2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一上学期期末考试数学试题

2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一上学期期末考试

数学试题

★祝考试顺利★

注意事项：

1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知点在第二象限，则角的终边所在的象限为（  ）

A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意利用角在各个象限的符号，即可得出结论.

【详解】由题意，点在第二象限，

则角的终边所在的象限位于第四象限，故选D.

【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及三角函数在各个象限的符号，其中熟记三角函数在各个象限的符号是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

2.对于向量，，和实数，下列命题中正确的是（  ）

A. 若，则或    B. 若，则或

C. 若，则或    D. 若，则

【答案】B

【解析】

【分析】

由向量的垂直条件，数量积为0，可判定A；由向量的数乘的定义可判断B；由向量的平方即为向量的模的平方，可判断C；向量的数量积不是满足消去律，可判断D，即可得到答案.

【详解】对于A中，若，则或或，所以不正确；

对于B中，若，则或是正确的；

对于C中，若，则，不能得到或，所以不正确；   

对于D中，若，则，不一定得到，可能是，所以不正确，综上可知，故选B.

【点睛】本题主要考查了向量的数量积的定义，向量的数乘和向量的运算律等知识点，其中解答中熟记向量的数量积的定义和向量的运算是解答本题的关键，着重考查了判断能力和推理能力，属于基础题.

3.已知向量，，若，则实数为（  ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】C

【解析】

【分析】

根据，即可得出，进行数量积的运算即可得出，在由向量的坐标运算，即可求解.

【详解】由题意，因为，所以，整理得，

又由，

所以，解得，故选C.

【点睛】本题主要考查了向量的模的运算，以及向量的数量积的坐标运算，其中解答中根据向量的运算，求得，再根据向量的数量积的坐标运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

4.函数的图象关于直线对称，则实数的值是（  ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】D

【解析】

【分析】

利用辅助角公式化简函数，又由函数的图象关于对称，得到，即可求解.

【详解】由题意，函数，

又由函数的图象关于对称，所以，

即，解得，故选D.

【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

5.将的图象上各点横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，然后将图象向右平移个单位，所得图象恰与重合，则（  ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用逆向思维，对函数的关系式进行平移变换和伸缩变换的应用，求出函数的关系式，即可得到答案.

【详解】由题意，可采用逆向思维，首先对函数向左平移个单位，

得到的图象，

进一步把图象上所有的点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，

得到，故选A.

【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

6.已知函数，，则是（  ）

A. 最小正周期为的奇函数    B. 最小正周期为的偶函数

C. 最小正周期为的奇函数    D. 最小正周期为的偶函数

【答案】B

【解析】

【分析】

利用三角函数的恒等变换化简函数为，由此可得处函数的奇偶性和最小正周期，得到答案.

【详解】由函数，

所以函数为偶函数，且最小正周期为，故选B.

【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质，其中解答中熟练应用三角恒等变换的公式化简，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

7.若向量，，且，则的值是（ ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意，，求得，在根据向量的数量积的运算公式和三角函数的基本关系式，化简为齐次式，即可求解.

【详解】由题意，，所以，解得，

又由向量，，

则 

，故选B.

【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算性质，以及利用三角函数的基本关系式化简求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系，化简向量的数量积为齐次式是解答的关键，属于基础题，着重考查了推理与运算能力.

8.已知，是方程的两个实数根，则（ ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用对数函数的变换，进一步利用一元二次方程的根和系数关系和三角函数关系式的恒等变换，即可求出结果.

【详解】由题意， ，是方程的两个实数根，

即，是方程的两个实数根，

所以，

则，故选C.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根和系数的应用，以及三角函数关系式的恒等变换的应用，其中解答中熟记两角和的正切函数的公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

9.已知单位向量的夹角为，若向量满足，则的最大值为（ ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意，设，由，化简得，表示圆心为，半径为1的圆，结合图形可知，即可求解的最大值.

【详解】由题意，设单位向量，且，

则，

由，所以，

化简得，表示圆心为，半径为1的圆，如图所示，

由图形可知，的最大值为，故选A.

【点睛】本题主要考查了平面向量的模的计算，以及向量的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的坐标公式，得出向量表示的图形，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.

10.有下列叙述，

①函数的对称中心是；

②若函数（，）对于任意都有成立，则；

③函数在上有且只有一个零点；

④已知定义在上的函数，当且仅当

（）时，成立.

则其中正确的叙述有（  ）

A. 个    B. 个    C. 个    D. 个

【答案】B

【解析】

【分析】

由正切函数的对称性可判断①；由正弦函数的对称性可判断②；由的导数判断单调性，结合零点存在定理可判断③；由正弦函数与余弦函数的图象和性质，可判断④，即可得到答案.

【详解】由题意，①中，函数的对称中心是，所以不正确；

②中，若函数对于任意都有成立，可得函数关于对称，则，所以不正确；

③中，函数的导数为，可得函数在上为单调递增函数，又由，即在有且只有一个零点，所以是正确的；

④中，已知定义在上的函数，

当时，即时，；

当时，即时，；

当和，时，成立，

即当时，成立，所以是正确的，故选B.

【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及函数与方程的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及函数的零点的存在定理的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试.

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题。

11.的值为_____；的值为_____.

【答案】    (1).     (2). 

【解析】

【分析】

直接利用诱导公式，及两角和的正弦公式，化简求值，即可得到答案.

【详解】由题意， ； 

又由.

【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和两角和的正弦函数公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

12.已知扇形的周长为，当它的半径为____时，扇形面积最大，这个最大值为____.

【答案】    (1).     (2). 

【解析】

【分析】

设扇形的半径与中心角分别为，可得，在利用扇形的面积为，利用基本不等式即可求解.

【详解】设扇形的半径与中心角分别为，则，可得，

可得扇形的面积为，

当且仅当是取等号.

【点睛】本题主要考查了扇形的弧长和面积公式，以及基本不等式的性质的应用，其中解答中利用扇形的弧长和面积公式，合理表示扇形的面积，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

13.已知，，若，则实数的值是_____；若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_______.

【答案】    (1). 或    (2). 

【解析】

【分析】

由题意，根据，得到方程，即可解答得值，再由和的夹角为锐角，所以，且不同向，列出不等式，即可求解.

【详解】由题意，因为，所以，解得或，

因为和的夹角为锐角，所以，且不同向，

所以，所以且，

所以的取值范围为且.

【点睛】本题主要考查了向量的共线的应用，以及向量的数量积的应用问题，其中解答中熟记向量平行是的坐标关系，以及向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

14.设，是单位向量，且，的夹角为，若，，则____；在方向上的投影为____.

【答案】    (1).     (2). 

【解析】

【分析】

根据平面向量数量积的定义求出与，并计算出平面向量的模，再利用公式，即可求解.

【详解】由平面向量的数量积的定义，可得，

，

，即，

所以在方向上的投影为.

【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的定义，以及向量的投影的应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的计算公式，以及向量的投影的计算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

15.已知为角的终边上的一点，且，则实数的值为____.

【答案】

【解析】

【分析】

由三角函数的定义，即可求解得值，得到答案.

【详解】由三角函数的定义可知，解得，

又由，所以.

【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，列出方程求解是解答的关键，着重考查了退与运算能力，属于基础题.

16.若函数在内有两个不同的零点，则实数的取值范围是____.

【答案】或

【解析】

【分析】

由题意，，令，，把原函数转化为有两个不同的零点，进而转化为方程在上有唯一的实根或在上有两相等的实根，利用二次函数的性质，即可求解.

【详解】由题意，函数令，，

则原函数转化为有两个不同的零点，

则转化为函数在(0,1)上有唯一的零点

即转化为方程在(0,1)上有唯一的实根或在(0,1)上有两相等的实根

转化为函数，与函数有唯一交点

得或

所以或

【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中根据题意令，把原函数转化为有两个不同的零点，进而转化为方程在(0,1)上有唯一的实根或在(0,1)上有两相等的实根，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

17.已知为的外心，，若（），则的取值范围是___.

【答案】

【解析】

【分析】

法一：设圆的半径为，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，得到，进而可求解其取值范围.

法二，由奔弛定理和向量的运算，得，进而得，利用三角函数的性质，即可求解.

【详解】法一：设圆的半径为，如图所示建立平面直角坐标系，则

所以

易得，

所以

法二，由奔弛定理，

由已知转化为：

又，所以

变形为

于是

所以，

得.

【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记向量的坐标运算，把转化为三角函数的运算，合理利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.已知，，.

（Ⅰ）求与的夹角；

（Ⅱ）当为何值时，与垂直？

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）由向量的数量积的运算，列出方程，求得，即可求解结果.

（2）由，利用向量的数量积的运算，即可求解.

【详解】（1）由题意，根据向量的运算，得，解得：，.

（2），.

.

解得.时，与垂直.

【点睛】本题主要考查了向量的数量积的化简、运算，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

19.已知函数.

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）求函数在的单调递增区间.

【答案】（1）函数的最小正周期是（2）

【解析】

【分析】

（1）利用三角函数恒等变换的公式，化简，利用周期的公式，即可求解函数的最小正周期；

（2）由，根据三角函数的性质，得到，即可得到函数的递增区间.

【详解】（1）由题意，函数

 ，则，即函数的最小正周期是.

（2），.

，.

所以函数在的单调递增区间是.

【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

20.设，且，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）法一：根据两角和的正切函数的公式，化简得，在根据余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解；

法二：令，求得，利用三角函数的诱导公式和基本关系式，即可求解；

（2）由三角函数的基本关系式，求得，再由两角和的正弦、余弦函数的公式，求得，的值，进而可求解.

【详解】（1）法一：，

法二：令，则，

.

（2），，

，，，.

.

【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，及三角函数基本关系式和诱导公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式、基本关系式，以及两角和的正弦、余弦函数、倍角公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

21.已知和的夹角为，且满足，.

（Ⅰ）求所有满足条件的所组成的集合；

（Ⅱ）设函数，，对于集合中的任意一个，在集合中总存在着一个，使得成立，求实数的取值范围

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）由向量的数量积的公式，求得，进而根据题设条件，得到，即可求解所组成的集合A，得到答案；

（2）根据三角恒等变换的公式，化简，令，得到函数，利用二次函数的性质，即可求解.

【详解】（1）由题意，根据向量的数量积的运算，可得，；

，，得，，

故所求集合；

（2）由题意，根据三角恒等变换的公式，得

 ；

令，，

，；

由题意，得，.

【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据向量的数量积的运算公式、合理化简，以及利用三角函数的图象与性质，转化为二次函数的应用求解是解答的关键，着重考查了转化思想、换元思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.

22.已知实数，，，若向量满足，且.

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若在上为增函数.

（1）求实数的取值范围；

（2）若对满足题意的恒成立，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）或

（Ⅱ）（1）（2）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）设，根据向量的数量积的运算，求得，进而得到和，即可得到向量的坐标；

（Ⅱ）（1）根据向量的模的运算，求得，又由函数在上为增函数，得到也是增函数，得到，即可求解得取值范围；

（2）由恒成立，转化为对恒成立，进而转化为对恒成立，即可求解.

【详解】（Ⅰ）设，由得，

又，，所以，即，

得，又，所以，故或

（Ⅱ）（1）根据向量的模的公式，

得

化简得；

在上为增函数

在上为增函数，即，

解得，；，

（2）对恒成立，

对恒成立

即对恒成立，；

解得.

【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算公式的应用，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中根据向量的数量积的运算公式和向量的模的运算公式，合理运算、化简，转化为与二次函数相关的图象与性质的应用是解答的关键，着重考查了转化思想，换元思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.