示法不唯一

17．设=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵必有一个特征值等于（　  　）

A．     ．    ．2     ．4

18. 设矩阵A=，则以下向量中是A的特征向量的是（ ）

A.  B.  C.   D. 

19. 设矩阵A=的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ3 = （ ）

A.4 B.5 C.6  D.7

20. 下列矩阵是正交矩阵的是（      ）

A.    B.

C.    D.

三、计算题

1．计算行列式． 2. 计算行列式．

3．已知矩阵，，，求：（1）；（2）.

4．已知向量且，求（1）数k的值；（2）A10.

5．已知矩阵，，求矩阵，使得.

6. 设，已知，求，的值.

7．记，，，.求向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用此最大无关组线性表示.

8. 求齐次线性方程组 的一个基础解系，并将方程组的通解用基础解系表示出来.

.

9．求线性方程组的通解.（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.

10.设矩阵A=，求矩阵A的全部特征值和特征向量。

四、综合题

1. 设，为余子式，求.

2. 三阶方阵满足,其中.判断是否可逆；若可逆，求其逆.

3. ，，，，证明能由线性表示，并求出表示式.

4. 已知，，，试讨论向量组及向量组的线性相关性.